(整理)圓錐曲線定義幾何性質(20210411214649)

1、專題：圓錐曲線、圓錐曲線的定義的考查且橢圓的另外一個焦點在 BCX21、已知 ABC的頂點B、C在橢圓3 + y = 1上，頂點A是橢圓的一個焦點,邊上，則 ABC的周長是（）（A）2書（B）6（ C）4屮（D）122 2P到右準線的距離之比等于2、 已知雙曲線3x -y-9,則雙曲線右支上的點P到右焦點的距離與點 （ ）2、3A. .2B.C. 2D.433、已知定點 A、B且|AB|=4，動點P滿足|PA| |PB|=3，則|PA|的最小值是1 37A .B .C.D . 52 224、已知A -丄,0 j, B是圓F :0)上變化，貝U x 2y的最大值為(A )2 27、若動點(x,y

2、)在曲線篤4 b(A)b24(0 :：: b ：. 4)；4；2b (b _4)b2(B),42b(0 ： b ：. 2)；(b-2)(C)匚4 ；4(D) 2b。8 設 a, b22R ,a 2b =6,則a b的最小值是A - 2 2C. 3三、直線與圓錐曲線的位置關系:21、已知橢圓Ci的方程為 y2 =i，雙曲線C2的左、右焦點分別為Ci的左、右頂點，而4C2的左、右頂點分別是Ci的左、右焦點。(1) 求雙曲線C2的方程；(2) 若直線I: y二kx.2與橢圓Ci及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且I與C2的兩個交點A和B滿足OA OB :：: 6 (其中O為原點)，求k的取值范圍。2、

3、已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在X軸上，斜率為i且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于 A、B兩點，OA OB與a=(3,-i)共線。(I)求橢圓的離心率；T (H)設 M為橢圓上任意一點，且 OMQAQiOB (YR)，證明3)的直線I過點(0,-23 )和橢圓C :務篤=1(a b 0)的焦點，且a bC于點M、N,4滿足OM ON二6站/ MON工0( o為原點).若存在，求直線 m的方程；若不存在，請說明理由過原點垂直I的直線方程為y 3 x ,3解得x = 3.2橢圓中心(0, 0)關于直線l的對稱點在橢圓 C的右準線上,2 3.3.c 2直線l過橢圓焦點，該焦點坐標為(2, 0).222

4、X.c二2,a=6,b = 2. 故橢圓C的方程為一2-1.6 2(II )設 M ( Xi,yi), N ( X2, y2).設直線m: x二ty -2，代入，整理得(t2 3)y2 -4ty - 2 =0.4t-2力y2,y1y2 4t 28I y y2 戶迸3y2)rym =(嚴.3) 嚴.324t224(t23)2 .=0M ON = J6cot/MON ,即 | OM | cosZMON334 一 cos/MON33si nMON42.|OM|ON|sin. MON .6,. S OMN =6.33124t2+24SOMN 卞曲SOEN S|OE|y1y2|. (t2，3)22422

5、24 = 2 6，整理得 t4 =3t2.(t2 - 3)23解得t二 3,或t =0.故直線m的方程為y x -,或y33經檢驗上述直線均滿足OM ON -0.所以所求直線方程為 y = 色x ,或33yx-注，或 x2.334、如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點Fi, F2在x軸上，長軸A1A2的長為4左準線I與x軸的交點為 M，IMA* : |AiFi|= 2 : 1 .(I )求橢圓的方程；(n )若直線li: x= m(|m| 1), P為li上的動點，使/ F1PF2最大的點P記為Q,求點Q的坐標(用m表 示).2解：(I)設橢圓方程為篤a2y2 =1 ( a b b2半焦距為c

6、,則2a| MA1 |a ,| AR | = a c,c由題意，得a2a = 2 a(cc2a =4a2 =b 牟ca = 2,b =3, c = i2故橢圓方程為-y4(11)當y21 3設 P(m, y),| m| 1=0 時，F1PF2 =0當y=0 時，0 MFiPF2/PFiMji 1);(I)試證：bn2n ：；3(n)取bn=，并用Sn表不匚PnF nGn的面積,試證：S V S2 且 Sn Sn+3 (n3). 圖(2 2 )圖證：(1)由題設及橢圓的幾何性質有設tn=衛(wèi)1 -b：,則右準線方程為lnX因此，由題意dn應滿足2dn HPnFn| |PnGn2,故 dn =1.丄

7、1胡1即ex，解之得：丄蘭編 0).過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M.(I)證明FM AB為定值；(n)設 ABM的面積為S,寫出S= f(為的表達式，并求 S的最小值.解：(I )由已知條件，得F(0, 1), A0.設 A(X1, y1), B(x2, y2).由 AF = AFB ,即得(一x1, 1 y)= Xx2, y2 1),廠X1 =瓜21一 y1 = Xy2 1)將式兩邊平方并把 y1 = $12, y2=?x22代入得y1=和2解、式得 y1=人y2 =1，且有x1x2= ?x22= 4為2= 4,入1 o 1拋物線方程為y= x ,求導得y= 1x.所以過拋物線

