(完整版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)提綱

1、第一章隨機(jī)事件及其概率一、隨機(jī)事件及其運(yùn)算1. 樣本空間、隨機(jī)事件 樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，用表示； 樣本空間：樣本點(diǎn)的全集，用表示；注：樣本空間不唯一. 隨機(jī)事件：樣本點(diǎn)的某個(gè)集合或樣本空間的某個(gè)子集，用A,B,C,表示; 必然事件就等于樣本空間；不可能事件()是不包含任何樣本點(diǎn)的空集； 基本事件就是僅包含單個(gè)樣本點(diǎn)的子集。2. 事件的四種關(guān)系包含關(guān)系：A B，事件A發(fā)生必有事件 B發(fā)生; 等價(jià)關(guān)系： A B，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件 B發(fā)生必有事件 A發(fā)生; 互不相容(互斥)： AB ，事件A與事件B一定不會(huì)同時(shí)發(fā)生。對(duì)立關(guān)系(互逆)A，事件A發(fā)生事件a必不發(fā)生，反之也成

2、立;互逆滿足Aa8德摩根(De Morgan)定律：A B AB,UA對(duì)于n個(gè)事件，有i1nI Ai 1AB AB二、隨機(jī)事件的概率定義和性質(zhì)1公理化定義：設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為，對(duì)于任隨機(jī)事件 A(A),都有確定的實(shí)值P(A)，滿足下列性質(zhì)：(1)非負(fù)性：P(A) 0;(2)規(guī)范性：P( ) 1;I A,i 1nUAn注：互不相容和對(duì)立的關(guān)系(對(duì)立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對(duì)立事件。)3.事件的三大運(yùn)算 事件的并：A B，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生。若 AB 事件的交： A B或 AB，事件A與事件B都發(fā)生； 事件的差： A-B，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。4.事件的運(yùn)算規(guī)律

3、，則 A B A B ；交換律：ABBA, AB BA結(jié)合律：(AB)CA (B C), (A B)C A (B C)分配律：A(BC)(A B) (A C), A(B C) (A B) (A C)nkk 有限可加性(概率加法公式)：對(duì)于k個(gè)互不相容事件 Aj,A2 ,Ak，有P( A) P(A).i 1i 1則稱(chēng)P(A)為隨機(jī)事件A的概率.2. 概率的性質(zhì) P( ) 1,P( )0 P(A) 1 P(A)若 A B，則 P(A) P(B),且P(B A) P(B) P(A) P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(AB C) P(A) P(B) P(C)P(AB) P(BC) P(A

4、C) P(ABC)注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的如若P(A) P(B),則A Bo (X) 若P(A) 0,則A 。(x)三、古典概型的概率計(jì)算古典概型：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足兩個(gè)條件：只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，k每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相同，則稱(chēng)該概率模型為古典概型，P(A) k on典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有 M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件樣品，則(1) 在放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有 m件次品(不妨設(shè)事件 A)的概率為cnM m(N M)n mP(A) nNn(2) 在不放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有 m件次品(不妨設(shè)事件 A)的概率為P(A2)ANCM cN mcN四、條件

5、概率及其三大公式1.條件概率：P(B|A) PPAB),P(A|B)驚J P(A)P(B)2.乘法公式：P(AB) P(A)P(B|A) P(B)P(A| B)P(AAL An) P(A)P(A2|A1)P(As| AAJL P(AnlAL An1)nn3.全概率公式：若 B1,B2,L ,Bn 滿足 U Bj, BiBj,i j,則 P(A)P(Bi)P(A| Bi)。P(B)P(A|BJnii 14.貝葉斯公式：若事件 B1,B2,L ,Bn和A如全概率公式所述，且 P(A) 0,貝V P(Bi | A)P(B)P(A|Bi)i 1五、事件的獨(dú)立1.定義：若P(AB) P(A)P(B),則

6、稱(chēng)A,B獨(dú)立2.在 A,B , A,B , A, B ,推廣：若 A1, A2,L ,An 相互獨(dú)立，P(AL An) P(AJL P(An)P(AB)P(A)P(B)3.三個(gè)事件 A, B, C 兩兩獨(dú)立：P(BC)P(B)P(C)P(AC)P(A)P(C)注:n個(gè)事件的兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。(相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立，反之不成立。)4伯努利概型：Pn(k) C：pkqnk,k 0,1,2,L , n, q 1P.A, B四對(duì)事件中，只要有一對(duì)獨(dú)立，則其余三對(duì)也獨(dú)立。1. 事件的對(duì)立與互不相容是等價(jià)的。(X)2. 若 P(A) 0,則 A 。 (X)3. 若 P(A) 0.1, P(B) 0.5

