矩陣合同變換

1、矩陣的合同變換摘要：矩陣的合同變換是高等代數矩陣理論中，基本交換。在高等代數 里，我們僅討論簡單而直接的變換，而矩陣的合同變換與矩陣相似變換，二次型 等有著諸多相同性質和聯(lián)系。關鍵詞：矩陣 秩 合同 對角化定義1：如果矩陣A可以經過一系列初等變換變成B,則積A與B等價，記 為A = B定義2：設A, B都是數域F上的n階方陣，如果存在數域F上的n階段可 逆矩陣P使得B = PAp ,則稱A和B相似A-B定義3：設A, B都是數域F上的n階矩陣，如果存在數域F上的一個n階可逆矩陣P, 使得PrAP = B那么就說，在數域F上B與A合同。以上三個定義，都具有自反性、傳逆性、對稱性、 性。定理1：合

2、同變換與相似變換都是等價變換證明：僅證合同變換，相似變換完全相似因為P可逆，所以P存在一系列初等矩陣的乘積，即P =Q”。此時p7=a/eL-ar邊為一系列初等矩陣的乘積若B = pTAP = QlQLAQ Qm則B由A經過一系列初等變換得到。所以A = B ,從而知合同變換是等價變換。定理2：合同變換與相似變換，不改變矩陣的秩證明：由 知，合同變換與相似變換都是等價變換，所以不改變秩定理3：相似矩陣有相同特征多項式證明：共AB B = PAPdel 12/ - B1= det I A/ - P-1 API又因為2/為對稱矩陣所以 detl2/-P_,APH PxXI-AP=1XI-AP=IA

3、Z-AI注合同不一定有相同特征多項式定理4：如果A與B都是n階實對稱矩陣，且有相同特征根，則A與B相似且合同 論：設A, B為特征根均為人，人人，因為A與B實對稱矩陣，所以則在n階正 矩陣, 0P使得0應=人.込從而有 QXAQ = P-BPP&AQP-1 = B由 QXQ = E PP-X = E從而有 PXQPX = PEP- = PA = E 從而(pq-y1 =qp1又由于(QP )(QP )T = QpT(P yiQT= QP-1(Pt)TQt= QQT= QQ=E:.QPl為正交矩陣所以A3且A三3定時5：兩合同矩陣，若即PTAP = B.若A為對稱矩陣，則B為對稱陣，而兩相似矩

4、陣則不一定有些性質證明：A = B即尸人尸=3,若對稱陣，則A = ABT =(PrAP)r= PtAiP=PrAP=B所以B邊為對稱陣注:相似矩陣對此結論不具有一般性，它在什么情況下成立呢？引理6：對稱矩陣相似于對角陣O A的每一個特征根幾有秩Al-A=n-s. S為幾的 重數.證明：任給對稱的n階矩陣A個特征根兒 以其重數以秩12/ Al=r,則廣=n S o 川一廣=$2/ A | Ox2=0A.0,線性無關的解向疑個數為/?-r個.即5個3 / 9又因屬不同特征根的特征向量線性無關0 n階對稱陣A有n個線性無關的特征向量On階對稱陣可對角化從定理5,引理6中我們發(fā)現(xiàn)了合同在應用中的側重

5、點, 如對二次型應用例求一非線性替換，把二次型/(xrxrx3) = 2xIx2 一66兀3+2再_3二次型/(兀內心)矩陣為_0 1 1 A= 1 0 3對A相同列與行初等變換，對矩陣E,施行列初等變換21-220At10-3T0-2-23000j0011fE-110T1一 1一 10011010062 丿3一 可把二次型化為標準型 /（召,兀2，召）=2昇-2 +6y； 解法（2）21-2At1 - 2 0 -3 一3 01 00-2一 2 20_ 12-2-2-20_丄一 30此時 fxA，七,X3） = 2z； 一秒 z； + 6云 乙此時非線性退化替換為發(fā)現(xiàn)在注lh任意對稱陣合同的對