8、上A、 B兩點的切線方程分別是1 1y = J 2知S 4，且當-=1時，S取得最小值4.8、已知兩定點F1（J2,0 ）,F2（J2,0 ），滿足條件PF2與曲線E交于 代B兩點，如果 AB =6.3，且曲線E上存在點C，使:ABC的面積S本小題主要考察雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關系、點到直線的距離等知識及解析幾何的基 本思想、方法和綜合解決問題的能力。解：由雙曲線的定義可知，曲線 E是以F1 - .2,0 ,F2 .2,0為焦點的雙曲線的左支，且 c = . 2, a =1，易知 b =122故曲線E的方程為x -y = 1 x ： 0+ X22 )2+ ( 2)2=PR = 2的

9、點P的軌跡是曲線E，直線y = kx 1OA = OB = mOC，求m的值和設A xi,yi ,B X2,y2 ，由題意建立方程組y = kx _ 12 2x -y =1消去 y，得 1-k2 x2 2kx-2 =0又已知直線與雙曲線左支交于兩點AB，有1 -k2 H022 =(2k 2 +8(1 -k2 )a02 kX1 +% = 0k1-k2又AB二 1 k2 Xi X2-2k=1k2 、x1血 $ -4x1x2c4 -k24 1-k21k2 2-k22 2(1-k2)依題意得押3整理后得 28k4 55k2 + 25 = 0(1 -k2 J k-或 k2 = 5 但-, 2 : k ：

10、 -174故直線AB的方程為上5 x y 1 =0設 C Xc,yc ,由已知 OA OBmOC，得 i亠x?, y?=訶冷,m%X1 X2 y1 y2- mxc,myc-2kl又 x X224 , 5 ,k -1C J75 8C ,一Im m ,點2k2y1 y2 = k 1 X X2 - 2-2 k -1Xt8將點C的坐標代入曲線E的方程，得8-一卑=1m m得m二4，但當m二-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意 m=4 , C點的坐標為 - -5, 21C到AB的距離為_1_3 ABC 的面積 S =1 6、3 -232 29、已知橢圓 Ci： X y 1,拋物線 C2： (y-m

11、)2 = 2px( p 0),且 Ci、43C2的公共弦AB過橢圓G的右焦占八、-(I )當AB丄x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線 C2的焦點是否在直線 AB上；(n)是否存在m、p的值，使拋物線 G的焦點恰在直線 AB上？若存在，求出符合條件的 值；若不存在，請說明理由解 (I)當AB丄x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以 m = 0,直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為(1, 3 )或(1, - ) 2 2因為點A在拋物線上，所以9 =2p，即p =9 .48此時C2的焦點坐標為(,0),該焦點不在直線 AB上.16(n)解法一 當C2的焦點在AB時，由(I)知直線AB的斜率存在，設直

12、線AB的方程為y y =k(x 1) x2 y2 消去 y 得(3+4k2)x2 8k2x+4k2 12=0.|143設A、B的坐標分別為(X1, yj , (x2,y2),貝U X1, X2是方程的兩根，X1 + X2=-.3+4k2因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是過C2的焦點的弦，111所以 AB =(2 X1) (2 X2)=4(X1 X2),且2 2 2=(為 P) (X2 衛(wèi))=為 X2 P 2 2= k(x1).ABny從而所以解得因為1 x1 x2 p = 4 - 一(為 x2).224 6 p加8kx. x 2，即233 4kk2 =6,即k - ,6 .、 2C2的焦點F

13、 (-，m)在直線y=k(x-1)上，所以3/ 66m或m33m 6時，直線AB的方程為y-. 6(x_1)； 3m6時，直線AB的方程為y = ._6(x_1).34 -6p3解法二 當C2的焦點在AB時，由(I)知直線 AB 為 y =k(x_1).； 、2 _8(y m) 一3 x消去 y 得(kx _k _m)2 =- x. y=k(x1)3因為C2的焦點F (2 ,m)在直線y=k(x-1)上，3所以m =k(2-1)，即m=_lk.代入有(kx-空)2333即 k2x2 -4(k22)x 4k 0.39設A、B的坐標分別為(x1, y1) , (x2,y2),2則X1,x2是方程的

14、兩根，X1 + x2= 4(k2)y 二k(x-i)由 x2 y2 消去 丫 得(3 4k2)x2 1.43由于X1,X2也是方程的兩根，所以從而因為的斜率存在，設直線3k2-8k2x 4k2 12 =0Xi + X2=t3 4k22 24(k2)解得 k2 =6,即 k= .6 .3 - 4k23k2C2的焦點.21F （一，m）在直線y=k（x1）上，所以 m k .33寸6、m或m =336 m =時，直線 AB的方程為y-】6(x-1)； 3m詩時，直線AB的方程為. 解法三 設A、B的坐標分別為（xi, yi）, （X2, y2）,AB的方程因為AB既過Ci的右焦點F(1,0)，又是過C2的焦點F(,m),pp11所以 AB =(X +) +(X? +) =X +x? + p = (2 x)+(2 X?)2 222 即 Xr +x2 =2 (4 _p)二16.3 9由