直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩固定點(diǎn)之間距離的最值[教資材料]

1、直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩固定點(diǎn)之間距離的最值【題型】P點(diǎn)為直線L上一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)、B點(diǎn)不在直線上，且固定。當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大?！疽辍慨?dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離之和最小?！舅悸贰肯旅?條原理是解決此類問(wèn)題的基礎(chǔ)：1、所有此類問(wèn)題都應(yīng)納入“三角形”中求解； （定理1）2、運(yùn)用“在同一平面之中，兩點(diǎn)之間，線段最短?！?（定理2）3、運(yùn)用“在同一平面中，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊?！?（定理3）【幾種不同情況的詳細(xì)解答及相應(yīng)證明】1、求直線上動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值的最大值（1）當(dāng)兩固定點(diǎn)在

2、直線同側(cè)時(shí)，如圖1ABLPMPP”M圖 1假設(shè)直線上任意一點(diǎn)P點(diǎn)，連接P點(diǎn)與B點(diǎn)，P點(diǎn)與A點(diǎn)，形成PBA，根據(jù)“定理3”，得知|PA-PB|AB；當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)時(shí)，分別連接A、B兩點(diǎn)，形成P”BA，根據(jù)“定理3”，得知|P”A P”B|AB；只有移動(dòng)到P點(diǎn)，即BA連線的延長(zhǎng)線與直線L的交點(diǎn)時(shí)，|PA-PB|=AB。結(jié)論：當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)，與直線一側(cè)的兩固定點(diǎn)之間距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，P點(diǎn)位于兩點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖1，過(guò)A點(diǎn)做直線垂直與直線L，垂足為M，過(guò)B點(diǎn)做直線垂直于直線L，垂足為M這樣， AMBM因此，在直角PBM中，AM/BM=PM

3、/PM所以，PM=PM+MM最終得出：PM=（AMMM）|BM-AM|，以此確定P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）。同樣道理，PM/MM=PA/AB所以，最大值A(chǔ)B=MM/PMPA，根據(jù)勾股定理計(jì)算出PA后，就計(jì)算出了AB的長(zhǎng)度。圖 2（2）當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，如圖2ABLPMPP”MA圖2對(duì)于處于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，先通過(guò)其中一點(diǎn)A做一條垂直與直線L的直線，垂足為M，且使AM=AM（即做A點(diǎn)對(duì)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)），將異側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同側(cè)問(wèn)題。然后，連接A和B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交于直線于P點(diǎn)，則P點(diǎn)就是到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)的點(diǎn)。同樣，在直線上任意一點(diǎn)P，并連接PA，PB，PA，可以看出，在PAB中，|PA

4、-PB|AB，由于PA=PA，所以，|PA-PB|=|PA-PB|AB。將P點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)，并構(gòu)成P”AB，同樣道理可以得出|P”A-P”B|=|P”A-P”B|AB，所以，PB + PA AB同樣道理，如果P點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)，與A、B點(diǎn)構(gòu)成P”AB，P”B+P”AAB，而P”A=P”A所以，P”B+P”AAB只有當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到A、B點(diǎn)連線與直線L的交點(diǎn)處時(shí)，即P點(diǎn)即處于直線L上，又處于線段AB上時(shí)，|PA+PB|=AB，而PA=PA，所以，|PA+PB|=AB這時(shí)，P點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值才是其他所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的絕對(duì)值中最小的。結(jié)論：當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)到直線同側(cè)兩固定點(diǎn)之距離之和的絕對(duì)

5、值最小時(shí)，P點(diǎn)位于固定點(diǎn)與另一固定點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）以及最小值如圖3，過(guò)B點(diǎn)做直線垂直于直線L，垂足為M由于直角三角形MPA與直角三角形BPM，三角相等，所以，這兩個(gè)三角形為相似三角形所以，MP/PM=MA/BM，且PM=MM-MP所以，MP=MA MM（MA+BM ），以此確定P點(diǎn)位置（或坐標(biāo)）。又因?yàn)?，|PA+PB|=|PA+PB|=AB，且MP，PM=MM-MP均已計(jì)算出，運(yùn)用勾股定理，分別計(jì)算出PA、PB長(zhǎng)度，即可確定AB的長(zhǎng)度，即P點(diǎn)到兩固定點(diǎn)距離之和絕對(duì)值的最小值。圖4ABLPMPP”M（2）當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線L異側(cè)時(shí)，如圖4根據(jù)上述同側(cè)問(wèn)題，我們可以看出，直接連接A、B兩點(diǎn)與直線L的交點(diǎn)就是符合要求的P點(diǎn)，在此不再累述?！颈竟?jié)結(jié)論】直線上一動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值只存在最小值，沒有最大值。當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于固定點(diǎn)與另一固定點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)處；當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于兩固定點(diǎn)連線與直線的交點(diǎn)處。推導(dǎo)出：（1）當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到兩固定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值的最小值，