6、角陣及其變換陣不是唯一確定的特性1:在合同變換中具有變換和結果的多樣性注:在對角陣上元素相等及其它元素元素邊相等情況下又有哪些性質呢？ 例3.用可逆性變換化二次型/(xpx2,x5) = (-2x| +x2 +x3y +3 2勺+兀3)+(齊+兀2 一2“)， 解：f : 6a7 _ 6xxx2 _ 6召屯 + 6局 _ 6x2x3 + 6#對二次型矩陣為一一A E3 6-3OO 9-2 9-2T60o rTj00 09200010000101011喬1VTis10211027181020L09-29-2 1- 20 1O -E B 1爲10 11帀2 1_321a/T82兒PTA = B注當

7、P改變兩行的位置交換后，發(fā)現(xiàn)6 一 3一 3 6_3 _3定理2：在A為對角線上元素相等，其余元素也相等，則若有PAP = B,則調整P的 任意兩行，對角陣形式不變。證明：設初等變換的對調變換矩陣為J,顯然JTJ=EJTAJ=JAJT =A于是有B = PAP = PtEAEP = PT(JTJ)A(JTJ)P = (JP)T(JAT)JP = (JP)TA(JP)而p與JP相比僅是行的排列順序不同，因此任意調整P的行，所得對角陣相同。注以上為特殊條件下成立，如果在一般情況下呢？2- 20例4對稱矩陣A =-21-2求可逆陣P使得ptap為對角陣0一2011-240011-2PtAP = BB

8、 =0一 10001002.- 202001- 20一 1-2- 200- 20rx-2c200r1101001001.001.20010000一 10041- 21-20 1-2 1片=一2 10 0若要調換B對角線上任意兩個元素定理7：設PrAP = B.A對稱矩陣，B為對角矩陣, 的位置得到則只要調控B中對左的兩列，可得到P,使得PAP. = B .即P的列與B中 元素的對應性。證明：初等調換矩陣為J,顯然JT=J B = JtBJ = JtPtAPJ = (Pjy A(PJ) = F Ap.P與片相比，只是列的排列順序發(fā)生了改變.P的列與B的對角線上元素具有對應性自己寫例定理8：如果對

9、角線上的元素分別擴大得禺，則不要將”中對應的對應角 線元素擴大C；,即可得到只使得 q證明：設初等變換的倍乘變換矩陣為厶(厶對角線上第J個元素G)形厶=c2 ,1則有 B嚴 jJbj? (J2t=A)伙=J；pTpj? =(PJ1JtAPJ2) = Pi AP氏中第J個元素為B的C：倍而R=PJ-且其只中對角線J個元素是P中對角線元素CJ倍。1例：已知對稱矩陣4=：211解At101-11-131-1-3-1一 1101131100一1求可逆矩陣P,使ptap且對角形式00 -3 一 1 一 10一 122一 1-12010000_30-1220-120_3-10073730-1730_300

10、730_3對單位陣E進行相應列初等變換得t1一 111_231310一 37亍一 3=13則此時有片=0000-19 / 9綜上所述合同變換不僅與相似變換有著某千絲萬縷的聯(lián)系，而且其本身也有著變換矩陣 多樣多樣，和結果的不確性，在對其特性與性質的聯(lián)系中帶來許多解題更多思路與方法。主要參考文獻1 北大數學系，高等代數第二版2 交大線性代數編寫。線性代數（第三版）M3 禾瑞高等代數N4 付立志對稱矩陣對角化相似變換模型5 王曉玲矩陣三種關系問聯(lián)系6 Brickel1 EF A Few Results in message /Xutheutication congress Numerantium 1

11、984 43 141-154矩陣的合同變換及性質定義：設A, B是數域F上兩個階矩陣，如果存在一個階可逆矩陣P使得B = PtAP成 立，那么 B與A合同特性：合同變換具有模型化，程序化的簡便性。引理1:在矩陣中，任意對角矩陣與合同J對角陣證明：數學歸納法當時，定理顯然成立設”1時，定理對料一1階對稱陣成立，A上階對稱田若A = 0則八本身已為對角陣不妨設AhO(1)討論A的對角線上元素不全為0的情況，這都可通過三行或列初等變換，使得 a 0 OE；E；E：A&E2 、= 0.0 A ,這里入是料一1階對稱陣，由歸納假設，存在則有”一1階可逆陣5,使rG 00Q AQ =U 急 Q =0(7?

