導數(shù)的綜合題型

1、F列有關命題的說法正確的是 A 命題若X? =1，則X=1 ”的否命題為：若x?=1，則X學1 ”； B 命題“ x R，使得X2 x :： 0 ”的否定是：“-R ,均有X2 x 0 ”; 2 2 C .在AABC中， A B ”是Cos A ： cos B ”的充要條件； D . X=2或y=1”是X，y=3 ”的非充分非必要條件 18.（本小題滿分12分） 今天你低碳了嗎？近來，國內網(wǎng)站流行一種名為碳排放計算器”的軟件，人們可以由此 計算出自己每天的碳排放量。例如：家居用電的碳排放量（千克）=耗電度數(shù) 0.785，汽 車的碳排放量（千克）=油耗公升數(shù)0.785等。東北育才中學高一某班同學

2、利用寒假在兩個 小區(qū)逐戶進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查。若生活習慣符合低碳觀念的稱為 低碳族”，否則稱為 非低碳族”。這二族人數(shù)占各自小區(qū)總人數(shù)的比例P數(shù)據(jù)如下: 低碳族 非低碳族 比例P 1 T 1 S 2 B小區(qū) 低磺族 非低碳離 比例P* 4 T 1 5 （I）如果甲、乙來自 A小區(qū)，丙、丁來自B 小區(qū)，求這4人中恰有 2人是低碳族的概率； （II ） A小區(qū)經(jīng)過大力宣傳，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列.如果2周后隨 機地從A小區(qū)中任選25人，記 表示25個人中低碳族人數(shù)，求 E . 18解：（I）記這4人中恰好有2人是低碳族為事件 A， P（A）= 1 11

3、1 * 1 丄 4 2255 （II ）設A小區(qū)有a人, 4 11 1 44=3 22552255100 弓（1-1）2 2周后非低碳族的概率以=之5- 25 2周后低碳族的概率 p 817 _ 25 _ 25， 依題意 B（25， 1717 15），所以 E =2515=17 打算從土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴這5種種子中選出4種分別種在四塊不同的空地上（ 塊空地只能種一種作物）.若打算在第一塊空地上種南瓜或石榴，則不同的種植方案共有 21.(本小題滿分12 分) 已知函數(shù)f(x)同時滿足如下三個條件：定義域為_1,1 ； f(x)是偶函數(shù)；X. _1,0 時，f(x)，其中 a，R. e

4、e (I)求f (x)在0,1上的解析式，并求出函數(shù)f (x)的最大值； x23 (n)當 a = 0 , x0,1時，函數(shù) g(x) =(x-2-)e2x - f (x)，若 g(x)的圖象恒 aa 在直線y二e上方，求實數(shù)a的取值范圍(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e =2.71828川) 1 a 21. (1)任取 0,1,則-x -1,0, f(-x)亦 -x =e2x -aex, e e 又 f(x)是偶函數(shù)，故 x. 0,1時，f(x)二 f(-x)二 e2x-aex.2 分 由f(x)是定義域為-1,1的偶函數(shù)可知，f(x)在0,1的最大值即可為f(x)的最大值. 當 x 0,1時，

5、2 xa 2 a 令 t 二e 1,e,f(x)= h(t) =(t-) -一 2 4 ae 亠 12 乞，即a Ee 1 時，fmax(x)二h(e)二f(1) =e -ae; 2 2 ae亠1 ，即a e 1時，fmax(x) =h(1) =f(0) =1-a;5 分 2 2 綜上可知：a me 1 時，fmax(x) = f =e2 - ae； a e 1時，fmax(x)二 f(0) =1 - a. 6 分 另解： 由f(x)是定義域為-1,1的偶函數(shù)可知，f(x)在X 0,1的最大值即可為f(x)的最大值. 當 X 0,1時， f(x)二e2x -aex.= f(x) =2e2x -

