近世代數(shù)考試復(fù)習(xí)

1、精品 一、定義描述（8） 1、群：設(shè)G是一個非空集合， 是它的一個代數(shù)運算。如果滿足以下條件： （1）結(jié)合律成立，即對G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左單位元，它對G中每個元素a都有e a = a . （3）對G中每個元素a，在G中都有元素a，叫做a的左逆元，使a a = e . -1-1 則稱G對代數(shù)運算 做成一個群。 2、正規(guī)子群：設(shè)N是群G的一個子群，如果對G中每個元素a都有 aN=Na，即 aNa=N ，-1則稱N是群G的一個正規(guī)子群（或不變子群）。 3、環(huán)：設(shè)非空集合R有兩個代數(shù)運算，一個叫做加法并用加號 + 表示，另一個叫

2、做乘法用乘號表示，如果： （1）R對加法作成一個加群； （2）R對乘法滿足結(jié)合律：（ab）c = a（bc）； （3）乘法對加法滿足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c為R中任意元素，則稱R對這兩個代數(shù)運算作成一個環(huán)。 4、極大理想：設(shè)N是環(huán)R的一個理想，且NR .如果除R和N外，R中沒有包含N的其它理想，則稱N為環(huán)R的一個極大理想。 5、惟一分解整環(huán)：設(shè)K是有單位元的整環(huán)。如果K中每個既不是零又不是單位的元素都能惟一分解，則稱K為惟一分解整環(huán)。整數(shù)環(huán)Z及域F上多項式環(huán)F x 都是惟一分解整環(huán)。 6、歐氏環(huán)：設(shè)K是一個有單位元的整環(huán)

3、，如果 （1）有一個從K的非零元集K 0到非負(fù)整數(shù)集的映射存在； （2）這個對K中任意元素a及b0，在K中 有元素q，r使a=bq + r，r=0 感謝下載載精品 或（r）（b），則稱R關(guān)于作成一個歐氏環(huán)。- ? R .如果abP = aP或bP7、素理想：設(shè)R是一個交換環(huán)，P ，其中a，bR，則稱P是R的一個素理想。 顯然，環(huán)R本身是R的一個素理想；又零理想 0是R的素理想當(dāng)且僅當(dāng)R無零因子， 亦即R是一個整環(huán)。 8、主理想：設(shè)R是一個環(huán)，任取aR，R中包含a的全部理想的交也是R的一個理想，且是R的包含元素a的最小理想，并稱其為R的由a生成的主理想，記為 . 9、理想：設(shè)N是環(huán)R的一個子加群

4、，即對N中任意元素a，b，差a-b仍屬于N，如果又有 rR，aN = raN，則稱N是環(huán)R的一個左理想； 如果 rR，aN = arN，則稱N是環(huán)R的一個右理想； 如果N既是R的左理想又是右理想，則稱N是環(huán)R的一個雙邊理想，簡稱理想，并用 ? ? R . 表示。否則記為符號N N R10、商群：群G的正規(guī)子群N的全體陪集對于陪集的乘法作成一個群，稱為G關(guān)于N的商群，記為G/N . 11、主理想環(huán)：設(shè)K是一個有單位元的整環(huán)。如果K的每一個理想都是一個主理想，則稱K是一個主理想整環(huán)。整數(shù)環(huán)和域F上的多項式環(huán)F x都是主理想整環(huán)。但是，整數(shù)環(huán)Z上的多項式環(huán)Z x不是一個主理想整環(huán)。 二、填空（30）

5、 1、集合M的一個分類決定M的一個等價關(guān)系。 2、集合M的一個等價關(guān)系決定M的一個分類。 3、設(shè)G是一個半群，則G作為成群的充要條件是，對G中任意元素a、b， 方程ax=b , ya=b在G中都有解。 感謝下載載精品 4、群G的一個非空子集H作成子群的充要條件是： （1）a，bH = abH ; （2）aH = aH. -15、設(shè)H,k是群G的兩個子群，則HKG ? HK=KH. 6、整數(shù)加群Z是無限循環(huán)群。 7、無限循環(huán)群有兩個生成元，即a與a；n階循環(huán)群有（n）個生成元， -1其中（n）為Euler函數(shù)。 例如，4、5、6階循環(huán)群分別有（4）=2 ，（5）=4 ，（6）=2 個生成元。 8

6、、設(shè)是任意一個循環(huán)群。 （1）若|a|=，則與整數(shù)加群Z同構(gòu)； （2）若|a|=n，則與n次單位根群U同構(gòu)。 n 9、循環(huán)群的子群仍為循環(huán)群。 10、不相連循環(huán)相乘時可以交換。 11、k循環(huán)的階為k；不相連循環(huán)乘積的階為各因子的階的最小公倍。 12、（J.L.Lagrange，17361813）設(shè)H是有限群G的一個子群，則|G|=|H|（G：H）.從 而任何子集的階和指數(shù)都是群G的階的因數(shù)。 13、有限群中每個元素的階都整除群的階。 14、左陪集的重要性質(zhì) （1）aaH . （2）aH ? aH=H . （3）baH ? aH=bH . （4）aH=bH，即a與b同在一個左陪集中 ? abH（