7、,則 P(AB) 0.05。 (X)4. A,B,C三個(gè)事件恰有一個(gè)發(fā)生可表示為ABC ABC ABC。 ( V )5. n個(gè)事件若滿足i, j, P(AAj) P(A)P(AJ，則n個(gè)事件相互獨(dú)立。(X)6當(dāng) A B 時(shí)，有 P(B-A)=P(B)-P(A) o (V)第二章隨機(jī)變量及其分布一、 隨機(jī)變量的定義：設(shè)樣本空間為，變量X X()為定義在上的單值實(shí)值函數(shù)，則稱(chēng)X為隨機(jī)變量，通常用大寫(xiě)英文字母，用小寫(xiě)英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1. 定義：設(shè)隨機(jī)變量X，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x R，函數(shù)F(x) PX x稱(chēng)為隨機(jī)變量 X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù)。注：當(dāng) X1 X2時(shí)，P(X1

8、 X X2) F(X2)F(X1)(1) X是離散隨機(jī)變量，并有概率函數(shù)p(Xj),i 1,2,則有F(x) p(x).Xj XXX連續(xù)隨機(jī)變量，并有概率密度f(wàn) (x)，則F(x) P(X x)f (t) dt.2. 分布函數(shù)性質(zhì)：(1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對(duì)于任意X1 0;它反映了隨機(jī)變量 X取值分散的程度，如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2. 方差的性質(zhì)(1) D(C) 0, (C為常數(shù))(2) D(CX)=C 2D(X)(3) 若X與Y相互獨(dú)立，則 D(X Y)=D(X)+D(Y)(4) 對(duì)于任意實(shí)數(shù) C R,有 E ( X-C )2 D( X )當(dāng)且僅當(dāng)C =

9、E(X)時(shí)，E ( X-C )2取得最小值D(X).(5) (切比雪夫不等式):設(shè)X的數(shù)學(xué)期望 日X)與方差D(X)存在,對(duì)于任意的正數(shù)，有P(|X-E(X)| )或 P(|X-E(X)|v ) 1-D. 3. 計(jì)算(1)利用方差定義; 常用計(jì)算公式D(X) E(X2) E(X)2. (3)方差的性質(zhì)；(4)常見(jiàn)分布的方差若 X P(),則 E(X) D(X)；1 1若 X e()，則E(X) , D(X)注：常見(jiàn)分布的期望與方差1. 若 X0n, p),則 E( X)=np, D(X) = npq;2.23. 若 X Ufa, b),則 E(X) - b, D(X) (b；4.2 12D(X

10、)5.若 X N( , 2),則E(X)三、原點(diǎn)矩與中心矩(總體)X的k階原點(diǎn)矩：vk(X) E(Xk)k(總體)X的k階中心矩：uk(X) EX E(X)1. 只要是隨機(jī)變量，都能計(jì)算期望和方差。(X )2. 期望反映的是隨機(jī)變量取值的中心位置，方差反映的是隨機(jī)變量取值的分散程度。(V)3. 方差越小，隨機(jī)變量取值越分散，方差越大越集中。(X )4. 方差的實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量函數(shù)的期望。(V)5. 對(duì)于任意的 X,Y，都有D(X Y) DX DY成立。(X )第四章正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義1. 正態(tài)分布2X N(,)概率密度為f (x) v2,其分布函數(shù)為F (x)(t )222 dt注：F(

11、 )!.正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性:(1)曲線關(guān)于x 對(duì)稱(chēng)；1(2當(dāng)x時(shí)，f (x)取得最大值一 ；(3)當(dāng) x1時(shí)，f (x)0,以x軸為漸近線;(4)=(x )22e 2 dx 1(x )2e 2? dx(5當(dāng)固定改變|的大小時(shí)，f(x)的 圖形不變，只是沿著y軸作平移變化.(6)當(dāng)固定卩，改變(的大小時(shí)，f(x)對(duì)稱(chēng)軸不變而形狀在改變，(越小，圖形越高越瘦;越大，圖形越矮越胖.2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布0,1時(shí)，XN(0,1),其密度函數(shù)為(x)2x2-且其分布函數(shù)為(x)(x)e 2 dt.(0)x21 石e 2 dx 122x2 dxx) 1(x).3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理：若 X N

