專題4立體幾何-備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學解答題專項必殺100題(真題+經(jīng)典)(新高考)(解析版

1、專題4立體幾何真題再現(xiàn)1. （2020年北京港）如圖，在正方體中.為的中點.（I）求證 BG/平面AD.E.（II）求直線與平面AD.E所成角的正弦值.2【答案】 =）證明見解析：（二）亍在正方體 ABCD-ABCD中.AB/A.B,且AB/CD且 A0=CQ,：ABHCD且A3 = C*所以，四邊形ABCD為平行四邊形，則BCJIAD、,: BCg 平而 AD, AD（u 平面 AD、E . ：.BC、平而 ADXE.（二）以點A為坐標原點，AD、AB、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系 A-xyz ,3設正方體ABCD ABGP 的棱長為2,則4(000).人(0,0

2、,2). 0(202)、(0,2,1),AD. =(2,0,2). A = (O21)，設 T liil ADjE 的法向量為 n = (x.yyz)，n AD. = 0 rfa1iiAE = 0得 $ + 2=02y+ z = 0令z = -2,則x = 2, y = l,則方=(2丄一2)cos =n AA4 _ 23?2 3 *2 因此，直線與平面AD.E所成角的匸弦值為一2. （2020年山東卷）如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，加丄底面ABCD.設平面刃刀與平面加（7 的交線為I.（1）證明：/丄平面PDC；（2）已知PD=AD=lt 0為/上的點，求加與平面0CQ所成角的正弦值

3、的最大值.【答案】（1）證明見解析：（2）並.3【解析】（1）證明：在正方形ABCD中，AD/BC.因為AD（z平而PBC, BCu平而PBC,所以ADII平而PBC,又因為AD u平而PAD，平而PAD A平而PBC = I,所以AD/1.因為在四棱錐P-ABCD中，底而ABCD是正方形，所以4D丄DC,:.!丄DC,且PD丄平而ABCD,所以AD丄PD,：.I丄PD、因為 CDCPD = D所以/丄平而PDC；（2）如圖建芷空間直角坐標系D-xyz ,因為 PD = AD = b 則有 (0,0,0),C(0丄0),4(100),P(0,0,1),8(1,1,0),設 Q(m9 0,1),

4、則有 DC = (0丄 0), DQ =(加,0J), PB = (1 丄一 1),設平面QCD的法向量為n = （x,兒z），y = 0nix + z = 0令x = l,則z =加，所以TifneCD的一個法向雖為：=（1,0,-加），則-n - PB 1 + 0 + mcos=W = VM根據(jù)直線的方向向量與平而法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平而所成角的正弦值，所以直線與T：而所成角的正弦值烏丁 I cos =11 + /?/1* +i/3 l + 2/n + /r T v /?2+l乎慶壬呼打1呂卑曲沖且僅當心時取等號, 所以直線阮詢g所成角的正弦值的最大值為厚3. （2020

5、年天津卷）如圖，在三棱柱ABC 一 A 4G中,CCj丄平面ABC、AC丄BC、AC = BC = 2,CC、=3, 點D E分別在棱人人和棱CCt,且AD = 1 CE = 2, M為棱A&的中點.(l) 求證：GM 丄 B、D；(n求二面角B-B.E-D的正弦值；(m)求直線A3與平面DB.E所成角的正弦值.【答案】(I )證明見解析：(II) 迺；(III) 2.63【解析】依以c為原點,分別以w cb. 疋的方向為兀軸、y軸、z軸的正方向建立空間譏角坐標系(如圖),可得C（0,0,0）、A（2,0,0）、B（O2O）、C,（0,0,3）.A, (2,0,3)、3(023)、Q(2,0,

6、l)、E(0,0,2)、M(l,l,3)(二)依題意，QW=(1 丄0),瓦5 = (2,-2,-2),從而麗麗 =22 + 0 = 0,所以GM丄B、D：（-）依題意，04=（2,0,0）是平而BB百的一個法向量,EB；=（O21） ）=（2,0,-1）.n EB、= 0n ED = 0設n = （x, y, z）為平而DBXE的法向量,2y + z = 0 即2x-z = 0不妨i殳x = l,可得 = (1,-1,2).cos CAji:.sin =/l-cos2 =6所乩二而角的正弦值為瞑（二）依題意，而=（一220）卜料” 2?2 x /6由（二）知齊=（1,一1,2）為平而DB、E

