巧用直角三角形和勾股定理解題

1、 巧用直角三角形和勾股定理解題充分利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，往往能使冇些求邊長，求角度以及論證型問 題得以簡捷解決。典型例題剖析例1已知-個直角的三角形的邊長都是整數(shù)，且周長的量數(shù)等于面積的量數(shù)。求這個三角 形的三邊長。解析：設(shè)三邊的長為abc莫中c為斜邊,a2+b2=c則即(ab-4a-4b+8)=04T abHO： ab-4a-4b+8=0 a=4+(a、b 為正整數(shù))方一 4故 b-4=l,2,4,8 b=5,6,8,12;a=12,&6,5;c=13,10,10,13三邊長為6, 8, 10或5, 12, 13例 2 已知：如圖，ABC 中，ZACB=90 , AB = 5cm,

2、 BC = 3cm, CD丄AB 于 D,求CD的長.分析：本題考査勾股定理的應(yīng)用，先勾股定理求AC,再運用三角形面積公式得到Sc = - BC- AC=-ABCD22,于是不難求CD.解:VAABC是直角三角形，AB = 5, BC=3,由勾股定理冇AC2 -AB2-BC2 4C=j25-9 = 4Z2=ZC ac= Lab cd又22CD =AB510/.CD的長是2.4cm點評：木題的解題關(guān)鍵是先用勾股定理求AC,再用“面積法求CD例3直角三角形ABC中，ZC=90 , BC被點D、E三等分，且BO3AC。求證：ZAEC+ ZADB+ ZABC=90解析：如圖所示，以BC為邊作E方形BC

3、MN,在MN上取點P、Q,使得MP=PQ=QN,連接AP,PD, DQ,則有AM=CD, MP=AC, AACBAPQD易得 AAPM勺ADCA AQ=AD 且 ZDAC+ZPAM=90即AAPD是等腰直角三角形 ZABC+ZADOZPDQ+ZADC=-900 -ZADP=90 -45 =45又由題意知 Z AEC+ Z EAC=450 Z AEC+ ZADC+Z ABC=90 例 4 如圖， ABC +, AB=AC, ZBAC= 90 , D 是 BC 上任一點，求證：+ 仞 2AD2分析：從結(jié)論考慮，應(yīng)將AD放到直角三角形中去，為此考慮過A作垂線段或過D作垂線段，構(gòu)造Rt的兩種方案，這樣

4、就得到兩種證法證法一：過點A作AE丄BC于E則在 RtA ADE 中，ad2 = DE? + AE2又VAB=AC, ZBAC=90.AE = BE = CEr/XcD bd2 + co?=伽_ ay +(少+ a)2=BE2 +CE2 + 2DE2=2AE2 + 2DE2 = 2AD2即 BD2 + CD2 = 2AD2證法二：過點D作DE丄AB于E, DF丄AC于F貝IJDE/7AC, DF/7ABXVAB = AC, ZBAC=90AEB = ED, FD = FC = AE在 RtA EBD 和 RtAFDC1!1BD2 = BE2 +DE 曲=加 + 氏2:.BD2 + CD2 =

5、BE2 +DE2 +FD2 + FC1 =2加+2缶在 RtA AED 中，Q爐 + AE? = AD2 BD2 +CD2 = 2AD2 點評：涉及到三角形中邊的平方關(guān)系時應(yīng)考慮運川勾股定理，而勾股定理只有在直角三 角形中成立.例5如圖，AABC是等腰RtA, BC是斜邊，ADBCBD交AC于E,且BD=BCo求證：CE=CD捉示：要證CE=CD,需證ZCED=ZCDE 解析：作DGLBC于G,作AFI_BC于F則DG=AF=-BCo2J BC=BD /.DG=-BD2 ZCBD=30乂 是 BD=BC, ADBC,AZADB=ZCBD=30 , ZCDE=- (180 -ZCBD) =75

6、2ZCED=ZCDE=75O CE=CD解后反思：等腰直角三角形底邊上的衙是一種常駐作的輔助線，它將原三角形分割成兩個 全角的等腰直角三角形。例6如圖，ZSABC的三邊長分別是BC=17, CA=18, AB=19,過ZABC內(nèi)的點戸向厶ABC的三條邊分別作垂線PD, PE, PF K BD+CE+AF=27o 求BD+BF的長度。解析：設(shè) BD=x,CE=y，AF=z，則DC=17-x, EA=18-y, FB=19z,連接 PA, PB , PC 在 RtAPBD 和 RtAPFB 中。有:x2+PD2=(19-z) 2+PF2,同 ay2+PE2=(17-x)2+PD2z2+PF2=(1

7、8-y) 2+PE2將以上三式相加，得x2+y2+z2=(17-x) 2 +(18-y) 2+(19-z) 2即 17x+18y+19z=487XVx+y+=27/. x=z-1ABD+BF=X4- (19-Z) =18點評：木題證法體現(xiàn)了運用方程思想解決幾何命題的方法，應(yīng)細心體會。例7如圖所示，在等腰RtAABC中，ZBAC-900 , P是ZABC內(nèi)一點，PA=1, PB=3, PC=a/7 ,求ZCPA的大小。提示：PA、PB、PC過于分數(shù)，可將其集中到一個或兩個三角形屮，再川Rt的知識解 決。解析：作ACQ9AABP,連接PQ,貝IJAQ=AP=1, CQ=PB=3, ZQAC=ZPA