12、( ,2),則 YN(0, 1).定理：設(shè) X N( , 2),則 P(X1 XX2)二、正態(tài)分布的數(shù)字特征設(shè) X N( ,2),則1.期望E(X)1E(X) .2(x )2xedx2.方差 D(X)2D(X)(x(x )2)2e 2 $ dx3.標(biāo)準(zhǔn)差 (X)三、正態(tài)分布的性質(zhì)1.線性性設(shè)X N(2),則 丫 abX N (a b , b2 2 )，(b 0)2.可加性設(shè)X N(2), Y N(：),且X和Y相互獨(dú)立，則N(3.線性組合性設(shè)Xi - N( i,：),1,2, ,n，且相互獨(dú)立，則ci X i N (i 1Cii 12Cii 1四、中心極限定理i2).10定理解釋?zhuān)喝鬤 1 ,

13、 X 2,Xn滿足上述條件,當(dāng)n充分大時(shí)，有(1)YnnX i n 口i 1 AN(0,1);. n(TYnnXii 12 AN (n , n )；1.獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2, ,Xn,相互獨(dú)立，服從相同的分布，且E(Xi),D(Xi)2, i 1,2, n,nXi n卩.(t )21 x ,xedt則對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，有l(wèi)im Pi 1n.n(Tv21n141 n 2(3) X XiAN(,)n i 1n(t2)2dt2. 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè) Yn B(n, p),貝U lim P Jn np_ x 丄 n Jnp(1- p)2定理解釋?zhuān)喝鬥n B(n, p)

14、,當(dāng)n充分大時(shí)，有(1)_AN(0,1) ;(2) Yn AN (np, np(1 p)、n p(1 p)1. 若 X N(0, 1), Y N(2, 1),則 X Y N( 2, 2).( X )2X12. 若 X N(,),則 P(0)-.( V )3. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布：X N( , 42), Y N( , 52)而 5 P(X 4); P2P(Y 5),則(B ).A.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有P1P2；B.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有a P2C.只對(duì)的個(gè)別值，才有p1p2;D.對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有p1p2.1x2 2x 11/24. 已知連續(xù)隨機(jī)變量 X的概率密度函數(shù)為 f(x) r=e則X的數(shù)

15、學(xué)期望為_(kāi)1; X的方差為%第五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)一、總體個(gè)體樣本1. 總體：把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體(或母體).它是一個(gè)隨機(jī)變量，記 X.2. 個(gè)體：總體中每個(gè)研究對(duì)象稱(chēng)為個(gè)體.即每一個(gè)可能的觀察值.3. 樣本：從總體X中，隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體X1, X2, ,Xn,稱(chēng)為總體X的容量為n的樣本。注： 樣本(Xi,X2, ,Xn)是一個(gè)n維的隨機(jī)變量； 本書(shū)中提到的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其滿足2個(gè)特性:代表性：Xi，X2， ,Xn中每一個(gè)與總體 X有相同的分布.獨(dú)立性：Xi, X2， ,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量4. 樣本(Xi，X2， ,Xn)的聯(lián)合分布n設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本

16、(X1, X2, , Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為FgK，,xn)F(Xi);i 1n(1)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f (x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x-!, x2, ,xn)f (xi);i 1n 設(shè)總體X的概率函數(shù)為p(x), (x 0,1,2,),則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為P(Xi,X2, ,Xn) p(xj；i 1二、統(tǒng)計(jì)量1. 定義不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)g(X1,X2, ,Xn)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量，gx, ,xn)是g(X1 ,x2, ,Xn)的觀測(cè)值.注：(1)統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2,Xn)是隨機(jī)變量；(2)統(tǒng)計(jì)量g(XX 2, ,Xn)不含總體分布中任何未知參數(shù);(3)統(tǒng)計(jì)量的分