6、aex 二ex(2ex-a) 當a乞0時，f(x)恒大于0,故f(x)在區(qū)間0,1單調遞增. 此時 fmax(x) = f (1) =e2 -ae 當 a 0時，f (x)二 ex(2ex - a)二 0= x = ln a 2 當In a0,即0 宀2時，可得x0,1時f(x) .0,故f(x)在區(qū)間0,1單調遞增. 此時 fmax(x)二 f 二 e2 -ae 當 0 ：lna 1,即2 ：a 2e時，可得 x 0,ln a時f(x)0, x In a,1時f(x) _0, 2 22 可知f(x)在區(qū)間0, I na單調遞減在區(qū)間In衛(wèi),1單調遞增. 2 2 又 ff(0)= a ：e 1

7、; 故2 a Ee 1 時fmax(x) =f(1) =e2 -ae;e 1 ： a 乞2e時fmax(x) =f(0) =1-a; lna 1,即a 2e時，可得x 0,1時f(x)：0,可知f(x)在區(qū)間0,1單調遞減. 2 此時 fmax(x) = f () = 1 - a7分 綜上可知：a _ e 1 時，fmax(x)二 f =e2 - ae； a e 1時，fmax(x)二 f (0) = 1 - a. (3)g(x) 2 x =( X - 2 - 3)e2x f (x) aa 2 =(亠 x _2 _-)(e2x -e2x aex) = (x x _2 _ ) aex = (x2

8、 ax _ 2a _ 3)ex 9 分 aaaa 10分 要x三0,1時，函數(shù)g(x)的圖象恒在直線 y=e上方， 即 x 0,1時,gmin(x) e成立， g(x)二(x a 3) x 令 g(x) =0，解得 - -a -3x =1 -a-3 乞 0,即 a_-3且 a = 0時，可得 x 0,1時 g，(x)乞 0, 故g(x)在區(qū)|、和,1單調遞減 此時 gmin (x)二g(1) = (-2-a)e e二 a 3,與a】 ：3且a = 0矛盾 11分 當 0 :-a-3 1,即-4： a：-3時，可得 x 0,-a-3 時,g(x) _0, x -a-3,1時 g(x)z0, 可知

9、f(x)在區(qū)間0, - a - 3單調遞增.在區(qū)間-a - 3,1單調遞減. 此時 -e- 3 2 故-4 : a ： -3時可滿足題意； 12分 -a-3_1，即a繃寸，可得x 0,1時g(x) _0,可知g(x)在區(qū)間0,1單調遞增. 此時 gmin (x)二g(0) = -2a - 3 e= a e 3，又a 一-4.故a 一-4時可滿足題意.13分 2 gm (x) e = g(0) e,且g(1) e,又g(0) = 2a3 e二 a,g(1) e二 a ：-3 14分 綜上可知：a ： -3時,g(x)的圖象恒在直線 y=e上方, 23.(本小題滿分 10分)選修4-4;坐標系與參

10、數(shù)方程 已知在平面直角坐標系 xOy內，點P(x,y)在曲線C：丿x1*。0出為參數(shù)，日己r) y = si n 日 上運動.以Ox為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為P cos( ) = 0 4 (I)寫出曲線 C的標準方程和直線的直角坐標方程； (H)若直線與曲線 C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求.IABM面積 的最大值. 23.解：(1 )消去參數(shù)二，得曲線C的標準方程：(x-1)2 y2 =1. 由cos( ) = 0 得: cost -sin v - 0 , 4 即直線的直角坐標方程為：x - y = 0. (2)圓心(1, 0)到直線的距離為 1 、1 1 2 1 1

11、, 則圓上的點M到直線的最大距離 .2 -1 (其中r為曲線 C的半徑)， AB12.2)2 .設 M點的坐標為 (x, y), 則過M且與直線垂直的直線 方程為：x y 0 , 則聯(lián)立方程丿 (x-1)2 y2 =1 解得 ，或 經(jīng)檢驗 舍去. 故當點M為戶 2 -)時，ABM面積的最大值為 2 “c 1- V2V2+1 （S. ABM ） max= ?17 函數(shù)f(x)在X二處取得極大值f()二一-1 n2 , 28 函數(shù)f (x)在x =2處取得極小值 f(2)=ln2-1 ;4分 1110 (II)方法 1： f x Ax - - (1 a),11,3 時，X (2, ), 5 分 x

