平方差公式的教學(xué)設(shè)計(1)講解

1、 平方差公式的教學(xué)設(shè)計 平方差公式【課題】 15.2.1 【教材】 人教版八年級數(shù)學(xué)上冊第151頁至153頁. 【課時安排】 1個課時. 【教學(xué)對象】 八年級（上）學(xué)生.【授課教師】 華南師范大學(xué) 林佳佳. 【教學(xué)目標(biāo)】 ? 知識與技能 （1）理解平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性； （2）達(dá)到正用公式的水平，形成正向產(chǎn)生式： “+ ”“2 2”. ? 過程與方法 （1）使學(xué)生經(jīng)歷公式的獨立建構(gòu)過程，構(gòu)建以數(shù)的眼光看式子的數(shù)學(xué)素養(yǎng)； （2）培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力； （3）培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，為學(xué)生提供運用平方差公式來研究等周問題的探究空間。 ? 情感態(tài)度價值觀 糾正片面觀點：

2、“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際意義！學(xué)了數(shù)學(xué)沒有用！”體會數(shù)學(xué)源于實際，高于實際，運用于實際的科學(xué)價值與文化價值。 【教學(xué)重點】 1.平方差公式的本質(zhì)的理解與運用；2.數(shù)學(xué)是什么。 【教學(xué)難點】 平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。 flash。【教學(xué)手段】計算機(jī)、PPT、講練結(jié)合、討論交流。【教學(xué)方法】 【教學(xué)過程設(shè)計】 教學(xué)流程設(shè)計根據(jù)著名心理學(xué)家桑代克的試誤學(xué)設(shè)計意圖：能夠讓學(xué)運用該情境，“準(zhǔn)備律”，習(xí)理論中的生在動機(jī)上做好準(zhǔn)備，對所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生興趣， 速算王的產(chǎn)“饑餓狀態(tài)”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)前處于對知識的 “絕招”從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生彌合心“缺口”，生一個心理 理缺口的

3、學(xué)習(xí)動力。新課程改革的理念之一就是學(xué)習(xí)方設(shè)計意圖：式的轉(zhuǎn)變。現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式的基本特征包括“體 讓學(xué)生強(qiáng)調(diào)學(xué)生親身去經(jīng)歷、，去感悟。驗性”從聽老師講推導(dǎo)轉(zhuǎn)向?qū)W生自己動手進(jìn)行數(shù)學(xué)表）do “做數(shù)學(xué)推導(dǎo)演算，示、體現(xiàn)（mathematics 的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理念。 動手操作 ” 設(shè)計意圖：根據(jù)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是組織者、引導(dǎo)者與合作者的新理念，通過三個不同的刺激模式，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出平方差公式的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。 設(shè)計意圖：根據(jù)變式理論，設(shè)計了不同形式類型的典型例題，突出平方差公式的本質(zhì)，即： 結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。設(shè)計意圖：呼應(yīng)“速算王的絕招”這一部分，解答學(xué)生心

4、中的疑惑，彌合學(xué)生心中的“缺口”，讓他們體會到平方差公式的威力。 設(shè)計意圖：根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計該練習(xí)，以鞏固所學(xué)?？梢宰寣W(xué)生接觸不同形式的問題，建立起以數(shù)的眼光看式子的整體觀念，進(jìn)一步強(qiáng)化平方差公式的本質(zhì)，即：結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。 設(shè)計意圖：新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)中包括情感態(tài)度價值觀目標(biāo)。設(shè)計幾何解釋與問題解決，目的是使學(xué)生看到數(shù)學(xué)中的公式反映了實際問題中的客觀關(guān)系，是看得見摸得著的，糾正偏見“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際的意義?！睂W(xué)了數(shù)學(xué)公式可以用來解決實際問題。使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，從而構(gòu)建起正確的數(shù)學(xué)觀。 設(shè)計意圖：

