八年級數(shù)學(xué)下冊《分組分解法》例題精講與同步練習(xí)北師大版

1、分組分解法例題精講與同步練習(xí)【基礎(chǔ)知識精講】1. 分組分解法利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法.例如：把x2-y 2+ax+ay 分解因式 .此多項式各項之間沒有公因式，又不能統(tǒng)一用某個公式分解. 我們把前兩項分為一組，后兩項分為一組，得到：2222，x -y+ax+ay=(x-y )+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)最終達(dá)到分解因式的目的.2. 分組分解法的根據(jù)分組的原則是分組后可直接提取公因式或可直接運(yùn)用公式，但必須使各組之間能繼續(xù)分解 .注意：1. 分組時需進(jìn)行嘗試，找到合理的分組方法.2. 有時，分組方法并不唯一 .3. 對于四項式在分解

2、時，若分組后有公因式，則往往用“二二”分組；若分組后公式法分解才行時，往往用“一三”分組，例如多項式2ab-a 2-b 2+1，在分解時，22222ab-a -b +1=1-(a-2ab+b )=1-(a-b)【重點難點分析】1. 重點難點分析2=(1+a-b)(1-a+b)重點 ：掌握分組分解法，理解分組分解法的分組原則：分組后可繼續(xù)分解.難點 ：是把多項式合理的分組， 處理方法是在分組時要預(yù)先考慮到分組后能否繼續(xù)進(jìn)行因式分解 . 同時強(qiáng)調(diào)：分組無固定的形式 .2. 典型例題解析例 1 分解因式 2a3+a2-6a-3分析這是四項式，可以“二二”分組，由于一、二兩項的系數(shù)之比是2 1，三、四

3、兩項的系數(shù)之比也是2 1，因此，將一、二兩項為一組，三、四兩項為一組進(jìn)行分組分解，有成功的希望. 也可以一、三兩項，二、四兩項進(jìn)行分組.解 2a 3+a2 -6a-3=(2a3+a2)-(6a+3)=a2(2a+1)-3(2a+1)=(2a+1)(a2-3)例 2分解因式 4x 2-4xy+y 2-16z 2分析這是四項式， “二二”分組無法進(jìn)行下去，采用“一三”分組，也就是前三項合為一組，滿足完全平方公式，第四項單獨作為一組，而且是某數(shù)或某整式的平方形式，這樣便可運(yùn)用平方差公式繼續(xù)分解 .解 4x2-4xy+y 2-16z 2222=(4x-4xy+y)-16z22=(2x-y)-(4z)=

4、(2x-y+4z)(2x-y-4z)例 3 分解因式 ax-ay-x 2+2xy-y 2分析這是五項式，采有“二三”分組，也就是前兩項為一組，后三項為一組，能用完全平方公式，關(guān)鍵在分組后且間仍有公因式(x-y)可提 .1解 ax-ay-x 2+2xy-y 2=(ax-ay)-(x2 -2xy+y 2)2=a(x-y)-(x-y)=(x-y)(a-x+y)例 4把 (x 2+y2-1) 2-4x 2 y2 分解因式解 (x 2+y2 -1) 2-4x 2y2=(x2+y2 -1) 2-(2xy) 2=(x2222+y -1)+2xy(x+y -1)-2xy=(x2+2xy+y 2)-1(x2-2

5、xy+y 2)-1=(x+y)2-1(x-y)2-1=(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)例 5 分解因式 x(x-1)(x-2)-6分析考慮去掉括號，重新分組.解 x(x-1)(x-2)-6 =x 3-3x 2 +2x-6=(x3-3x 2)+(2x-6)=x2(x-3)+2(x-3)2=(x-3)(x+2)【難題巧解點撥】例 6 分解因式 a4+4分析這是一個四次二項式，無法直接運(yùn)用某種方法分解因式. 如果在 a4+4中項添上一項 o, 再把 o 拆成絕對值相等、符號相反的兩項4a2 和-4a 2, 則原多項式就變?yōu)閍4+4a2 +4-4a 2四項式了，再進(jìn)行 3-1