7、的一個法向量，于是cos = ABf 4書 所以，直線AB JTiinDB.f所成角的匸弦值為迺.34. （2020年海南卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD丄底面ABCD.設平面P4Q與平面FBC的交線為/（1）證明：/丄平面FDG（2）已知PD二4D=, 0為/上的點，QBP，求加與平面0CD所成角的正弦值.【答案】（1證明見解析：（2）逅.3【解析】（1）證明：在正方形ABCD中，AD/BC,因為ADcz平而PBC, BCu平而PBC , 所以ADH T-而PBC ,又因為AD u平而PAD，平而PAD A平而PBC = I,所以AD/，因為在四棱錐P-ABCD中，底而ABC

8、D是正方形，所以4D丄DC,.丄DC,且加丄平W ABCD，所以AD丄PD、：.l丄PD、因為 C.DPD = D所以/丄平而PDC：(2)如圖建立空間直角坐標系D-x)z ,因為 加=AD = ,則有 (0,0,0), C(0,1,0), A(l, 0,0), P(0,0,1), B(1 丄 0),設 0,1)，則有 DC = (0,1,0), DC =(加,0,1),兩=(1,1,一 1)，肉為 OB= 5/2，斤以彳f J(7_l)2 +(0_1)= +(1_0) = 5/2 =m = 1設T而QCD的法向量為2 = (x, y, z),則DC n=.DQn=0y = 0x + Z =

9、0令x = l,則Z = 1所以平而QCD的一個法向處為H = (l,0,-l),則- m1 + 0 + 12 V6cos =（廠二=f=f=/z|PB| JF + O + （-I）? JF + F +1/2xy/33根據(jù)直線的方向向屋與平而法向雖所成角的余弦值的絕對值即為直線與平而所成角的正弦值，所以直線與平而所成角的正弦值等于I cos 1=蟲3所以血線PB J平而QCD所成角的止弦值為色.35. （2020 年浙江卷）如圖，三棱臺 4BCDEF 中，平面 ACFD丄平面 4BC, ZACB=ZACD=45, DC=2BC.（I）證明：EF丄DB；（H）求OF與面DSC所成角的正弦值.【答

10、案】（I）證明見解析：（II）旦3【解析】（I）作DH丄4C交AC于連接平而ADFC丄平Ifu ABC.而平而ADFCA平而ABC = AC，DHu平而ADFC,:DH丄平而ABC,而BCu平面ABC .即有QH丄BC.：ZACB = ZACD = 45.匡 CD = CH = 2BCnCH =C 任BH 中，BH2 = CH2+BC2-2CH -BCcos45 = BC2.即有BH2 + BC2=CH2, ：. BH 丄 BC. 由棱臺的定義可知，EF/BC,所以DH丄EF，BH丄EF、而EHCDH =H , EF丄平而BHD，而BD u平而BHD，：EF丄DB.（II）伙為DFHCH ,所

11、以DF與平而DBC所成角即為ljCH平而DBC所成角.作HG丄BD于G,連接8,由（1）町知，BC丄平而因為所以平而BCD丄平而BHD,而平而BCDQ平而BHD = BD,HGu平而BHD, ：.HG丄平而BCD.即CH在平而DBC內(nèi)的射影為CG、ZHCG即為所求角.在Rt/HGC中，設BC = a，則CH = ，HG =型_凹=逬竺=羋。，BD 屆 J3sin ZHCG = 故莎與平面咖所成角的正弦值為孕高考模擬1. （2020.$徽省舒城中學月考（文）如圖，四棱錐S-ABCD中，SD丄底面ABCD, AB/CD , AD丄DC,AB = AD = i, DC = 2, SD =邁,E 為棱

12、 SB 的中點.（1）求證：SC丄平面ADE；（2）求點到平面沁的距離, 【答案】（1）見證明：（2）力=至11【解析】解：（1）取BC的中點F，連結(jié)EF，AF.如圖:因為SD丄底而ABCD所以SD丄AD,又因為AD丄DC且SDrDC = D,所以AD丄平面SDC,得AD丄SC.又因為CD丄而ASD且ABHCD所以AB丄面ASD，在 RlHSAD 中 SD = 、AD = 、SA =忑,在 RtSAB 中力 B = 1,SB = 2, F 為 BC 的中點，故 AE = -SB = 2在 RtASCD 中 SQ = JI, CD = 2,SC =點，所以 F = -SC =2在 AABD 中，

13、AB = AD = 、BD =忑,故 ZABD = 45 ,在 ACBD 中，BD = BC = y/2，故 ZDBC = 90 ,在AABF中，AB = ,BF = ,ZABF = 35，由余弦定理知M =娶，2 2在A4EF中，AE = , EF =並,af = 滿足勾股泄理所以丄EF,從而AE丄SC.2 2所以SC丄平而ADE.2；疋接加并取中點Q連按EO. OC,過O作OM丄CD交CD j M點.過0作ON丄AD交JD于N點，如圖：.在她叱中,O護冷皿=込扣 oc = 4omt+mct=fiY+V102SQ丄底而ABCD E為棱SB的中點EO丄底而ABCD即AEOC為直角三角形即EC