5、強(qiáng)調(diào)平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性；指出學(xué)習(xí)此公式的用途；通過問題進(jìn)一步化解?c)?(a?bc)(ab“結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性”這一難點，并為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下伏筆。 設(shè)計意圖：第1題是為了鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，使學(xué)生達(dá)到正用公式的水平；第2題是為學(xué)生提供更大的思維發(fā)展空間，是把課內(nèi)知識延伸到課外，用所學(xué)的平方差公式解決“等周問題”以培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)探究能力。 抽象概括 公式運用 王速算（解惑傳道） 密的秘 意猶未盡數(shù)學(xué)是什么 畫龍點睛 ， 牛刀小試 二、教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué) 環(huán)節(jié) 容教 學(xué) 內(nèi) 教師 活動 學(xué)生 活動 設(shè) 計 意 圖 （一） 速算 王的 絕招 約

6、 分鐘1 在一次智力搶答賽中，主持人提供了兩 道題： 2. 1?103?97?21?19?主持人話音剛落，就立刻有一個學(xué)生刷地站起來搶答說：“第一題等于399，第二題簡直就是脫口而出。”其速度之快，9991等于同學(xué)們，你知道他是如何計算的嗎？你想不 想掌握他的簡便、快速的運算招數(shù)呢？ 教師 講故事， 激發(fā) 學(xué)生 學(xué)習(xí)欲望 學(xué)生聽故 事， 思考 通過“速算王的絕招”這一故事的 情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣， 同時激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲， 順利引入新課。 （二） 動手 操作 約 分鐘4 現(xiàn)有兩個數(shù)，不知其大小，請你隨意 ）（1 用兩個字母來表示這兩個數(shù)；）請把這兩個數(shù)的和與差分別表示出來。（2

7、 這兩個式子是多項式還是單項式？ 3）請將所得的和與差相乘并化簡；（）請思考：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的（4乘積等于什么？（讓學(xué)生用自己的語言描述 出來） 教師 發(fā)出 指令引導(dǎo) 學(xué)生 操作 學(xué)生 動手 操作 演算 思考表達(dá) 讓學(xué)生運用前面已掌握的三個乘法法則，自己動手演算，積極思考，嘗試數(shù)學(xué)表述，為后面的抽象概括做好準(zhǔn)備。 （三） 抽象 概括 約 分鐘3 教師同時叫三個學(xué)生板演不同的操作演算形 式：22 ；y)?)(?(xyxy?x?22 ；n?m?)?m)(?m(nn22. d?c?d?cd?c()()三位同學(xué)所用的字母，所得的結(jié)果完全不同！請問：他們的結(jié)果真的沒有一點共同 教師引導(dǎo) 學(xué)生比

8、較 分析 三種 形式 的異同 學(xué)生比較 分析 三種 形式的異 同， 歸納 總結(jié) 其共 性 通過三個不同刺激模式，由特殊到一般，通過引導(dǎo)，與學(xué)生共同抽象概括出平方差公式，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體作用，培養(yǎng) 之處嗎？引導(dǎo)學(xué)生橫向比較三個結(jié)果，抽象“兩個數(shù)的和與這兩概括出它們的共同結(jié)構(gòu)： ”個數(shù)的差的乘積等于這兩個數(shù)的平方之差.它就是整式乘法的一個乘法公式of difference formula for the 平方差公式（ ：squares）22 .?ba?b)?a(a?b)( 學(xué)生抽象概括能力。 （四） 公式 運用 約10分鐘 （五） 速算王的 秘密 解惑 傳 道 約 例 運用平方差公式

9、計算：1 ；1）；（2）（2)p(?q)(p?q)x?2)(3?(3x11)?y?y)(?x(?x ）；（322. 4（）)?acb(b?ac)(分析：引導(dǎo)學(xué)生識別出它們都是兩個數(shù) 的和與這兩個數(shù)的差的乘積的形式。. 題練習(xí)：第153頁的練習(xí)第1下面各式的計算對不對？如果不對，應(yīng)當(dāng)1. 怎樣改正？2 （1）；2x(x?2)(?2)?x?222. 4a?93?a)?2?(2)?3(?a2)(3a? 2. ?97103?97 103解：） 100-3（）（ =100+3223100? = =9991. 教師 引導(dǎo) 學(xué)生 以數(shù) 的眼 光去 看式 子， 進(jìn)行 分析 講解 教師 引導(dǎo) 學(xué)生 思考識別 解

