高中奧林匹克物理競賽 微元法[教資材料]

1、 微元法方法簡介微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數(shù)學方法或物理思想處理，進而使問題求解。使用此方法會加強我們對已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。賽題精講例1：如圖31所示，一個身高為h的人在燈以悟空速度v沿水平直線行走。設(shè)燈距地面高為H，求證人影的頂端C點是做勻速直線運動。解析：該題不能

2、用速度分解求解，考慮采用“微元法”。設(shè)某一時間人經(jīng)過AB處，再經(jīng)過一微小過程t（t0），則人由AB到達AB，人影頂端C點到達C點，由于SAA=vt則人影頂端的移動速度可見vc與所取時間t的長短無關(guān)，所以人影的頂端C點做勻速直線運動.例2：如圖32所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為.試求鐵鏈A端受的拉力T.解析：以鐵鏈為研究對象，由由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點，分析每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物體的

3、平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況.在鐵鏈上任取長為L的一小段（微元）為研究對象，其受力分析如圖32甲所示.由于該元處于靜止狀態(tài)，所以受力平衡，在切線方向上應(yīng)滿足： 由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大T，所以整個鐵鏈對A端的拉力是各段上T的和，即 觀察 的意義，見圖32乙，由于很小，所以CDOC，OCE=Lcos表示L在豎直方向上的投影R，所以 可得鐵鏈A端受的拉力 例3：某行星圍繞太陽C沿圓弧軌道運行，它的近日點A離太陽的距離為a，行星經(jīng)過近日點A時的速度為，行星的遠日點B離開太陽的距離為b，如圖33所示，求它經(jīng)過遠日點B時的速度的大小.解析：此題可根據(jù)萬有引力提供行星的向心力求解

4、.也可根據(jù)開普勒第二定律，用微元法求解.設(shè)行星在近日點A時又向前運動了極短的時間t，由于時間極短可以認為行星在t時間內(nèi)做勻速圓周運動，線速度為，半徑為a，可以得到行星在t時間內(nèi)掃過的面積 同理，設(shè)行星在經(jīng)過遠日點B時也運動了相同的極短時間t，則也有 由開普勒第二定律可知：Sa=Sb 即得 此題也可用對稱法求解.例4：如圖34所示，長為L的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m，船的質(zhì)量為M，不計水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？解析：取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動過程中，系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動量守恒.設(shè)人在走動過程中的t時間內(nèi)為勻速運動，則可計算出船的位移

5、.設(shè)v1、v2分別是人和船在任何一時刻的速率，則有 兩邊同時乘以一個極短的時間t， 有 由于時間極短，可以認為在這極短的時間內(nèi)人和船的速率是不變的，所以人和船位移大小分別為， 由此將式化為 把所有的元位移分別相加有 即 ms1=Ms2 此式即為質(zhì)心不變原理. 其中s1、s2分別為全過程中人和船對地位移的大小， 又因為 L=s1+s2 由、兩式得船的位移 例5：半徑為R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長為R，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖35所示，若平衡時彈性繩圈長為，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k.解析：由

6、于整個彈性繩圈的大小不能忽略不計，彈性繩圈不能看成質(zhì)點，所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F.在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對象，進行受力分析.但是m受的力不在同一平面內(nèi)，可以從一個合適的角度觀察.選取一個合適的平面進行受力分析，這樣可以看清楚各個力之間的關(guān)系.從正面和上面觀察，分別畫出正視圖的俯視圖，如圖35甲和235乙.先看俯視圖35甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，m所對的圓心角是，則每一小段的質(zhì)量 m在該平面上受拉力F的作用，合力為因為當很小時， 所以再看正視圖35乙，m受重力mg，支持力N，二力的合力與T平衡.即 現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為 所

7、以 因此T= 、聯(lián)立，解得彈性繩圈的張力為： 設(shè)彈性繩圈的伸長量為x 則 所以繩圈的勁度系數(shù)為：例6：一質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度.解析：因為向心力F=mr2，當一定時，r越大，向心力越大，所以要想求最大張力T所對應(yīng)的角速度，r應(yīng)取最大值.如圖36所示，在圓環(huán)上取一小段L，對應(yīng)的圓心角為，其質(zhì)量可表示為，受圓環(huán)對它的張力為T，則同上例分析可得 因為很小，所以，即 解得最大角速度 例7：一根質(zhì)量為M，長度為L的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖37