8、B又 VZPAB+ZPAC=90PAC=90A Z PAQ= Z QAC+ Z CAP= Z PAB 卜 Z QAPQ2=AQ2+AP2=2,且 ZPQA=45 在 ACPO 中，PC $ +PQ2 =7+2=9=CQ2, ZQPC=90ZCAP=ZQPA+ZPQC=135點評：本題巧用了勾股定理的逆定理，它是判定兩條直線垂直或判斷一個角是直角的常用 方法。例8如圖所示，是一個圓柱休，它的高為20,底面半徑為6.7。如果一只螞蟻要口圓柱體 下底面的A點，沿圓柱形曲面爬到與A相対的上底面B點（如圖）求爬行的最短路線的長 度。提示：螞蟻口 A點出發(fā)，沿圓柱體溫表曲面爬到B點，要在曲面上比較路線的長

9、短十分困x難U），而在平面上找兩點間的最短路是容易的，因而我們假想把這個圓柱體沿BC剪開攤平（如圖）此時，A, B間的最短路線即為線段AB的長度。解析：，由已知,在RtAABC中BC=20, AC等于圓柱體底血周長的一半。即 AC=- x2 6.7=212由勾股定理 得 AB= ylAC2-BC2 = 7212 +202 =29故 螞蟻所爬最短距離約為29（長度單位）點評：解法此類求瑕知路線問題，常將空間的曲而展開成平而，然后利用勾股定理等進行 求解。例9國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，II前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng) 改造，某村六組冇四個村莊A、B、C、D正好位于一個正方形的四個

10、頂點，現(xiàn)計劃在四個 村莊聯(lián)合架設(shè)-條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分.謎你幫助計算一下， 哪種架設(shè)方案最省電線.分析：有兒種設(shè)計方案的，把每種方案的線路長均計算出來，從中擇優(yōu). 解：不妨設(shè)正方形的邊長為1,則圖1、圖2中的總線路長分別為AD+AB+BC=3, AB+BC+CD = 3圖3中，在RtA DGF中AC = J豳彳+詁)=忑同理= Q圖3中的路線長為2血= 2.828圖4中，延長EF交BC T H,貝IJFH丄BC, BH=CH2qO eh =丄由ZFBH= _2及勾股定理得：寫,FH咅EA=ED = FB = FC= BIIAABC +ZA=30 , AC=4, BC=-

11、,求 AB 的長。2 如圖，在ZXABC 中，AB=AC=1, p,p2 服。3在BC 邊上，令“=礎(chǔ) +, 1=1,2,2003,試計算加+ ?2003 試證：(1)在直角三角形中.弦的立方大于勾股的立方和。(2)直角三角形勾股平方的倒數(shù)和，等于弦上的高的平方的倒數(shù)。 已知ZSABC 中，AD 是高，AB+DC=ACBD,求證：AB=AC6/.EF=1-2FH=1 - 3此圖中總線路的長為4EA+EF = 1 +血=2.732V32.8282.732圖4的連接線路最短，即圖4的架設(shè)方案最省電線.點評：在實際生產(chǎn)工作屮，往往工程設(shè)計的方案比較多，需要運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行 計算，比較從中選出故

12、優(yōu)設(shè)計.木題利川勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性 質(zhì).鞏固練習(xí)1.已知直角三角形的周長為2 +點斜邊上的屮線為1,求這個三角形的面積。6. 如圖，在等腰 RtAABC 中，ZBAC=90 , E、F 是 BC 的點，ZEAF=45 ,求證:BE2V3-或 2館 + 色。2 2+CF2=EF27. 如圖,M為線段AB的中點，D為MC上異丁M的上點，過點D作直線L丄BC, A為L上任意一點。(1)求證：ABAC；(2)若 BC=8325, MD=12,求 ABAC，8. 如圖，已知ZXOY=60 ,MZXOY是內(nèi)的一點，它到OX的距離MA為2,它到OY的距離MB等于11,求0M的長.參考

13、答案.1 設(shè)三角形三邊為 a,b,c 且 c 為斜邊 則 a+b+c=2+“ ,c=2. /. a+b= V6 乂 a2+b2=c2 =4,A6過點C作CG丄BC, H使CG=BEoA連接 AG, FG,則AABE絲AACG AE=AG, ZEAF=ZGAF AAEFAAGF EF=FG又 J FG2 +GC 2=FG2,|&BE2+CF2=EF2 o7. (1)由題意知 BM=MC, DCBM乂 T AB2 =AD2 +BD2, AC2 =AD2 +CD2,AAB2AC2,故 ABAC：(2) AB2-AC2=BD2-DC2= (BD+DC) (BD-DC) =2 BC MD=1998。&延

14、長AM交OY于C,則ZACO=30 ,MC=2MB=22 AC=AM+MC=24. 設(shè) OA=X,則 OC=2xx2+242=(2x) 2.x=8、廳.故 OM=14o豆丁致力于構(gòu)建全球領(lǐng)先的文檔發(fā)布與銷住平臺，而向世界范圍提供便捷、安全.專業(yè)、有效的文檔營銷服 務(wù)。包括中國、日本、韓國、北美、歐洲等在內(nèi)的豆丁全球分站,將面向全球各地的文檔擁有者和代理商提供 服務(wù)，帝助他們把文檔發(fā)行到世界的每一個角落豆丁正在全球各地建立便捷、安全.高效的支付與兌換渠道, 為每一位用戶提供優(yōu)質(zhì)的文檔交易和賬務(wù)服務(wù)。3.1.設(shè)p,是BC邊上任一點，作BC邊上的高AD,則mf=AP；+p.BPCAP； +(BD-P,D)(CD+P,D)=AP? +BD2 P,D2 =BD2 + AD2 =AB2 = 1, (1=1,2,2003)所以叫 +m2 +m 2003=20034. (1)設(shè) ABC I1, ZC=90則 c3 =c c2 =c(a2 +b2)=c-a2+c b2a a2+b b2=a3+