10、決問題 學(xué)生 思考 回答 問題 1. 根據(jù)變式理論，設(shè)計了不同形式類型的典型例題，強(qiáng)化平方差公式的本質(zhì)：即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。 2.這組練習(xí)主要是要考察學(xué)生有沒有掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)。 教師 引導(dǎo) 講解 學(xué)生 聽講 思考 呼應(yīng)“速算王的絕招”這一部分，解答學(xué)生心中的疑惑，彌合學(xué)生心中的“缺口”，讓他們體會到平方差公式的威力。 1分鐘 （六） 意猶 未盡 約 8分鐘 2題: P153課堂練習(xí)練習(xí)第 2.運用平方差公式計算： ）；（1)b?3)(a?3ba ；2）（)?(3?2a)(3?2a ）；（34951?. ）（42)?3)(3x?x(3?4)(3x4)?(2x 教師 巡視 觀察 進(jìn)

11、行 個別輔導(dǎo) 學(xué)生 自己 思考做題 根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計該練習(xí)，以鞏固所學(xué)?？梢宰寣W(xué)生接觸不同形式的問題，建立起以數(shù)的眼光看式子的整體觀念，進(jìn)一步強(qiáng)化平方差公式的本質(zhì)，即：結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。 ) (七 數(shù)學(xué) 是 什么 約 分鐘8 有人說，數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際意義！請問數(shù)學(xué)真的沒有什么 實際意義嗎？ 請看下面的問題： 1.幾何解釋：. ）請表示圖1(1)中陰影部分的面積（），2（）將陰影部分拼成了一個長方形（圖2這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示 出它的面積嗎？ ? 3（）比較前兩問的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)a ba ba? aa bb ba?b

12、b 2（ ）1（） 教師 引導(dǎo) 分析 講解 演示 學(xué)生 觀察 思考 領(lǐng)悟 新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)中包括情感態(tài)度價值觀目標(biāo)。 設(shè)計幾何解釋，目的是使學(xué)生看到數(shù)學(xué)中的公式反映了實際問題中的客觀關(guān)系，是看得見摸得著的，糾正 “數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際的意這樣的”義。 ).ba?)(S?(a?b22,S?a?b陰陰22.?)?abb?(a?b)(a? 還有人說，學(xué)了數(shù)學(xué)沒有用！果真如此嗎？請看 2. 問題解決 起初被設(shè)計為邊長宏業(yè)住宅小區(qū)的花園，a設(shè)計修改米的正方形，為后因道路的原因，米，而東邊往東平移2.5為：北邊往南平移試問修改后的花園面積和原先設(shè)計米. 2.5 的花園面積相差多少

13、？2 ）解：如圖（1，原花園的面積aS?. 教師 引導(dǎo) 分析 講解演示 學(xué)生聽講 思考 觀察 偏見。 設(shè)計問題解決的目的，一是培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力；二是使學(xué)生知道，學(xué)了數(shù)學(xué)公式，可以用來解決實際問題，從而體會到 數(shù)學(xué)的應(yīng)用 價值，并構(gòu) 建起正確的 數(shù)學(xué)觀。 ）1 （2（ ）所示，其面積2修改后的花園如圖（ 222.5)?a?(?Sa2.5)?(2.5?a? . 后 2(m所以，). 22226.252.5a?)?2.5?(?S?Sa? 后 平6.25答：修改后的花園面積比修改前少了 .方米 22.)?ab?(ab)(ab平方差公式的本質(zhì)：1. 讓學(xué)生看到 公式的本質(zhì) 教師 學(xué)生）結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定不