8、所示，求鏈條下落了長度x時，鏈條對地面的壓力為多大？解析：在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實質(zhì)就是鏈條對地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力.根據(jù)牛頓第三定律，這個沖力也就等于同一時刻地面對鏈條的反作用力，這個力的沖量，使得鏈條落至地面時的動量發(fā)生變化.由于各質(zhì)元原來的高度不同，落到地面的速度不同，動量改變也不相同.我們?nèi)∧骋粫r刻一小段鏈條（微元）作為研究對象，就可以將變速沖擊變?yōu)楹闼贈_擊.設(shè)開始下落的時刻t=0，在t時刻落在地面上的鏈條長為x，未到達地面部分鏈條的速度為v，并設(shè)鏈條的線密度為.由題意可知，鏈條落至地面后，速度立即變?yōu)榱?從t時刻起取很小一段時間t，在t內(nèi)又有M=x落到

9、地面上靜止.地面對M作用的沖量為 因為 所以 解得沖力：，其中就是t時刻鏈條的速度v，故 鏈條在t時刻的速度v即為鏈條下落長為x時的即時速度，即v2=2gx，代入F的表達式中，得 此即t時刻鏈對地面的作用力，也就是t時刻鏈條對地面的沖力.所以在t時刻鏈條對地面的總壓力為 例8：一根均勻柔軟的繩長為L，質(zhì)量為m，對折后兩端固定在一個釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點離釘子的距離為x時，釘子對繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化，由此可用微元法求解.如圖38所示，當左邊繩端離釘子的距離為x時，左邊繩長為，速度 ，右邊繩長為 又經(jīng)過一段很短的時

10、間t以后，左邊繩子又有長度的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了，我們就分析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對它的拉力T和它本身的重力為繩子的線密度），根據(jù)動量定理，設(shè)向上方向為正 由于t取得很小，因此這一小段繩子的重力相對于T來說是很小的，可以忽略，所以有 因此釘子對右邊繩端的作用力為例9：圖39中，半徑為R的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動，細繩不可伸長但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M、m.設(shè)圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對繩的法向支持力線密度.解析：求盤對繩的法向支持力線密度也就是求盤對繩的法向單位長度所受的支持力.因為盤與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小相等，又因為繩上各點受的支持力

11、方向不同，故不能以整條繩為研究對象，只能以一小段繩為研究對象分析求解.在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元L，L所對應(yīng)的圓心角為，如圖39甲所示，繩元L兩端的張力均為T，繩元所受圓盤法向支持力為N，因細繩質(zhì)量可忽略，法向合力為零，則由平衡條件得：當很小時， N=T又因為 L=R則繩所受法向支持力線密度為 以M、m分別為研究對象，根據(jù)牛頓定律有 MgT=Ma Tmg=ma 由、解得： 將式代入式得：例10：粗細均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切.若在切點放一質(zhì)點m，恰使兩邊圓環(huán)對m的萬有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？解析：若要直接求整個圓對質(zhì)點m的萬有引力比較

12、難，當若要用到圓的對稱性及要求所受合力為零的條件，考慮大、小圓環(huán)上關(guān)于切點對稱的微元與質(zhì)量m的相互作用，然后推及整個圓環(huán)即可求解.如圖310所示，過切點作直線交大小圓分別于P、Q兩點，并設(shè)與水平線夾角為，當有微小增量時，則大小圓環(huán)上對應(yīng)微小線元其對應(yīng)的質(zhì)量分別為 由于很小，故m1、m2與m的距離可以認為分別是 所以m1、m2與m的萬有引力分別為由于具有任意性，若F1與F2的合力為零，則兩圓環(huán)對m的引力的合力也為零， 即 解得大小圓環(huán)的線密度之比為：例11：一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動機的功率是多少？解析：火箭噴氣時，要對氣體做功，取一

13、個很短的時間，求出此時間內(nèi)，火箭對氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動機的功率.選取在t時間內(nèi)噴出的氣體為研究對象，設(shè)火箭推氣體的力為F，根據(jù)動量定理，有Ft=mv 因為火箭靜止在空中，所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有F=Mg即 Mgt=mv t=mv/Mg 對同樣這一部分氣體用動能定理，火箭對它做的功為： 所以發(fā)動機的功率 例12：如圖311所示，小環(huán)O和O分別套在不動的豎直桿AB和AB上，一根不可伸長的繩子穿過環(huán)O，繩的兩端分別系在A點和O環(huán)上，設(shè)環(huán)O以恒定速度v向下運動，求當AOO=時，環(huán)O的速度.解析：O、O之間的速度關(guān)系與O、O的位置有關(guān)，即與角有關(guān)，因此要用微元法找它們之