12、 J:00 0a ，P = EE、Q0 .0 Q： Afi例：已知實對稱矩陣人=05 4合同于對角矩陣則 pT AP = QiE： E：E： AElE? EsQ =.0(2)若= 山，由A = 0,可通過對應的行列初等變換，使問題歸結到i 的情懷合同矩陣變換的應用，主要應用于二次型上，而二次型主要對積矩陣，而二次型 /(和吃,兀化簡，一般都歸結為對稱實矩陣A的合同變換在特性1:合同變換具有模型化，程序化的簡便性定理1：若在對稱矩陣A的下六并上一個單位矩陣，作列變換，則對的行與列分別六色 以一系列的對稱，初等變換使其式為對角陣時，單位陣成為A的合同變換矩陣。待性2：合同變換具有變換和結果的多樣性

13、，采取不同的合同變換，不僅可以得到不同 的對角矩陣而且還可以得到相同的對角ro 1 o o求可逆矩陣匕使(AP)r(AP)為對角矩陣0 0 12解由于A=A且(AP)7(AP) = P ,可見為使(AP)r(AP)為對角矩陣，實質上是使00 A =00100o0100005404540000.44“5護110000100001.0100010000 0 01 0 005 090 0-50 0 01 0 00 0 0 10 01 0 00 1 0八f4PtA2P =0050 1 一一50 0 10 0 00 0 10故可逆矩陣0000095.000100110F7?1100(2)當0010 0

14、0(AP)T(AP) = PrA2P =定理3：設PrAP = BA為對稱矩陣，B為對角矩陣，若要調換B的對角線上任意兩個 元素的位置得到色，則只要調換P中對應兩列，可得到使得用人人=色，即P的列與 的列與B具有對應性。說明：沒妝等變換的對調多換矩陣為J,顯然J： =J ,vB,=jPfAPJ, =(PJ)fAPJ = PAP.P與R=PJ(相比，列的排列順序不同，因此，尸的列與B的對角線上元素具有對應性。特性3：合同變換具有變換矩陣列但是與對角線元素的對應性。定理4：若要將B的對角線上第j個元素擴大得到禺，則只要得P中對應第j列擴 大C倍，即得到只，使得P?AR=B. 證明：設初等變換的倍乘

15、變換矩陣為人(人的對角線上第j個元素為C,其余為1)顯 然X=A = JBJ, = JPfAPJy = (PJJAPJ, =傷中的第j個元素B的我們發(fā)現(xiàn)j合同變換在對角化中有簡易行，凸現(xiàn)其方法(變換矩陣)和結果(對角陣) 的二、合同變換的本質在n階實對稱陣A和B的正負慣性指標都一樣，則S/A.3)有表示為A到B的合同變換 矩車構成的集合。引理1：假設實對稱矩陣A和B的正負慣性指標都一樣，則S/A為群證明：對于任意的則存在C, eSQ(A,B),C2eS0(A.B),使得 A = c-c, P2 = c-c2 因此 A A = (ccj,耳=c2，因此印5 = (c=) (c-c2 )= J (qc-c,), 而(CjC-1)1 A(ciclc2) = cJCc-1 )lcjAc1cflc2 =c；(c) Bcc? =cAc2 = cAc2 = B ,則 qc-c, w So(A,3)所以片弓w S(A,3)亦即有S(A.B),關于矩陣乘法封閉，易知s;(A,)關 于矩陣乘法滿足結合律，有單位矩陣，下設每個元素都有逆遠，假設PeSc(A.B)存在 C,e50(AB),使得 P = c-q ,所以 p-,=c-,c = c-,(c,c),因(trl) A(ccc) = c1 (f1 )cxAccxc = c1 (c*1 )Bcyc = cAc = B ,則 ccc e