12、x3 (i) 當 1_2，即 a -1 時， 1,3時，x .0,函數(shù)f(x)在1,3是增函數(shù) xG1,3 , f x f 1 =0恒成立；7 分 107 (ii) 當 1 a 一 ，即 a 一 7 時， （ ?T）= 20.(本小題滿分12分) 已知函數(shù) f(x)=l(x -1)2 ln x _ax a . 2 3 (I)若a =-，求函數(shù)f (x)的極值； 2 (n)若對任意的x壬(1,3)，都有f(x)=0成立，求a的取值范圍. 1 (川)求證：(1)n : e, n N (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)). n (1f(x)=J (x 0) X x f (x) -I n(1 +x) _ 1 x

13、 2 x 設 g(x*-ln(1 x),(x_0). g (x) _ 2 (1 x) 1 (1 x) 2 (1 x) -x 2 (1 x) x y = g(x)在b,川心】；上為減函數(shù). x 二 g(x)In(1 x)乞 g(0) = 0 , 1 +x x -In (1+x) f (x 1 x 20, x In (1 + x) 函數(shù)f(x)在(0,:-)上為減函數(shù). (2)In(1 x) ax 在(0,二)上恒成立, =In(1 x)_ax ：0在(0,：)上恒成立, 設 h(x)二 In(1 x) - ax，則 h(0) = 0 , 1 h (x)a ,7 分 1 +x 1 若a _1，則0

14、, :時，h(x)a乞0恒成立， 1 +x h(x)二 ln(1 x ax 在 0, :上為減函數(shù) In(1 x) - ax ： h(0) = 0 在(0,：)上恒成立， In(1 x) ： ax 在(0,：)上恒成立， 9 分 若a乞0顯然不滿足條件， 11 若 0 ： a : 1，則 h (x)a = 0 時，x 1， 1 +xa _ 1 x 0,1 時 h (x) _0 , IL a 1 h(x)=ln(1 x)-ax 在 0,-1 上為增函數(shù)， IL a _ 1 當 x 0,1 時，h(x) = In( 1 x) - ax 0 , -a 不能使In(1 x) : ax在(0, ：)上恒

15、成立， a _110分 (3)由 可知 x) ： 1在(0,=)上恒成立， x 1 1 ln(1 x)x 1,即(1 x)x : e, 11 取 =n，即可證得(1 )n : e對一切正整數(shù)n成立. xn 1 +a 已知函數(shù) f(x)=x-aInx , g(x)- -,(a R). x (I)若a = 1，求函數(shù)f (x)的極值； (n)設函數(shù)h(x)二f (x) - g(x)，求函數(shù)h(x)的單調區(qū)間； (川)若在l1,el ( e= 2.718.)上存在一點x0，使得f(x0： g(x0)成立，求a的取 值范圍。 18.(共 13 分) 解：(I) f (x)的定義域為(0,：), 當 a

16、 =1 時，f(x)=x lnx， f(x)=1 x x (0,1) 1 (1,丘) f (x) 一 0 + f(x) 極小 所以f(X)在X=1處取得極小值14分 1 +a (n) h(x) = xa In x , x h(x) / _1_a = x2 ax；(1 a) =(x 1)x(1 a) x xxx 當 a 1 0時，即 a -1 時，在(0,1 a)上 h(x) ：0，在(1a, ：)上 h(x) 0 , 所以h(x)在(0,1 a)上單調遞減，在(1a, ：)上單調遞增； 當 1 0，即 a 乞 _1 時，在(0, ：)上 h(x) 0 , 所以，函數(shù)h(x)在(0,址)上單調遞

