《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第二章基礎(chǔ)知識(shí)小結(jié)

1、第二章、基礎(chǔ)知識(shí)小結(jié) 一、離散型分布變量分布函數(shù)及其分布律 1.定義:PX = xJ=A(i = 1,2,3,) X A-j人3人女 P PlPl巴 Pk 2. 分布律以的性質(zhì)： (1) Pk 0, = 1,2,; (2) Pk=l *=1 3. 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)： F(x) = PXx=XPk xkx 4. 分布函數(shù)FCO的性質(zhì)： (1) 0 F(x) 1 (2) F(x)是不減函數(shù),Px, X 0 (3) F(8)= 0,F(+8)= 1,即 liin /(x) = 0, liin /(x) = 1 A-00 (4) F(x)右連續(xù)，即 F(x + 0)= liin F(x + A

2、x) = F(x) (5) PaX b = PX b-PX a = l-PX a=l-F(a) 5. 三種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布 (1) 0-1 分布(X B(l,p) X 0 1 p p q (4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(XN(O,1)及其性質(zhì) /(x) = ，一8 X +8 性質(zhì)：A. XK-x) = l-Kx) B. 0(0) = i 2 (5) 非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化 設(shè)X-NSqJ,則 廠口 廠 =-口(。,1) 三、隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 1. 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為： X Xk X2 x3 p Pk Pl Pl 則X的函數(shù)Y = g(X)的分布律為

3、: X g(xj g(Qgg g(“) P Pi Pk Pi P, 2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)X的連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為人(切。設(shè)g(x)是一嚴(yán)格單調(diào) 的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)閲?guó),0,且g)H0。記X = /?(%)為尸8(兀)的反 函數(shù)，則Y = g(X)的概率密度為 3(刃)|H(y)l，ovyv0 o,其他 特別地，當(dāng)a = a, 0 = +8時(shí), fy (刃=fX (方(刃)W(刃 l,Y) yx = B. 1一 D. 乎 UUJ U= 1- LJLJ1 _1 解：因?yàn)?，隨機(jī)變量尤服從參數(shù)為1的指數(shù)分布 所以，X的概率密度為= 0,其他 PX 1=廠e xdx = -ex =

4、_(0w)=- c 3. (2013. 10. 14).設(shè)隨機(jī)變量XN(1,1),Y=X-1,則卩的概率密度 4. (2013. 10. 29).設(shè)隨機(jī)變量尤的概率密度為 ex, 0 x 4, /,其他. 求:(1)常數(shù)c； (2)尤的分布函數(shù)F(x)；(3) P|x|2. 解：（1）由 j Xf（x）t/x = 1 g 令 口4 0, 其他 (2)由 F(x) = j(t)dt 得: 當(dāng) x 0 時(shí)，F(xiàn)(x) = 0 F(x) = e 16 16 當(dāng) x n 4 時(shí)，F(xiàn)(x)= Odt + f4t Odt co co 0, X 0 ,0 4 (3) Plxl2 = P-2x/x =+=1 P

5、lxl2 = P-2x2 = F(2)-F(-2) = -0 16 5. (2013.4. 3).設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(X)則PaX = 1-PX x 1 示對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件X3出現(xiàn)的次數(shù)，則PY3 = _0 分析：YB(3,p), PY3=0 解:p = PX 另= f(x)dx = 由于，Y表示“對(duì)X的3次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件X3出現(xiàn)”的次數(shù), 皈以口口(3(丫 = 0,123) PY 5 = 1 - PY 3 =1 - PY = 0- PY = 1- PY = 2- PY = 3 3, 8 I) (I)七) (I) - % 8421 279927 7. (2014.4.

6、2)設(shè)隨機(jī)變量x的分布律為 0. 1 0.6 為尤的分布函數(shù)，則F(0) = B. 0.3 D. 0.6 A. 0. 1 C. 0.4 F(O)=Px=-l+ Px二0二0. 1+0. 3=0.4 8. (2014. 4. 14)設(shè)隨機(jī)變量尤服從區(qū)間1, 5上的均勻分布,尸3為 X的分布函數(shù)，當(dāng)1WxW5時(shí)，尸(方二_予. 4 f(x) = U 0,其他 當(dāng) 1 1 5 時(shí),7(X)= x- 1 4 9. (2014. 4. 15)設(shè)隨機(jī)變量尤的概率密度為 則卩心 2x, 0 x c = PXc,則 常數(shù)c二. PX O = 1 - Px c = PX cf 所以 PX c = | = 0(0

7、) x 4 由于口-匚(4, 9),所以z=N(0,l) o =0(0) PX c = P 0, 11. (2014. 4. 29)設(shè)隨機(jī)變量 /-MO, 1),記 F2X,求：(1)PX- 1； (2)P|Z|1;(3)K的概率密度.(附:(1) = 0.8413) 解:(1)由于XN(O,1),所以 PX -1=(1) = 1 (1) = 1 0.8413 = 0.1587 (2)由于XN(0,l),所以 P|X| 0 x0 B. F(x)= xe 0, xno x0 x+x qx (C) xno時(shí)，F(xiàn)(x)單調(diào)增加，答案C (D) F(+co) = lim (1 -xex) = 1, 時(shí)

8、，F(xiàn)(x)有增有減，淘汰。 Ff(x) = l,-(xex y = Q-xfex + x(ex) = -ex + xex =(x-l)ex =O,x = l 9. (2013. 1. 4)設(shè)XN(0,l), X的分布函數(shù)為(x),則P|X|2的值 為() A 2(1-0(2) B 2 (2) 1 C 2 - D(2) D 1 22 = l-PIXI2 = l-2(2)-l = 2-20,若PXi=0.3,則 0,x0 PX 2 = 解：PX 1 = J(x)dx =(弘必=一嚴(yán)|* =-(e_A-e) = l-e_A= 0.3 PX2=加訟 =_嚴(yán)水-加)=-嚴(yán)I = _(嚴(yán)_護(hù))=_ J叫亠

9、竺=竺 JoJo100 100 嚴(yán)礙詡I二絲 I 7 )100 12. (2013. 1. 16)設(shè)的分布律為 X -2 -1 0 1 p 0.3 0.2 0.4 0. 1 則 P2vXvl= 0.6 解:P-2 X 1 = PX = 1 + PX = 0 = 0.2 + 0.4 = 0.6 13. (2013. 28)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=加、-x1 Ax, 1 x2 試求：(1)系數(shù)a； (2) x的概率密度；(3) pox| 解：由于連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(X)= Q Ax2, Ax, 1, x0 0 xl lx2 所以隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x) = Fx) = 0, 2Ax, A, Q 0 xl lx2 (1) 町: /(