第八講概率的計算24

1、靜靜 第八講 概率的計算（第二十章） 1、 用古典概率、幾何概率計算概率 2、 用基本性質(zhì)計算概率 3、 利用條件概率、乘法公式計算概率 4、 利用事件的獨立性計算概率 5、 利用全概率公式和貝葉斯公式計算概率 6、 利用二項概率公式計算概率 1 、用古典概率計算概率、用古典概率計算概率 一、 用古典概率、幾何概 率計算概率 古典概型具有兩個特性： (1)試驗的可能結(jié)果(即基本事件)的個數(shù)有限，且 兩兩互不相容； ? ? 1, ?2, . ?n (有限性) (2)每個基本事件發(fā)生的可能性相等； n PP n 1 . 1 ? (等可能性) 這時若事件A含有k個基本事件，則 基本事件總數(shù) 所包含的

2、基本事件數(shù) A n k AP?)( 為此，經(jīng)常用到如下排列組合知識： (1) n個不同元素全部取來進(jìn)行排列，全部 排列的種數(shù)為：Pnn! (2) n個不同元素,每次從中任取r個不同元素來進(jìn)行排列，所有 不同排列的種數(shù)為： ! (1)(1) ()! r n n Pnnnr nr ? ? L (3) n個不同元素,每次從中任取何r個不同元素來進(jìn)行組合，所 有不同組合的種數(shù)為： !(1)(1) !()! r n nnnnr C rnrr ? ? ? L (4) n個不同元素,每次允許重復(fù)地從中任取何r個元素進(jìn)行排列， 所有不同排列的種數(shù)為：. r n 例例1 1. 設(shè)有一批產(chǎn)品共100件，其中5件次

3、品， 現(xiàn)從中任取3件，求 (1)全是正品的概率； (2)恰有2件次品的概率. 解解：(1)設(shè)A=任取3件全是正品 , 3 100 Cn? 3 100 3 95 )( C C AP? , 3 95 Ck? 95! (3! 92!) 100! (3! 97!) ? 9899100 939495 ? ? ?8560. 0? (2)設(shè)B=任取3件恰有2件次品 , 3 100 Cn? 1 95 Ck ? 2 5 C? 161700 950 ? 0059. 0? 3 100 2 5 1 95 )( C CC BP ? ? 例例2 2. 一個盒中裝有編號為1，2，,10的球各 一個，外形完全一樣。隨機(jī)從盒中

4、摸球，每摸 一個球，記下編號后放入盒中，共摸六次，求 所記下的編號中最大號碼恰為6的概率. 解1：設(shè)A=6次摸出的編號球最大號碼恰為6 6 10 ,n? 6 16 65 1 6 () ( ) 10 ii i C C P A ? ? ? ?6 1 6 65 1 (), ii i kC C ? ? ? ? 11521 431341 251 161 0 656565656565 6 ()()()()()() 10 C CC CC CC CC CC C? ? 5432 6 6 515 520 55 56 5 1 10 ? ? ? ?0.031? 解2：設(shè)A=6次摸出的編號球最大號碼恰為6 6 10 ,

5、n? 66 65k? 0.031 ? 66 6 65 ( ) 10 P A ? ? 2 、用幾何概率計算概率、用幾何概率計算概率 幾何概型具有兩個特性： (1)試驗的可能結(jié)果(即基本事件)的個數(shù)無限， 且全體結(jié)果可用一個有度量的幾何區(qū)域G來表 示；(無限性) (2) 每個基本事件發(fā)生的可能性相等；(等可能性) 這時若事件A所對應(yīng)的區(qū)域為g，則 ( )P A ? g的度量 G的度量 y Ox3 24 24 2 例3. 甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩 艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)的時 刻是等可能的。甲船的停泊時間是2小時，乙船 的停泊時間是3小時，兩船啟航后都不再返回該 碼頭，求它們

6、中的任何一艘船都不需要等候碼 頭空出的概率。 解解：設(shè)甲、乙兩艘輪船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y,則由題意 024,024xy?即樣本空間為以24為邊長的正方形 2 -3,yxxy?或 22 2 11 2221 22 0.803 24 ? ? ( ) PA ? 陰影部分面積 正方形面積 設(shè)A表示它們中的任何一艘船都不需要等候碼頭空出，則 即圖中陰影部分。 于是，所求概率為： y=x+2 y=x-3 概率的基本性質(zhì) 二、 用基本性質(zhì)計算概率 性質(zhì)1. (有限可加性)設(shè)有限個事件A1, A2,., An 滿足AiAj=?(i?j, i, j=1, 2, n), 則 11 ()() nn ii ii