17、增 (ill )在1,e 1上存在一點x0，使得f紙廠：g(x)成立，即 在1,e 1上存在一點 怡，使得h()：0, 即卩 函數(shù)h(x)二x 1_ -alnx在1,el上的最小值小于零 x 由(n)可知 即1 a _e，即a _e -1時，h(x)在1,e 1上單調遞減， 所以h(x)的最小值為h(e)，由h(e) =e 匚工-a ： 0可得 e 22 因為e-1，所以a e 1 ; e1e1 當1 a _1，即a _0時，h(x)在l1,el上單調遞增， 所以h(x)最小值為h(1)，由h(1) =1 1 a ：0可得a ”2 ; 當 1 ：1 a :e,即 0 : a :e-1 時，可得

18、 h(x)最小值為 h(1 a), 因為 0 : ln(1 a) ： 1，所以,0 ： a ln(1 a) ： a 故 h(1 a) =2 a aln(1 a) 2 此時，h(1 a) 0,所有 h(x )在 x1,e上為增函數(shù),hg = h(1) = 10, x _ 2x 所以 a“ 一2x( xw1,e) 12 分 x -In x 令 g(x)=x2；2x( x 引U)，又 g(x)=(x-1)(x+2-嚴 x) , 13分 xI nx(x I n x) 當 x 乏1,e時，x130,1 nx 蘭 1 , x+2_2l nx0, 從而g(x)30 (僅當x=1時取等號)，所以 g(x)在1

19、,e上為增函數(shù)， 15分 故g(x)的最小值為g(1) =_1，所以a的取值范圍是一1,亦). 已知二項式(2 + x2)8，求： (1) 二項展開式第3項的二項式系數(shù)； (2) 二項展開式第8項的系數(shù)； (3 )系數(shù)最大的項. 已知函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1) = 0，當x 0時，有xf (x) 2 f (x)0，則 x 已知集合U=R ,集合M=y 不等式x2f (x) 0的解集是. y=2x,xR,集合 N =xy = lg(3 x),則 CuM N 二. 已知函數(shù)f(x)=x33x 過點P(2, -6)作曲線y = f (x)的切線，求此切線的方程。 1小 a 1，函數(shù)

20、f(x) =logax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為，則a 解：a .1,函數(shù)f(x)=logaX在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值分別為 1 . 1 loga 2a,log a a =1，它們的差為 ，-log a 2, a =4. 2 2 說明：注意底數(shù)的取值范圍，它影響函數(shù)的單調性. 變式：將條件a . 1去掉. 52. “ |x1 v2成立”是“ x(x-3) co成立”的必要不充分條件_ 說明：小范圍可以推大范圍，大范圍不能推小范圍. 53. 已知p :不等式| x | x -11 m的解集為R, q : f (x)二-(7 -3m)x是減函數(shù)，如果兩個 命題有且只有一個正確，

21、則實數(shù)m的取值范圍為1,2 說明：會在數(shù)軸上理解絕對值的幾何意義，分類討論思想. 54. 函數(shù)f (x)的定義域為 x | x R,且x=1，已知f(x 1)為奇函數(shù)，當x : 1時, f(x)= 2空x + 1,則當XA1時，f(x)的遞減區(qū)間是7,邑) 4 說明：函數(shù)的單調性、奇偶性是高考函數(shù)題的重點考查內容，本題主要考查對單調性 和奇偶性的理解，判斷函數(shù)奇偶性和求函數(shù)單調區(qū)間的基本方法以及函數(shù)解析式的 求解方法的掌握. 55.設定義在R上的函數(shù)f x滿足f x f x 2 =13，若f 1 =2，則f 99 = 13 說明：函數(shù)的周期性是高考函數(shù)題的重點考查內容，幾個重要的周期公式要熟悉

22、 ，如: f(x+a)=f(x a)，則 T=2a. f(x+a)= 1 f(x) 則T=2a等. 56. 若f(x)=log a (2-ax)在】0, 1上是減函數(shù)，貝Va的取值范圍是 分析：本題必須保證：使log a (2-ax)有意義，即a0且a豐1,2-ax 0.使log a (2-ax) 在0 , 1上是x的減函數(shù).由于所給函數(shù)可分解為y=log a u, u=2-ax，其中u=2-ax在a 0 時為減函數(shù)，所以必須a 1;0,1必須是y=log a (2-ax)定義域的子集. 解：因為f(x)在0, 1 上是x的減函數(shù)，所以f(0) f(1), 即 log a 2 log a (2