14、變的，即：只要是兩個數(shù)（1所在，能突思考 （八）引導(dǎo)的和與這兩個數(shù)的差的乘積，就一定等于這破公式字面 體會總結(jié)意義的局限畫龍 . 兩個數(shù)的平方之差性，建立起 a卻可以變臉！可以）公式中的字母2和（b較高層次的 點睛有意義條件 是其它字母，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；反射，而不 約 . 可以是單項式，也可以多項式是機(jī)械的記 分鐘4 憶公式。 閃光之點 我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)平方差公式，學(xué)了它我2. 們能做什么呢？在進(jìn)行某些乘法運算時，利用平方差公. 式，可以進(jìn)行簡便、快速運算 計算：?cb?)(a?b?c)(a? 解：)cc)(a?b?(a?b?c?c?a?a?b?b? ?22.?c(?a?b)2如何計

15、算也就是說，那么如何計算?b(a?)?兩數(shù)和的完全平方呢？讓我們共同期待下一 次數(shù)學(xué)課的到來！ 教師啟發(fā) 學(xué)生 以數(shù) 的眼 光看 字母式子 學(xué)生識別 出這是 兩數(shù)和與 兩數(shù)差的 乘積 的結(jié)構(gòu) 點明學(xué)習(xí)平方差公式的必要性。 進(jìn)一步化解“結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，字母的可變性”這一難點，并為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋下伏筆。 （九） 牛刀 小試 即 布置 家庭 作業(yè) 約1分鐘 : P156 家庭作業(yè) 1. 牛刀小試 運用平方差公式計算：22)(x?y?y)(x （1）（；2；）1)1)(xy?xy?33 （34；）（）；5)?ba?)(33a(2?bb2)?2(?b5)(2. ）（5）（；6100219992001?

16、998? 2. 數(shù)學(xué)探究等周問題 宏業(yè)住宅小區(qū)的花園，起初被設(shè)計為邊長a設(shè)計修改米的正方形，后因道路的原因，為為：北邊往南平移米，而西邊往西平)x?ax(x米. 試問： 移（1）修改后的花園面積和原先設(shè)計的花園面積相差多少？ x的大小有）上述兩種設(shè)計的面積之差與（2什么關(guān)系？ a的矩形中，什么時候）在周長為定值4（3其面積最大？ a的圓的面積，正六邊4）計算周長均為（4形的面積。由此你有什么新的發(fā)現(xiàn)？ 教師 布置 作業(yè) 教師 解釋問題 學(xué)生認(rèn)真 紀(jì)錄 學(xué)生 思考 問題 由淺入深的練習(xí)和靈活的變式練習(xí)，能夠強(qiáng)化本節(jié)課所學(xué)知識。 該環(huán)節(jié)為學(xué)生提供更大的思維發(fā)展空間，是把課內(nèi)知識延伸到課外，用所學(xué)的

17、平方差公式解決“等周問以培養(yǎng)，題”學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)探究能 力。 目標(biāo)創(chuàng)新 1. 這也是數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)，理解平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性. (1) 初步化解了今后大量數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的難點；培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)培養(yǎng)“以數(shù)的眼光看式子的整體觀念”的數(shù)學(xué)素養(yǎng);(2) 探究能力；“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際意義！學(xué)了數(shù)學(xué) (3)糾正片面觀點：. ”沒有用！ 教法創(chuàng)新2. 師生共同抽,從低認(rèn)知水平的模仿套公式轉(zhuǎn)向高認(rèn)知水平的學(xué)生動手操作,教師引導(dǎo)發(fā)現(xiàn). ”2”“2 象概括，形成正向產(chǎn)生式：“+ 數(shù)學(xué)創(chuàng)新3. 為學(xué)生提供運用平方差公式來研設(shè)計了運用平方差公式來