7、PAP A ? ? ?U 性質(zhì)2. 對任一事件A有( )1( )PAPA? ? 性質(zhì)3.（加法公式）設(shè)A、B為任意兩個事件，則 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) 設(shè)A、B、C 為任意三個事件，則 P(ABC)= P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(A 性質(zhì)4.設(shè)A、B為任意兩個事件，且A?B，則 P(B-A)= P(B)P(A) 例例4 4. 設(shè)P(A)=1/3，P(B)=1/2，若（1）AB=?； （2）A?B；（3）P(AB)=1/8，求 解： （1）因為AB=?，所以 (). P BA ,BAB AB? 1 ()( ); 2 PB APB? 故 例例5

8、 5. 設(shè)A、B、C 為隨機(jī)事件,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0， P(AC)=P(BC)=1/16，則事件A、B、C 全不發(fā)生的概率為多少？ 解：“事件A、B、C 全不發(fā)生” 記為 ,ABC ()()1() P ABCP ABCP ABC? ?UUUU 1 ( )( )( )()()()()P AP BP CP ABP ACP BCP ABC? ? 323 1 4168 ? ? （2）因為A?B，所以 111 ()()( )( ); 236 P BAP BAP BP A? 113 (3) ()()(). 288 P BAPBPAB? 三、利用條件概率、乘法公 式計算

9、概率 1、條件概率 條件概率與積事件概率的區(qū)別：一般地說，當(dāng)事件A、B同時發(fā)生 時，常用P(AB)；而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系中，用P(B|A)。 )( )( )|( AP ABP ABP? 2、乘法公式 )0)( )|()()(?APABPAPABP 或 )0)( )|()()(?BPBAPBPABP 例例6.6. 一盒中有10只晶體管，其中7只正品，3 只次品，分別用不放回依次抽取和有放回依 次抽取兩次的方法來測試，求抽取的兩件中 都是正品的概率. 解解：記A =第一次抽得正品, B =第二次抽得正品 (1)不放回抽?。?9 6 )|(, 10 7 )(?ABPAP 故4667. 0

10、9 6 10 7 )|()()(?ABPAPABP (2)有放回抽取： 10 7 )|(, 10 7 )(?ABPAP 故4900. 0 10 7 10 7 )|()()(?ABPAPABP 例例7 7. 設(shè)A、B 為隨機(jī)事件,已知P(A)=0.5， P(B)=0.6， 解解:(1)方法1 (|)0.4,P BA?求 (1) () (2) (|) (3) (|). P ABP A BP A BU 因為P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) 且()() P ABP BAB?( )()PBPA B? ( )()(|)0.60.50.40.4P BP AP B A? 所以()0.50.60.40.

11、7P AB ?U 方法2 因為()1()1(), P ABP ABP A B? ?UU ()( )(|)( ) 1(|)0.5 0.60.3P ABP A P B AP AP B A? ? 所以()10.30.7 P AB ? ?U 且 ()0.42 (2) (|)0.67 ()0.63 P AB P A B P B ? (3) (|)1(|)P A BP A B? ?Q ()( ) (|)0.5 0.63 (|) ( )( )0.44 P ABPA P B A P A B P BP B ? ? 且 所以 3 (|)10.25 4 PAB? ? 四、利用事件的獨立性計算 概率 1、定義 P(A

12、B)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) 則稱A, B, C兩兩獨立； 進(jìn)一步若還有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)， 則稱A, B, C相互獨立. 若事件A，B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱A, B相互獨立 若事件A，B，C滿足 2、性質(zhì) BABABA 與及與與 , 也相互獨立. 若A與B相互獨立，則P(B|A)= P(B)，P(A|B)= P(A) 若A與B相互獨立，則 例例8 8.甲、乙兩高射炮同向一架敵機(jī)射擊，已知 甲炮命中率為0.6，乙炮命中率為0.5， 求敵機(jī)被擊中的概率. 解解1 1：記A=甲炮擊中敵機(jī)，B=乙炮擊中敵機(jī) C

13、=敵機(jī)被擊中 則C=AB 由加法公式P(C)= P(A)+P(B)P(AB) 又因為A與B獨立，所以P(AB)= P(A)P(B) P(C)= P(A)+P(B)P(A)P(B)= 0.6+0.5?0.6?0.5= 0.8于是 解解2. 兩兩互不相容與，且 BABAABBABAABC,? 獨立，則與，與，與又 BABABA )()()()()()()(BPAPBPAPBPAPCP? =0.6?0.5 +0.6?0.5+0.4?0.5 =0.8 解解3. 先求), (C P )()()()()( BPAPBAPBAPCP?有 8 . 0)5 . 01)(6 . 01 (1)(1)(?CPCP 四

