微分方程求解

1、求解微分方程：簡單地說，就是去微分（去掉導(dǎo)數(shù)），將方程化成自變量與因變量關(guān)系的方程（沒有導(dǎo)數(shù)）。近來做畢業(yè)設(shè)計(jì)遇到微分方程問題，搞懂后，特發(fā)此文，來幫廣大同學(xué)，網(wǎng)友 1最簡單的例子：1.1 dy 2x y x2 Cdx1.2求微分方程 dy 2xy的通解。dx解方程是可分離變量的，分離變量后得dy 2xdxy兩端積分： 也 2xdx,y得:ln yx2 C1,2 2 從而： y ex C1eC1 ex。C又因?yàn)?e1仍是任意常數(shù)，可以記作 c2y Cex。1.3非齊次線性方程求方程y2yx 15(x 1)2的通解.歡迎下載4解:非齊次線性方程。先求對應(yīng)的齊次方程的 通解魚互0，dx x 1dy

2、 2dxy x 12y c(x 1)用常數(shù)變易法：把 C換成u（x），即令y u(x 1)2(1)則有 dy u(x 1)2 2u(x 1), dx代入原方程式中得1u (x 1)2 ,2 3兩端積分，得u (x 1)2 C。3再代入(1)式即得所求方程通解(x2 2叫(x31)2C。法二：假設(shè)待求的微分方程是：史 P(x)y Q(x)dx我們可以直接應(yīng)用下式P(x) dxP(x)dxy e ( Q(x)e dx C)得到方程的通解，其中，P(x)Q(x) (x 1)2代入積分同樣可得方程通解(x 1)2|(x 1)C，2微分方程的相關(guān)概念：(看完后你會(huì)懂得各類微分方程)一階微分方程：y f(

3、x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f (x)dx的形式，解法：g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成dy f (x, y) (x, y)，即寫成的函數(shù)，解法：dxx設(shè)u y，則史u xdu，u蟲(u)，0分離變量，積分后將丿代替u，x dxdx dxx (u) ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：dy P(x)y Q(x)dxP(x) dxC)e.當(dāng) Q(x) 0時(shí),為齊次方程，y Ce 恥-當(dāng) Q(x) 0時(shí)，為非齊次方程，

4、y ( Q(x)e PgdXdx2、貝努力方程：dy P(x)y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x, y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即:du(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy 0,其中：丄 P(x, y)，U Q(x, y)xyu(x, y) C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：d2y dx2P(x呼dxQ(x)yf (x) 0時(shí)為齊次f (x)0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1、 寫出特征方程：()r2 pr q 0,其中r2，r的系數(shù)及常數(shù)

5、項(xiàng)恰好是(*)式中y ,y,y的系數(shù);2、求出()式的兩個(gè)根gd3、根據(jù)ri，r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解:A，Q的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p24q 0)yHxrxCi eC2 e兩個(gè)相等實(shí)根(2 p4q 0)y(ci C2 x)erix一對共軛復(fù)根(2 p4q 0)yex(GCOS x c2sin x)匚i ，Dip_v4c21 p22二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y py qy f (x)， p,q為常數(shù)f(x) e xPm(x)型，為常數(shù)；f(x) exP(x)cos x Pn(x)sin x型3.工程中的解法：四階定步長Runge-Kutta算法首先定義如下4個(gè)附加向量:A? /?他=+ h十 J + )斤4 = f(t + 加口 J + 方)其中h為計(jì)算步長，在實(shí)際應(yīng)用中該步長是一個(gè)常數(shù)，這