選修2-1知識(shí)總結(jié)(20210412233843)

1、選修2-1知識(shí)點(diǎn)小結(jié)第一章常用邏輯用語(yǔ)(1) 命題命題：可以判斷真假的語(yǔ)句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或” “且” “非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡(jiǎn)單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡(jiǎn)單 命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。常用小寫(xiě)的拉丁字母 p, q, r, s, 表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q; p且q；非p。(2) 復(fù)合命題的真值“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p非p真假假真p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:pqp且q真真真真假假假真假假假假p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示:pqP或q真真真真假真假:真J真假假假注：1 像上面表示命題真假的表叫真值表；2。由真

2、值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與 p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況為假；“ p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況為真；3。真值表是根據(jù)簡(jiǎn)單命題的真假，判斷由這些簡(jiǎn)單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡(jiǎn)單命題的具體內(nèi)容。(3) 四種命題如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題；如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原 命題的否命題；如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，這個(gè)

3、命題叫 做原命題的逆否命題。兩個(gè)互為逆否命題的真假是相同的，即兩個(gè)互為逆否命題是等價(jià)命題若判斷一個(gè)命題的真假較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。(4) 條件一般地，如果已知 p q，那么就說(shuō)：p是q的充分條件；q是p的必要條件?？煞譃樗念?lèi)：(1)充分不必要條件，即 p q,而q p； (2)必要不充分條件，即 p q,而q p； (3)既充分又必要條 件，即p q,又有q p； (4)既不充分也不必要條件，即p q，又有q p。一般地，如果既有 p q,又有q p,就記作：p q. “”叫做等價(jià)符號(hào)。p q表示p q且q p。這時(shí)p既是q的充分條件，又是 q的必要條件，則p是q的充分必要條

4、件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件。(5) 全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題這里，短語(yǔ)“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題。短語(yǔ)“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞， 并用符號(hào)表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。注意：1.一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問(wèn)句都是命題，而祁使句、 疑問(wèn)句、感嘆句都不是命題；2. 判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。 原命題與其逆否命題是等價(jià)命題 ，逆命題與其否命題是等價(jià) 命題，一真俱真，一假俱假，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可考慮判斷其等價(jià)命題的

5、真假；3. 判斷命題充要條件的三種方法：(1)定義法；(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷，若 A B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；(3)等價(jià)法：即利用等價(jià)關(guān)系A(chǔ) B B A判斷，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系(或否定式)的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法; 第二章圓錐曲線與方程一.曲線方程(1)求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下:步驟含義說(shuō)明1、“建”：建立坐標(biāo)系； “設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo) 系，用(x,y)表示曲線上任 意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。(1) 所研究的問(wèn)題已給出坐標(biāo)系，即可直接設(shè)點(diǎn)。(2) 沒(méi)有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。2、現(xiàn)(限)：由限制條

6、件，列出幾何等式。寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合 P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫(xiě)出的條件簡(jiǎn)明正確。3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程 f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”:化簡(jiǎn)化方程f(x,y)-0為取簡(jiǎn)形 式。要注意冋解變形。5、證明證明化簡(jiǎn)以后的方程的 解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線 上的點(diǎn)?；?jiǎn)的過(guò)程若是方程的同解變形，可以不要證明， 變形過(guò)程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍 )。這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)代化”(2) 求曲線方程的常見(jiàn)方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲

7、線方程的五個(gè)步驟來(lái)求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于它，那么可 尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來(lái)，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。待定系數(shù)法2 圓錐曲線綜合問(wèn)題(1)圓錐曲線中的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題通常有兩類(lèi)：一類(lèi)是有關(guān)長(zhǎng)度和面積的最值問(wèn)題；一類(lèi)是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值問(wèn)題。這些問(wèn)題往往通過(guò)定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目