14、間的速度關(guān)系.設(shè)經(jīng)歷一段極短時間t，O環(huán)移到C，O環(huán)移到C，自C與C分別作為OO的垂線CD和CD，從圖中看出. 因此OC+OC= 因極小，所以ECED，ECED，從而OD+ODOOCC 由于繩子總長度不變，故 OOCC=OC 由以上三式可得：OC+OC= 即 等式兩邊同除以t得環(huán)O的速度為 例13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過圓餅軸線的豎直截面如圖312所示，為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180計算.已知水銀密度，水銀的表面張力系數(shù)當圓餅的半徑很大時，試估算其厚度h的數(shù)值大約為多少？（取1位有效數(shù)字即可）解析

15、：若以整個圓餅狀水銀為研究對象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液體的體積不是h的簡單函數(shù)，而且支持力N和重力mg都是未知量，方程中又不可能出現(xiàn)表面張力系數(shù)，因此不可能用整體分析列方程求解h.現(xiàn)用微元法求解.在圓餅的側(cè)面取一個寬度為x，高為h的體積元，如圖312甲所示，該體積元受重力G、液體內(nèi)部作用在面積xh上的壓力F，還有上表面分界線上的張力F1=x和下表面分界線上的張力F2=x.作用在前、后兩個側(cè)面上的液體壓力互相平衡，作用在體積元表面兩個彎曲分界上的表面張力的合力，當體積元的寬度較小時，這兩個力也是平衡的，圖中都未畫出.由力的平衡條件有： 即 解得：由于 故2.7103mh3.8

16、103m題目要求只取1位有效數(shù)字，所以水銀層厚度h的估算值為3103m或4103m.例14：把一個容器內(nèi)的空氣抽出一些，壓強降為p，容器上有一小孔，上有塞子，現(xiàn)把塞子拔掉，如圖313所示.問空氣最初以多大初速度沖進容器？（外界空氣壓強為p0、密度為）解析：該題由于不知開始時進入容器內(nèi)分有多少，不知它們在容器外如何分布，也不知空氣分子進入容器后壓強如何變化，使我們難以找到解題途徑.注意到題目中“最初”二字，可以這樣考慮：設(shè)小孔的面積為S，取開始時位于小孔外一薄層氣體為研究對象，令薄層厚度為L，因L很小，所以其質(zhì)量m進入容器過程中，不改變?nèi)萜鲏簭?，故此薄層所受外力是恒力，該問題就可以解決了. 由以

17、上分析，得：F=(p0p)S 對進入的m氣體，由動能定理得： 而 m=SL 聯(lián)立、式可得：最初中進容器的空氣速度 例15：電量Q均勻分布在半徑為R的圓環(huán)上（如圖314所示），求在圓環(huán)軸線上距圓心O點為x處的P點的電場強度.解析：帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場不能看做點電荷產(chǎn)生的電場，故采用微元法，用點電荷形成的電場結(jié)合對稱性求解.選電荷元 它在P點產(chǎn)生的電場的場強的x分量為：根據(jù)對稱性 由此可見，此帶電圓環(huán)在軸線P點產(chǎn)生的場強大小相當于帶電圓環(huán)帶電量集中在圓環(huán)的某一點時在軸線P點產(chǎn)生的場強大小，方向是沿軸線的方向.例16：如圖315所示，一質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)，其半徑為R，質(zhì)量為m.令此環(huán)均勻帶正電，總電

18、量為Q.現(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光滑水平桌面上，并處于磁感應(yīng)強度為B的均勻磁場中，磁場方向豎直向下.當此環(huán)繞通過其中心的豎直軸以勻角速度沿圖示方向旋轉(zhuǎn)時，環(huán)中的張力等于多少？（設(shè)圓環(huán)的帶電量不減少，不考慮環(huán)上電荷之間的作用）解析：當環(huán)靜止時，因環(huán)上沒有電流，在磁場中不受力，則環(huán)中也就沒有因磁場力引起的張力.當環(huán)勻速轉(zhuǎn)動時，環(huán)上電荷也隨環(huán)一起轉(zhuǎn)動，形成電流，電流在磁場中受力導致環(huán)中存在張力，顯然此張力一定與電流在磁場中受到的安培力有關(guān).由題意可知環(huán)上各點所受安培力方向均不同，張力方向也不同，因而只能在環(huán)上取一小段作為研究對象，從而求出環(huán)中張力的大小.在圓環(huán)上取L=R圓弧元，受力情況如圖315甲所示.因轉(zhuǎn)動角速度而形成的電流 ，電流元IL所受的安培力因圓環(huán)法線方向合力為圓弧元做勻速圓周運動所需的向心力，當很小時， 解得圓環(huán)中張力為 例17：如圖316所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿，導軌間距為L，導軌的一端連接一阻值為R的電阻，其他電阻不計，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面.現(xiàn)給金屬桿一個水平向右的初速