7、或baH）。 -1-1 （5）若aHbH，則aH=bH .對任二陪集來說，要么相等要么無公共元素。 15、循環(huán)群的商群也是循環(huán)群。 ? G，N=（N）， G16、（第一同構(gòu)定理）設(shè)是群G到的一個同態(tài)滿射，又Ker N 則G/N G/N . 感謝下載載精品 ? ? H，并且HN/NH/(H，N N G .則H17、（第二同構(gòu)定理）設(shè)G是群，又HGN) . ? G，HG/N .則18、（第三同構(gòu)定理）設(shè)G是群，又N （1）存在G的惟一子群H N，且H=H/N ； ? ? G使H=H/N且G/H時，有惟一的H G/N （2）又當(dāng)H H/N . G/N19、設(shè)G是一個群，aG，則 （1）：x axa

8、（xG）是G的一個自同構(gòu)，稱為G的一個內(nèi)自同構(gòu)； -1a（2）G的全體內(nèi)自同構(gòu)作成一個群，稱為群G的內(nèi)自同構(gòu)群，記為Inn G； ? Aut G . Inn G （3）20、環(huán)R的非空子集S作成子環(huán)的充要條件是： a，bS = a - b S ， = abS . a，bS 21、如果p是素數(shù)，則環(huán)Z是一個域；如果n是合數(shù)，則環(huán)Z有零因子，從而不是域。 np22、（環(huán)同態(tài)基本定理）設(shè)R與R是兩個環(huán)，且R R . 則 （1）這個同態(tài)核N，即零元的全體逆象，是R的一個理想； （2）R/N R 23、設(shè)P是交換環(huán)R的一個理想。則P是R的素理想的充分與必要條件是，商環(huán)R/P無 零因子，即為整環(huán)。 24、

9、整數(shù)環(huán)Z的理想N是Z的極大理想，當(dāng)且僅當(dāng)N是由素數(shù)生成的理想。 25、整環(huán)K中的元素一定是不可約元。 26、設(shè)K是任意一個惟一分解整環(huán)。則p是K的元素當(dāng)且僅當(dāng)p是K的不可約元。 27、設(shè)K是有單位元的整環(huán)。如果 （1）K中每個既不是零又不是單位的元素都可分為不可約元的乘積； （2）K中的不可約元都是素元； 則K是一個惟一分解整環(huán)。 28、Gauss整環(huán)Z i是主理想整環(huán)。 感謝下載載精品 29、整數(shù)環(huán)Z是歐氏環(huán)。 30、域F上多項式環(huán)F x是一個歐氏環(huán)。 31、歐氏環(huán)必是主理想環(huán)，因而是惟一分解整環(huán)。（反之不成立） 32、主理想整環(huán)是惟一分解整環(huán)。（反之不成立） 33、群G中關(guān)于子群H的互異的

10、左（或右）陪集的個數(shù)，叫做H在G里的指數(shù)，記（G：H）. 34、設(shè)pK .p0，且p不是單位。如果p|ab就必有p|a或p|b，則稱p是K的一個元素。 35、同態(tài)：反身、傳遞 （不滿足對稱） ； 同構(gòu)：反身、傳遞、對稱。 例一、設(shè)=（14）（235），=（153）（24）. 求 =？ -1 解：由定理可知： = （1）（5）（3）（2）（4） -1 = （425）（24）. 例二、證明：K=（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23） 作成交代群A的一個交4 換子群。這個群（以及與其同構(gòu)的群）稱為Klein（C.L.Klein，1849-1925）四元群。 證 顯然K 中的置換

11、全為偶置換，而且除恒等置換外其余三個置換的階都是2，而且 4其中任二個相乘等于第三個，即K對置換的乘法封閉。從而K是A的一個子群，且 44 4 顯然是一個交換子群。 （證畢） 例三、證明：Z i=a + bi|a，bZ 作成一個有單位元的整環(huán)（這個環(huán)稱為Gauss整環(huán)），并 且其單位群是1，i . 證 Z i 作成有單位元的整環(huán)顯然。又顯然1，i均為其單位。下證：Z i 沒有別 感謝下載載精品 的單位。 設(shè)=a + bi 是Z i的任一單位，則有 Z i 使 =1，| =1 . 22 這只有|=a2 + b2=1，從而只有a=1，b=0；或a=0，b=1 . 2 即只能是1及i . 因此，1和

12、i是環(huán)Z i 的全部單位。故 U（Z i ）=1，i . 例四、在模8剩余類環(huán)Z中 ，令= 0 , 4 ，=0 , 2 ,4 , 6 ，則不是Z88 的素理想 （因為22=4，但是2），也不是Z的極大理想（因為 8Z）. 8 但是，易知既是Z的素理想也是Z的極大理想。 88 例五、設(shè)G= 為6階循環(huán)群。給出G的一切生成元和G的所有子群。 解： a，a ； （6）=2 . 5 例六、試求下列各置換的階：=（1378）（24）；【4】 =（1372）（234）；【6】 21 = 1 2 3 4 5 6 3 6 4 1 5 2 3 ；【3】 = 1 2 3 4 5 6 7 4 5 7 6 3 1 4 2 ；【6】 例七、設(shè)=（327）（26）（14），=（134）（57）. 則 = （13）（2654） ； -1-1 =（265）（34） . 感謝下載載精品 三、判斷（10） 1、在環(huán)R中，當(dāng)a不是左零因子時，則 ab =ac ，a0 = b=c ； （1） 當(dāng)a不是右零因子時，則 ba= ca ，a0 = b=c . （2） 2、無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。 3、除環(huán)和域沒有零因子。 4、Z中非零元m如果與n互素，則為可