17、布稱(chēng)為2.常用統(tǒng)計(jì)量抽樣分布.(1)樣本矩：樣本均值1 n Xii 1；其觀測(cè)值nXi .i 1可用于推斷：總體均值E(X).樣本方差 S2 nn 1 i 1(Xi2X)其觀測(cè)值s2x)2樣本標(biāo)準(zhǔn)差S :. S21 nn 1i1(XiX)2X2inX2);Xi2 nx2可用于推斷：總體方差D(X).1 nI2一2 Xi2 nX2 n * 1 i 1其觀測(cè)值1 n-(XiX)2n 1 i 1樣本k階原點(diǎn)矩vkXik,(k11,2,)其觀測(cè)值vknkxi1樣本k階中心矩ukn(Xii 1X)k, (k 1,2,其觀測(cè)值ukn(Xi X)ki 1注：比較樣本矩與總體矩,如樣本均值X和總體均值E(X)

18、;樣本方差S2與總體方差D(X)；樣本1,2,)與總體k階原點(diǎn)矩E(Xk),(k 1,2,);樣本k階中心矩1 nk階原點(diǎn)矩Vk- Xik,(kn i 1Uk(XiX)k,(k1,2,)與總體k階原點(diǎn)矩EX E(X)k,(k1,2,).前者是隨機(jī)變量，后者是常數(shù)(2)樣本矩的性質(zhì)設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為 EX , DX 2 , X, S2為樣本均值、樣本方差，則1o E(X) ；2o D(X) - 2；3o E(S2)2.n3. 抽樣分布：統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布三、3大抽樣分布1. 2 分布： 定義.設(shè) X1；X2. ,Xk 相互獨(dú)立，且 XiN(0,1),i 1,2, ,k，貝U 2

19、 xj X； xj2(k) 注：若 X N(0,1),則 X2 2(1).(2)性質(zhì)(可加性)設(shè)12和夕相互獨(dú)立，且122(kJ；2(k2),則122 2(k1k2).2. t分布：設(shè) x 與 丫 相互獨(dú)立,且XN(0,1),Y 2(k),則t,/kt(k).注：t分布的密度圖像關(guān)于t=0對(duì)稱(chēng)；當(dāng)n充分大時(shí)，t分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).3. F分布：定義.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且X2(k1), 丫2(k2),則FX；k21F(k1,k2).(2)性質(zhì).設(shè) XF(k1,k2),則 1/X F(k2,kJ.四、分位點(diǎn)定義：對(duì)于總體 X和給定的(01),若存在x，使得P(X x ) 則稱(chēng)x為X

20、分布的分位點(diǎn)。注：常見(jiàn)分布的分位點(diǎn)表示方法(1)2(k)分布的 分位點(diǎn) 2(k);(2) t(k)分布的 分位點(diǎn)t (k),其性質(zhì)：t1(k) t (k);1(3) F (kk2),分布的 分位點(diǎn) F (kk2),其性質(zhì) F1 (k1,k2);F hK)(4) N(0,1)分布的 分位點(diǎn) u ,有 P(X u )1 P(X u )1 (u ),第六章參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)：設(shè)(X1, X2, ,Xn)為來(lái)自總體X的樣本，為X中的未知參數(shù)，(X1,X2, ,Xn)為樣本值，構(gòu)造某個(gè)統(tǒng)計(jì)量?(X1,X2,Xn)作為參數(shù)的估計(jì)，則稱(chēng)?(X1,X2,Xn)為的點(diǎn)估計(jì)量，？&1心，冷)為 的估計(jì)值.2. 常

21、用點(diǎn)估計(jì)的方法：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法二、矩估計(jì)法1. 基本思想：用樣本矩(原點(diǎn)矩或中心矩)代替相應(yīng)的總體矩2. 求總體X的分布中包含的 m個(gè)未知參數(shù)1, 2, , m的矩估計(jì)步驟： 求出總體矩，即E(Xk)或EX E(X)k,k 1,2,: 用樣本矩代替總體矩，列出矩估計(jì)方程：XiE(Xk)或 1(Xin i 1X)EXE(X)k,k 1,2,17解上述方程(或方程組)得到 1 , 2m 的矩估計(jì)量為：？ ?i(X1, X2, ,Xn), i 1,2, ,m1, 2, , m 的矩估計(jì)值為：？(X1,X2, ,Xn), i 1,2, ,m3. 矩估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單；只須知道總體的矩，不須知道總體的分布形式缺點(diǎn)：沒(méi)有充分利用總體分布提供的信息；矩估計(jì)量不具有唯一性；可能估計(jì)結(jié)果的精度比其它估計(jì)法的低三、最大似然估計(jì)法1. 直觀想法：在試驗(yàn)中，事件A的概率RA)最大,則A出現(xiàn)的可能性就大；如