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文檔簡介
1、方程的根與函數(shù)的零點1.了解方程的根與函數(shù)零點的概念,會利用零點的概念解決簡單的問題.2.理解零點存在性定理,會利用零點存在性定理判斷零點的存在性或者零點所在的范圍.3.能夠運用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想解決方程的根的問題.一個小朋友畫了兩幅圖:問題1:上面的兩幅圖中哪一幅能說明圖中的小朋友一定渡過河?顯然,圖1說明了此小朋友一定渡過河,但對于圖2,則無法判斷,用數(shù)學(xué)的角度來看,如果把小朋友運動的軌跡當(dāng)作函數(shù)圖象,小河看作x軸,那么問題即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸是否存在交點.問題2:(1)什么是函數(shù)的零點,零點是點嗎?(2)二次函數(shù)的零點個數(shù)如何判斷?(1)對于函數(shù)y=f(x),我們把使的實
2、數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)的零點.由定義可知零點是一個實數(shù)不是點.(2)在二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)中,當(dāng)時,有兩個零點;當(dāng)=0時,有零點;當(dāng)時,沒有零點.問題3:函數(shù)y=f(x)的零點,方程f(x)=0的根,函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標,這三者有什么關(guān)系?函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.事實上,方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點.問題4:(1)零點存在性定理的內(nèi)容是什么?(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上滿足零點存在性定理的條件,即存在零點,那么在(a,b)上
3、到底有幾個零點呢?(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,那么你認為f(a)f(b)與0的關(guān)系是怎樣的?請舉例說明.(1)零點存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.(2)至少有一個.(3)如圖所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.利用零點的概念求零點判斷下列函數(shù)是否存在零點,如果存在,請求出.(1)f(x)=;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)
4、f(x)=1-logx.3函數(shù)零點所在區(qū)間的判定函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是().a.(-2,-1)b.(-1,0)c.(0,1)d.(1,2)函數(shù)零點的個數(shù)判定函數(shù)f(x)=+x2-2x有幾個零點?已知函數(shù)f(x)=-logx,在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)間是().2a.(0,1)b.(1,2)c.(2,4)d.(4,+)考題變式(我來改編):第1課時方程的根與函數(shù)的零點知識體系梳理問題2:(1)f(x)=0(2)0一個0問題4:(1)f(a)f(b)0重點難點探究探究一:【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函數(shù)f(x)=的零點是-3.(2)令x2+2x+4=0
5、,因為=22-414=-120,所以方程x2+2x+4=0無實數(shù)根,所以函數(shù)f(x)=x2+2x+4不存在零點.(3)令2x-3=0,解得x=log3,2所以函數(shù)f(x)=2x-3的零點是log3.2(4)令1-logx=0,解得x=3,3所以函數(shù)f(x)=1-logx的零點是3.3【小結(jié)】求函數(shù)f(x)的零點時,通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有實數(shù)根,則函數(shù)f(x)存在零點,該方程的根就是函數(shù)f(x)的零點;否則,函數(shù)f(x)不存在零點.探究二:【解析】因為f(0)=-10,所以零點在區(qū)間(0,1)上,選c.【答案】c【小結(jié)】要判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間,只需把各區(qū)間的端點代
6、入函數(shù)解析式中,看區(qū)間兩端點對應(yīng)的函數(shù)值是否異號,再用函數(shù)的零點存在性定理判斷.探究三:【解析】由+x2-2x=0,得=-x2+2x,在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=和y=-x2+2x的圖象,如圖所示.由圖可知,兩個函數(shù)圖象有2個交點,所以函數(shù)f(x)=+x2-2x有2個零點.問題得到的答案是否正確?結(jié)論不正確,畫圖不夠準確.(法一)由+x2-2x=0,得=-x2+2x,在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=和y=-x2+2x的圖象,如圖所示.由圖可知,兩個函數(shù)圖象有3個交點,所以函數(shù)f(x)=+x2-2x有3個零點.(法二)解方程+x2-2x=0,即-=0,(x-1)(x2-x-1)=0,所以方程有三個解,分別為x=1,x=12,x=.3【小結(jié)】判斷函數(shù)的零點個數(shù)有以下幾種方法:解方程;畫出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象與x軸交點的個數(shù)判斷零點的個數(shù);結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理進行判斷;把方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù),畫出兩個函數(shù)的圖象,根據(jù)它們交點的個數(shù)判斷零點的個數(shù),要求準確地畫出函數(shù)的圖象.全新視角拓展【解析】由題意知函數(shù)f(x)在(0,+)上為減函數(shù)
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