23、-a) (1)復合函數(shù)的單調性；(2) 說明：本題綜合了多個知識點，需要概念清楚，推理正確. 真數(shù)大于零. 57. 已知f(x+199)=4x 2 + 4x+3(x R),那么函數(shù)f(x)的最小值為2 . 分析：由f(x + 199)的解析式求f(x)的解析式運算量較大，但這里我們注意到，y=f(x + 100) 與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關系，它們取得 的最大值和最水值是相同的.由y二4/ + 4x+3二4仗+$+2,立即 求得f(x)的最小值即f(x + 199)的最小值是2. 說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質本身在學習中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關系，函 數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調

24、性、周期性及求最值等方面都有重要用途. 變求f(sinx)的最小值為 58. 方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(k-丄飛丄)(k Z)，則k的值為 2 2 分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象.它們的交點橫坐標 怡, 顯然在區(qū)間(1 , 3)內，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了 實際上這是要比較 冷與2的大小.當x=2時，Igx=lg2 , 3-x=1 .由于lg2 v 1,因此x0 2，從而判定 x (2 , 3) X。的鄰近兩個函數(shù) 說明：本題是通過構造函數(shù)用數(shù)形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間數(shù)形結合, 要在結合方面下功夫.不僅要通過圖象直

25、觀估計，而且還要計算 值，通過比較其大小進行判斷. 59.若關于x的不等式4x 2x a _0在1,21上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為a乞0 說明：換元法，恒成立問題的常規(guī)解法，轉化為二次函數(shù)的最值. 2 60.設f(x)=lg(丄 a)是奇函數(shù)，則使f (x) : 0的x的取值范圍是(-1,0) 1 X 解：依題意，得 f(0) = 0，即 lg(2 a) = 0，所以，a = - 1, f(x)=lgD 1 - x 又 f (x) ：0 ,所以，0：丄 x：1，解得：一1vx v 0. 1 -x 說明：f(x)是奇函數(shù)且在 x=0有定義，則f(0)=0 . 1 1 (3) 33 a2 a_

26、2 11 a a 2 已知a2 a =3，求下列各式的值 (1) a - a d (2) a2 a 2 設常數(shù) a _ 0 ,函數(shù) f (x) = x -1 n2 x 2aln x -1 (x (0, ：) (I)令g(x)=xf(x)(x 0)，求g (x)的最小值，并比較g (x)的最小值與零的大小; (n)求證：f(x)在(0,r)上是增函數(shù)； (川)求證：當x 1時，恒有x ln2x -2aln x 1 解(I)： f (x) = x _(ln x)(ln x) 2a ln x -1, x (0,：) f(x)=1- ln x (ln x) - 2a ,=1_2nx 空,2 分 xx

27、xx x g(x) =xf (x) =x-2ln x 2a , x (0,：) 2 x _2 g(x)=1，令 g(x)=0,得 x=2 ,4 分 x x 列表如下： x (0,2) 2 (2,心) g(x) 0 + g(x) 極小值g(2) / g(x)在 x =2 處取得極小值 g(2) =2-2ln 2 2a , 即g(x)的最小值為g(2) =2-2ln 2 2a .6分 g(2) =2(1-l n2) 2a, Tn 2 ： 1 , 1ln 20 ,又 a _ 0 , g(2)0 .8 分 證明(n)由(I)知，g(x)的最小值是正數(shù)， 對一切 x 三(0,：)，恒有 g(x) = xf(X). 0 ,10 分 從而當x . 0時，恒有f (x) . 0 ,11分 故f (x)在(0,)上是增函數(shù).12分 證明(川)由(n)知： f (x)在(0,)上是增函數(shù)， 當 x 1 時，f(x) f(1),13 分 又 f(1)=1 一| n21 2al n1 -1 =0,14 分 f (x)0，即 x -1 -1n2 x 2a ln x 0 , 2 x In x -2aln x 1 故當 x . 1 時，恒有 x I