18、解決實際問題解決的例子, 體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育究等周問題的探究問題，以培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和數(shù)學(xué)探究能力,. 的價值取向 : 附 “平方差公式的教學(xué)設(shè)計”賞析 修改建議等方面談?wù)勎覀兊母惺芘c看法，教材處理、從設(shè)計理念、設(shè)計理論、目標(biāo)設(shè)計、 與各位同行分享。 設(shè)計理念 1教師的教學(xué)設(shè)計就是其教育思想的一個縮影。細(xì)細(xì)啄磨，設(shè)計者的理念包括三個方面：以學(xué)生在教師的引導(dǎo)下主動地建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從本質(zhì)上理解和把握平方差公式； 問題解決為教育價值取向，以達(dá)“教是為了不教”之目的；數(shù)學(xué)是好玩的，有用的。我們發(fā)現(xiàn)，新課標(biāo)理念、現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的價值觀扎根其設(shè)計中。創(chuàng)設(shè)“速算王”的情?得出規(guī)律的發(fā)現(xiàn)學(xué)教師提

19、出恰當(dāng)?shù)膯栴}學(xué)生動手操作境抽象概括觀察歸納讓學(xué)習(xí)的教學(xué)模式，讓學(xué)生體驗了公式形成的過程，體會到發(fā)現(xiàn)的樂趣；又結(jié)合實際問題，生探究，經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過程，感受到數(shù)學(xué)有用，數(shù)學(xué)好玩！正如德國教育家第斯多惠所 “教育的藝術(shù)不在于傳授，而在于喚醒、激勵和鼓舞！說：”這是值得倡導(dǎo)和學(xué)習(xí)的。 設(shè)計理論 2 優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計必需以科學(xué)的理論作為基礎(chǔ)。該設(shè)計與眾多的教學(xué)設(shè)計的最大的不同是， 各個教學(xué)環(huán)節(jié)均有恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)理論作為支撐。比如，桑代克的試誤理論，斯金納的強(qiáng)化原理，建構(gòu)主義理論，問題解決理論，新課程理論。 例如，平方差公式的幾何解釋部分，為分解難點，提供學(xué)生思考的方向，設(shè)計成三個小問題讓學(xué)生觀察、思考、領(lǐng)

20、悟，成功地運用了斯金納的“小步子”教學(xué)原則。 3 目標(biāo)設(shè)計 亮點之一：不管是小學(xué)的、初中的、高中的還是大學(xué)的數(shù)學(xué)公式都有一個共同的本質(zhì)，那就是：結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。平方差公式是初中生開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)公式，以數(shù)學(xué)公式的本質(zhì)為核心進(jìn)行設(shè)計，確實是一大創(chuàng)新，值得廣大的一線教師推廣使用。 亮點之二：我們老是說數(shù)學(xué)課要培養(yǎng)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但數(shù)學(xué)素養(yǎng)是什么，該設(shè)計為我們做了一點很好的詮釋以數(shù)的眼觀看式子的整體觀念。 亮點之三：舊大綱對數(shù)學(xué)課的非智力因素目標(biāo)提法的政治化，以及新課標(biāo)情感態(tài)度目標(biāo)的空洞化、抽象化，導(dǎo)致這一目標(biāo)的具體落實形同虛設(shè)。許多所謂的“優(yōu)秀”教學(xué)設(shè)計，其目標(biāo)的空洞、千篇一律便是見證。而該設(shè)計將情感目標(biāo)定位為“糾正片面觀點：數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有什么實際意義！學(xué)了數(shù)學(xué)沒有用！”，這是能夠具體落實的. 4 教材處理 2，許多一線教師也教材在此處的安排是以“由式子到式子”的形式化方式呈現(xiàn)公式 是如此進(jìn)行教學(xué)。而設(shè)計者使用“由數(shù)到式子”的方式，完全符合初中生此階段的認(rèn)知特點。“學(xué)生以數(shù)學(xué)眼培養(yǎng)組織學(xué)生動手操作，用自己的語言去表述數(shù)學(xué)，建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解；引導(dǎo)發(fā)使學(xué)生從低水平的模仿套公式轉(zhuǎn)向高認(rèn)知水平的動手操作、光