8、標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來(lái)解 決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來(lái)。圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法：設(shè)圓錐曲線 C : f(x, y)=0與直線I : y=kx+b相交于A(x1, y1)、B(X2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：(1) | AB |=肉- a2|=亠辿= 4工禺或|ab|= Ji占 |也 fF卜 j知刃若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn) F,則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=| AF|+| BF| 在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要 考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x,

9、y)的取值范圍。(2) 對(duì)稱(chēng)、存在性問(wèn)題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法。(3) 實(shí)際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn) 題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測(cè)，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作出 定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：建立坐標(biāo)系(4) 知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)

10、區(qū)分度的綜合題。2 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.點(diǎn)M(xO, yO)與圓錐曲線C： f(x, y)=0的位置關(guān)系曲錢(qián)條件結(jié)論楠圓點(diǎn)在曲線上2 2INK射冋山分曙1點(diǎn)在曲線外32悶HMi滬 2n 冷-+馬門(mén)點(diǎn)在曲蛾內(nèi)曲帆一|碼卜為乎醤=1點(diǎn)在曲線上唄隔15乎-帶1點(diǎn)在曲線外啊侶|2&乎一詈1點(diǎn)在曲絨內(nèi)拋物MF冋訃如點(diǎn)在曲壩上|MF| d y02 2p噸點(diǎn)在曲線外|MF| d yoa 0 ）焦點(diǎn)的弦，A（Xi , yj、B （x? 乂 ），直線AB的2傾斜角為則XiX2= P4F對(duì)A、B在準(zhǔn)線yiy2= p2 ;|AB|= 巴L以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)上射影的張角為90 :|FA|1|FB

11、|sin第三章空間向量與立體幾何一、空間向量及其運(yùn)算1 空間向量的概念向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量。說(shuō)明：由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向 線段表示；平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。2.向量運(yùn)算和運(yùn)算律OB OA AB abBAOA OB a b OPa(R)加法交換率：a bba.加法結(jié)合率：（a b）ca (bc).數(shù)乘分配率：（a b）

12、 a b.說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四邊形法 則在空間仍成立。3平行向量（共線向量）：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。a平行于b記作a / b 。注意：當(dāng)我們說(shuō) a、b共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說(shuō)a、b平行時(shí)，也具有同樣的意義。fc-共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a （ a豐0 ）、b , a / b的充要條件是存在實(shí)數(shù)使b = a注：上述定理包含兩個(gè)方面：性質(zhì)定理：若a / b （ a工0）,則有b = a，其中 是唯一確定的實(shí)數(shù)。判

13、斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使b = a （ a豐0）,則有a / b （若用此結(jié)論判斷 a、b所在直線平行，還需 a （或b ）上有一點(diǎn)不在 b （或a）上）。對(duì)于確定的和a , b = a表示空間與a平行或共線，長(zhǎng)度為| a |，當(dāng) 0時(shí)與a同向，當(dāng) 0時(shí)與a反向的所有向量。若直線I/ a , A l , P為I上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)op的表達(dá)式。推論：如果I為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a的直線，那么對(duì)任一點(diǎn) O,點(diǎn)P在直線I上的充要條件是存 在實(shí)數(shù)t,滿足等式OP OA ta其中向量a叫做直線I的方向向量。在|上取AB a，則式可化為OP (1 t)OA

14、tOB.當(dāng)t 1時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，貝UOP 1（OA OB） 2 2 或叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，是線段AB的中點(diǎn)公式。注意：表示式（*卜（* ）既是表示式 ，的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；推論的用途：解決 三點(diǎn)共線問(wèn)題。結(jié)合三角形法則記憶方程。4. 向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在直線與平面平行或a在 平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量 a平行于平面 ，記作a / 。注意：向量a / 與直線a/ 的聯(lián)系與區(qū)別。共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果兩個(gè)向量 a、b不共線，則向量 p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y,使p xa yb