6、分組，利用公式就能分解了 .解 a 4+4=a4+4a2 +4-4a 2(添拆項 )=（a4+4a2+4） -4a 2(分組 )=(a222（完全平方公式）+2) -(2a)=(a2+2a+2)(a 2-2a+2)(平方差公式 )點評本例是添拆項的典型例題，目的性很強(qiáng)， 原來是二項式， 通過添拆項變?yōu)樗捻検?，再利用分組、公式進(jìn)行分解 .例 7已知 x2+10xy+25y 2-1=0 ，化簡 x3+5x2y+x 2.分析由已知條件，通過因式分解，可得到(x+5y) 的值 . 從而可以化簡所求代數(shù)式 .解由 x2+10xy+25y 2 -1=0 可得(x+5y)2即-1=0(x+5y+1)(x+5

7、y-1)=0當(dāng) x+5y+1=0 時x3+5x2y+x 2=x2(x+5y+1)=0當(dāng) x+5y-1=0時，即 x+5y=1x3+5x2y+x 2=x2(x+5y+1)=2x 2【命題趨勢分析】熟練掌握并能靈活運(yùn)用分組分解法. 考查分組分解法常與提公因式、公式法相結(jié)合，命題以對四項式的多項式因式分解為主.2【典型熱點考題】例 8把 2x3+x 2-6x-3分解因式 .(沈陽中考題 )解 2x 3+x2 -6x-3 =(2x 3+x2)-(6x+3) =x 2(2x+1)-3(2x+1)=(2x+1)(x2-3)例 92222(廣州中考題 )把 abx -aby-a xy+b xy 分解因式 .

8、解 abx 2-aby 2-a 2xy+b 2xy=(abx2-a 2xy)+(b 2xy-aby 2)=a(bx-ay)+by(bx-ay)=(bx-ay)(ax+by)點評本題中前兩項雖有公因式ab，后兩項雖有公因式xy ，但分別提出公因式后，兩組中卻無公因式可提，無法繼續(xù)分解. 因此分組時，必須把眼光放遠(yuǎn)一點. 本題解法是把一、三兩項作為一組，二、四兩項作為一組；也可把一、 四兩項作為一組，二、三兩項作為一組.請讀者試一試.例 10 把多項式分解因式xy-ax+bx+ay-a 2+ab.(長春中考題 )解法一 xy-ax+bx+ay-a2+ab=(xy-ax+bx)+(ay-a2+ab)

9、=x(y-a+b)+a(y-a+b)=(y-a+b)(x+a)解法二 xy-ax+bx+ay-a2+ab=(xy+ay)-(ax+a2)+(bx+ab)=y(x+a)-a(x+a)+b(x+a)=(x+a)(y-a+b)點評本題共有六項，解法一分為兩組：前三項為一組，后三項為一組；解法二分為三組：一、四兩項作為一組，二、五兩項作為一組，三、六兩項作為一組. 一般地，類似例8這樣的六項式都可用以上兩種方法分組.【同步達(dá)綱練習(xí)】一、填空題 (4 分 10=40 分 )1.x 2+2y-y 2 +2x=(x+y)().2.因式分解 x2+xy-3x-3y=.3.因式分解 1-a 2+2ab-b 2=

10、.4.因式分解 x5+x 4+x3+x2 =.5.分解因式 ax-ay+a 2+bx-by+ab=.6.分解因式 ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy=.7.分解因式 2x-2y+4xy-1=.38.分解因式 a4b-a2b3+a3 b2 -ab 4=.9.若 a-b=2,a-c=4,則 b2-2bc+c 2+3(b-c)=.10. 分解因式 a2-b2+4a+2b+3=.二、分解因式（ 10分 6=60 分）11.ab+bc-cd-da12.x3-xyz+x 2y-x 2z13.y 2-x 2+6x-914.x-+2xy+y2-ax-ay15.6x(m-n)-2m+2n16.4x2-4y 2+4y-1參考答案：【同步達(dá)綱練習(xí)】一、1.(x-y+2)2.(x+y)(x-3)3.(1+a-b)(1-a+b)4.x 2(x+1)(x2+1)5.(a+b)(x-y+a)6.(a-x)(b+2y-3c) 7.(2y+1)(2x-1) 8.(