14、、利用全概率公式和貝葉 斯公式計算概率 1 、全概率公式 設(shè)必然事件?分解成若干個互斥事件的和, 12 ., (), nij AAAAAij? ?UUU 即 則對任一事件B，有 P(B)=P(A 1) P(B|A1 )+ P(A 2) P(B|A2) + + P(An) P(B|An) 2、貝葉斯公式 設(shè)事件B和一組事件A 1 ，A 2 ， ，A n滿足全概率公式中 的條件,則有以下貝葉斯公式： 1 () (|) (|), (1, 2, ., ) () (|) ii in jj j P A P B A P ABin P A P B A ? ? ? 例9.某廠有四臺機(jī)器生產(chǎn)同一產(chǎn)品，產(chǎn)量各 占5

15、0，30，10，10，各臺機(jī)器生產(chǎn) 的次品率分別為 2，4，1，2.求： (1)從全廠的產(chǎn)品中任取一件，恰為次品的 概率.(2)從全廠的產(chǎn)品中任取一件，發(fā)現(xiàn)是 次品，問此次品出自哪一臺機(jī)器? 解：解：分別以A1，A2，A3，A4表示取得的產(chǎn)品為第一臺，第二臺，第三 臺，第四臺機(jī)器生產(chǎn)的.B表示取得的產(chǎn)品恰為次品. 顯然A1A2A3A4=?, 且Ai互斥. (1) 要求P(B). 由全概率公式，有 P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+ P(A 2)P(B|A2 )+ P(A 3)P(B|A3 )+ P(A 4)P(B|A4) 由題意有 P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=

16、0.1,P(A4)=0.1 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.01,P(B|A4)=0.02 所以，有 P(B)=0.5?0.02+0.3?0.04+0.1?0.01+?0.1?0.02 =0.025 注意：P(B)不是各臺機(jī)器的次品率相加. (2)要求B發(fā)生的條件下，出自哪一臺機(jī)器的可能性大 . 為此要計算 的是下面四個條件概率 P(A1|B), P(A2|B), P(A3|B),P(A4|B) 由貝葉斯公式： 1 1 () (|) ( ) P AB P A B P B ? 11 4 1 () (|)0.50.02 0.04 0.025 () (|) i

17、i i P APBA P APBA ? ? ? ? 類似地可計算出 ,48. 0)|( 2 ?BAP ,04. 0)|( 3 ?BAP 08. 0)|( 4 ?BAP 從計算的結(jié)果看出，可能性最大的不是A1，而是A2，自然要傾向 于認(rèn)為是第二臺機(jī)器生產(chǎn)的。 例10. 盒中放有12個乒乓球，其中9個是新 的，第一次使用時，從中任取3個，用后仍 放回盒中，第二次使用時，再從盒中任取 3個，求第二次取出的球都是新球的概率。 解：解：以Ai (i=0,1,2,3)表示第一次使用了i個新球， B 表示第二次取出的3個球都是新球. 顯然 A0A1A2A3=?, 且Ai互斥. 由全概率公式，有 由題意有 3

18、 93 3 12 () ii i C C P A C ? ? 3 9 3 12 (|) (i=0,1,2,3) i i C PBA C ? ? 3 0 ( )()(|) ii i P BPAP BA ? ? ? 333 939 33 01212 0.146. ii i i C CC CC ? ? ? ? ? 四、利用二項概率公式計算 概率 1、貝努里概型 具有下列特點的試驗： (1)每次試驗條件都相同，(2)試驗結(jié)果只有兩個：A和A (3)每次試驗的結(jié)果是相互獨立， 稱為n重貝努里試驗概型. 2、二項概率公式 在n重貝努里試驗中，設(shè)每次試驗中，事件A發(fā)生的概 率為p(0p1)，則A恰好發(fā)生k次

19、的概率為 knkk nn qpCkP ? ?)( ),. , 2 , 1 , 0( nk ?其中q=1p. 例例11.11. 某計算機(jī)設(shè)有8個終端，各終端的使用 情況是相互獨立的，且每個終端的使用 率為40%. 試求下列事件的概率: (1)A=恰有3個終端被使用； (2)B=至少有一個終端被使用； 解解：8個終端的被使用與否可視為8次獨立的重復(fù)試驗. 于是由貝 努里概型得： 27. 0)6 . 0()4 . 0()3()( 533 88 ?CPAP 888 ( )(1)(2).(8)P BPPP? )(1BP?)0(1 8 P? 8 )6 . 0( 1? ? 9832. 0? 0C3F7IaL

20、dPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTWn %v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w

21、)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w- z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTWo Zr$u(x+B2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9L

22、cOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSk VnZq$t*x-A2D5G8KbNe QiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8Kb NfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w- z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTWo

23、Zr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZ q$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x- A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G

24、8 KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5 H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSk

25、VnYq$t*x- A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTWnZr $u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTWoZr$u(x+A2E5H9Kc NfRiUlXp#s&v)y

26、0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*w- A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgR

27、jUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x- A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y 0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w- z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%

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29、bNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w- z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTWo Zr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZ

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32、t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr $u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y 0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*wz1D4G8JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w- A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6