15、.注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面。推論：空間一點(diǎn) P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y,使MP xMA yMB,或?qū)臻g任一定點(diǎn) 0,有OP OM xMA yMB.在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（x, y）是唯一的。式叫做平面 MAB的向量表示式。又 MA OA OM,. MB OB OM,.代入，整理得OP （1 x y）OM xOA yOB.由于對(duì)于空間任意一點(diǎn) P,只要滿足等式、之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面 MAB內(nèi)的任意一點(diǎn) P,都滿足等式、，所以等式、都是由不共線的兩個(gè)向量MA、MB（或不共線三點(diǎn) M、A、B

16、）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。5. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y,z,使 p xa yb zc.說(shuō)明：由上述定理知，如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是p|p xa yb zc,x、y、z R，這個(gè)集合可看作由向量 a、b、c生成的，所以我們把 a , b , c 叫做空間的一 個(gè)基底，a , b , c都叫做基向量；空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；一個(gè)基底是指一 個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；由于

17、0可視為與任意非零向量共線。與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是0。推論：設(shè) O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使OP xOA yOB zOC.6. 數(shù)量積(1)夾角：已知兩個(gè)非零向量 a、b，在空間任取一點(diǎn) O,作oaOBb，則角/ AOB叫做向量a與b的夾角，記作a, b(1)aAO(3)說(shuō)明：規(guī)定ow a, b w ，因而a, b = b, a ；如果 a, b =，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作 a丄b ；3)、(4)中的兩個(gè)向量的夾角不同,2在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖(圖（3）中/ AOB

18、= OA,OB ,圖（4）中/ AOB=AO,OB從而有 OA,OB = OA, OB = OA, OB .(2) 向量的模：表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模。(3) 向量的數(shù)量積：a b cos a,b叫做向量a、b的數(shù)量積，記作a b。即 a b = a b cos a,b ,向量AB在e方向上的正射影a e | AB | cos a,e A B(4)性質(zhì)與運(yùn)算律片HJ 4 a e cos a, e 。m（ a） b （a b）a丄ba b =0 a b=b a2*丿蟲(chóng)弓目扌 | a ia a. a （b C）、立體幾何中的向量方法i空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面

19、所成的角以及二面角。(1) 異面直線所成的角的范圍是 (0,。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面2問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決。具體步驟如下： 利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上； 證明作出的角即為所求的角； 利用三角形來(lái)求角。(2) 直線與平面所成的角的范圍是0,亍。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。具體步驟如下：所求的角；線所成的一切角中的最小角, 角，則有； 找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線； 連結(jié)垂足和斜足， 得出斜線在平面的射影， 確定出 把該角置于三角形中計(jì)算。注：斜線和平面所成的角， 是它和平面

20、內(nèi)任何一條直 即若B為線面角，a為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的(3) 確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； 如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； 利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a. 如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)

21、面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范圍在課本中沒(méi)有給出，一般是指(0,，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法精品 棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面 角的平面角； 面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即垂足) 斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角； 空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平

22、面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平 面角。斜面面積和射影面積的關(guān)系公式：S Seos (S為原斜面面積，S為射影面積，為斜面與射影所成二面角的平面角)這個(gè)公式對(duì)于斜面為三角形 ，任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí) ，如果能找得斜 面面積的射影面積，可直接應(yīng)用公式，求出二面角的大小。2. 空間的距離(1)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P到直線 a的距離為點(diǎn)P到直線 a的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線 a所在平面的垂線， 得垂足為A，過(guò)A作 a的垂線，垂足為E連pe，則由三垂線定理可得線段pe即為點(diǎn)P到直線a的距離。在直角三角形PAB中求出PE的長(zhǎng)即可。點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)P到平面的距離為點(diǎn)P到平面的垂線段的長(zhǎng)常用求法作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)A，B到斜足C的距離AB，AC的比為m：n，則點(diǎn)A，B到平面的距離之比也為 m:n .特別地，AB = AC時(shí)，點(diǎn)A，B到平面的距離相等；體積法(2) 異面直線間的距離：異面直線a，b間的距離為a，b間的公垂線段的長(zhǎng)常有求法先證線