14、=在MFC中 AE = , AC = J?，EC = JJ 由余弦怎理知cosE = W 即sinE = MEC.- S心=xAExECxsinE = xlx-73x5： = - 222/34|x2?/=I4xt, h=yf2. （2020.江西東湖南昌二中高二期末（文）如圖.在三棱錐P-ABC中，PB丄AC, AB = AC = hPB = 2近,PC = y/6, ZPBA = 45 （1）求證：平面P4B丄平面PAC； （2） EF分別是棱PB、BC的中點，G為棱PC上的點，求三棱錐A-EFG的體積.【答案】（1）詳見解析:（2）丄.12【解析】（1）證明：在AE4B中，由余弦龍理得：P

15、A? = PB+ AB】 2PBABcos ZPBA解得：PA = y/5AC2 + PA2 = PC2 AC 丄必又 AC 丄 PB, PAPB = P:.AC 丄平而 Q4B又AC u平面PAC二平而PAB丄平面PAC(2) 冷沁=*PB ABsinZPBA = | 2近 sin45 = 1C-PABAC = xlxl = E，F(xiàn) 分別是棱 PB、BC 的中點:.EFIIPC:. SFG = | Sc-v v V vA-EFG 一 丁 yA-PBC 一 j VC-PAB 一 3. （2020江西上髙二中高二月考（理）如圖，四棱錐P-ABCD中，AB/DC . ZADC =-,2AB = A

16、D = -CD = 29 pd = PB = E PD 丄 BC 2（1）求證：平面丄平面PBC；在線段PC上是否存在點M ,使得平面ABM與平面PBD所成銳二面角為彳？若存在，求右的值; 若不存在，說明理由.【答案】（1）見證明；（2）見解析【解析】（1）證明：因為四邊形ABCD為直角梯形，I AB / /DC, AB = AD = 2 LADC =,2所以BD = 2近又因為CD = 4,ZBDC = t 根據(jù)余弦怎理得BC = 2屁4所以CD2 = BD1 + BC2.故BC丄BD.又因為BC丄PD. PDcBD = D,且BD PQu平而PBD，所以BC丄平而PBD，又因為BCu平面P

17、BC,所以平面PBC丄平面PBD（2）由（1）得平而ABCD丄平而 設E為BD的中點，連結(jié)PE，因為PB = PD =所以PE丄BD, PE = 2又平而ABCD丄平而PBD, 平而ABCDQ平而PBD = BD，PE丄平而ABCD.如圖，以A為原點分別以而，麗和垂直平ifu ABCD的方向為x，y,乙軸正方向，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz ,則 A(0,0,0), 3(020), C(2,4,0), (2,0,0), P(1 丄2),CM假設存在滿足要求.設 = z(0A/3,-l）,因為疋.而=（2,據(jù)1）.（1, 一館,0）= -1工0,所以PC G AB不垂直，所以在線段PC上不存在點

18、E使得PC丄平而ABE.5. （2020-定遠縣私立啟明民族中學高三三模（理）已知四棱錐中P-ABCD,底面ABCD為菱形， ZABC = 60t PA丄平面ABCD, E、M分別是BC、PD上的中點，宜線EM與平面PAD所成角的 正弦值為瓦，點F在PC上移動5（I）證明：無論點F在PC上如何移動，都有平面AEF丄平面PAD；（II）求點F恰為PC的中點時，二面角C-AF-E的余弦值【答案】（I ）見解析（）亜5【解析】（I ）連接AC底而ABCD為菱形，ZABC = 60， AABC是正三角形，E 是 BC 中點， 4E丄 BC又 ADHBC, A AE 丄 AD- P4丄平而 ABCD,

19、Au平ifil ABCD,- Q4丄又PArAE = A AE丄平面PAD、又AEu平而AEF：平而AEF丄平而PAD （1【）由（I）得，AE，AD，AP兩兩垂直，以AE. AD AP所在直線分別為乳軸，7軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，T AE丄平面PAD. ZAME就是EM與平而PAD所成的角，在 RlMME 中.sinZAME = 即竺=近，5 AM 2設AB = 2a 則 AE = a，得AM =阪 又AD = AB = 2a.設PA = 2b.則1,1 V AM = ja2 +b2 = /2a， 從而 b = a , PA = AD = 2a則A(0,0,0),(?(屈40), (0,加,0) P(O02d),所以AE = (y/3a0)t AF =BD =3, 0),設Mxjz）是平而AF個法向量，則n- AE