第2章張量(6.8)講解

1、第2章張量分析2. 1矢量空間、基、基矢1.線性矢量空間設(shè)有個(gè)矢量的丿=1,2,，“，它們構(gòu)成一,個(gè)集合/?,其中每個(gè)矢量a：稱為R的一個(gè) 元素。如a+.（/;）唯一地確定R的另一個(gè)元素，及肋，（R為標(biāo)量）也給定R內(nèi)唯一確 定的元素，則稱R為線性（矢量）空間。R中的零元素記為O,且具有O 6=0.2空間的維數(shù)設(shè)4為加個(gè)標(biāo)量，若能選取久，使得nt且8不合為零，則稱此加個(gè)矢量線性相關(guān)，否則，稱為線性無關(guān)。 例1位于同一平面內(nèi)的兩個(gè)矢量和件（如圖）是線性無關(guān)的, 即a1a1 + a2a2 0若勺和冬為任意值，且不全為零。例2位于同一平面內(nèi)的三個(gè)矢量陽，a2,是線性相關(guān)的,則恒可找到3 （不全為零）使

2、a1a1 + a2a2 + a3a3 = 0如圖：a2 = a；q + 01；么3集合R內(nèi)線性無關(guān)元素的最人個(gè)數(shù)稱為集合或空間的維數(shù)。設(shè)R的維數(shù)為，則記為3空間的基和基元素心中任意個(gè)線性無關(guān)元素的全體稱為的一個(gè)基?；拿總€(gè)元素稱為基元素，由 于Rn的確良基元素是線性無關(guān)的。于是心內(nèi)任一個(gè)元素/可表示成基元素的線性組合。 設(shè)e（j = l,2,/）為心的任選的基，則有：y aX 0 , Q；為任意的不全為零的標(biāo)量但總可選取aHO及4不全等于零，使得n吋=工8網(wǎng)=02=1或者”a11r =ai)=Yai1=1aoZ=1 HOc,不全等于零，所以乙不全等于零，且為有限值。 心內(nèi)有無限個(gè)基，但只有一個(gè)

3、基是獨(dú)立的，因?yàn)槲粌?nèi)至少只有個(gè)元素是線性無 關(guān)的。設(shè)西及兀是心的兩個(gè)基，則兀中的每個(gè)基元素都可用兀的線性組合來表示； 反之亦然，因此，心中的任兩個(gè)基元之間存在唯一的變換關(guān)系。 對(duì)于同一個(gè)元素/*,采用不同的基時(shí)，其系數(shù)&不同甘共苦。因?yàn)榇a與可間有確定的變換關(guān)系，因此，&與&間亦有確定的變換關(guān)系。 空間的基往往與坐標(biāo)系相關(guān)連，每一種坐標(biāo)系有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的確定的基，其中&則 是矢量在基或坐標(biāo)方向的分量值。 空間的元素如為矢平口里，則基元素稱為基矢。如前所述，不同坐標(biāo)系的基矢之間存 在確定的變換關(guān)系，它是坐標(biāo)變換的基礎(chǔ)。正交基：基內(nèi)各基矢相互正交的基，稱為正交基。標(biāo)準(zhǔn)正交基：基矢為單位矢量的正交基，

4、稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基?，F(xiàn)以歐氏空間為例，這是三維空間。在歐氏空間內(nèi)，笛卡兒坐標(biāo)系為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作勺，在此坐標(biāo)系內(nèi)，任一矢量/（位 矢）為r = yyxiej = xlej + x2e2 +勺是不因坐標(biāo)位置而改變的dr = Z ch;edr當(dāng)只一個(gè)坐標(biāo)有變化時(shí)，例如有變化dr = d.xlel此時(shí)，閒=氏，因此，勺為單位矢量。間|都等于1,且彼此正交，故笛卡兒坐標(biāo)系的基為標(biāo)準(zhǔn)正交基。正交曲線坐標(biāo)系的基亦為正交基，記作用表示坐標(biāo)值，則基矢定義之drrdr = Zd9g（. g,隨坐標(biāo)位置而變化，因此g,是正交基，但不是標(biāo)準(zhǔn)正交基。例如：在極坐標(biāo)系內(nèi)dr = d91g1 + d02g2q =幾 =(p

5、dr = d/ + dcpg2則為正交曲線坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)化正交基。因此，顯然有 2. 2字母指標(biāo)法1字母標(biāo)號(hào)法：(標(biāo)號(hào)：index ox suffix )點(diǎn)位置:x,y9z (矢徑)-xl9x2,x3 t xf(f = 1,2,3) 矢量：w, v, w (位移) uu2u5 u.(i = 1,2,3)vA.,vv,v,(速度)U*2，*3 t 匕(j = l,2,3)“3= L2,3)應(yīng)力(張量):迅刃丁心T 6*11, E12，6、，*12，21，*32， ，殆其中 |d/.| = dr, |gj = l, |d(f2| = rdcp,因此,f 5 (i, j = 123)微分符號(hào)： f，i

6、 (Q/) 0 = 1,2,3) oxA ox2 aq oxid23)d2f d2f d2f d2fox； ox cxlx2約定jk英文字母下標(biāo)表示三維指標(biāo)，取值1, 2, 32求和約定：矢量點(diǎn)積:a上兩矢量分別記為5切啞標(biāo)：在表達(dá)式式中等項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)指標(biāo)在取值范闈內(nèi) 遍歷求和，該重復(fù)指標(biāo)稱為“啞標(biāo)”或“偽標(biāo)”啞標(biāo)的符號(hào)可以任意改變（僅表示求和）ab =訕=akbk線性變換：上式中，/為啞標(biāo)表示求和，而i在每項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱為自由指標(biāo)。 自由指標(biāo)表示，若輪流取該指標(biāo)取值范闈內(nèi)的任一值，關(guān)系式恒成立。自由指標(biāo)僅表示為輪流換值，因此也可以換標(biāo)，如，上式可寫為X； =

7、%Xj（同時(shí)換標(biāo)）注意：自由指標(biāo)必須整個(gè)表達(dá)式換名 同項(xiàng)中出現(xiàn)兩對(duì)（或多對(duì)）不同啞標(biāo)表示多重求和。如: 啞標(biāo)只能成對(duì)出現(xiàn)。否則要如求和號(hào)或特別指出（就書中標(biāo)下加“-”） 由aibi = aici不能得出bt = cj 若重復(fù)出現(xiàn)的標(biāo)號(hào)不求和，應(yīng)特別聲明2.3符號(hào)為和1 符號(hào)(kioneclier delta )定義為fl 當(dāng) i=j 0 當(dāng) iMj性質(zhì):對(duì)稱性J= J應(yīng)用:QqXj -Axi =(知 _“j)Xj2排歹I符號(hào)(置換符號(hào))eijk ( Permutation Symbol)1當(dāng)訂k為順循環(huán)定義：eijk = -1當(dāng)i為逆循環(huán)0當(dāng)不循環(huán)性質(zhì):eijk = eikj = 一S = e

8、kij卜標(biāo)改變奇次位置時(shí)改變正、負(fù)號(hào)，下標(biāo)改變偶數(shù)次位置時(shí)不改變符號(hào)。應(yīng)用：兔axb = aieixbJej=eijkabjek3 .智%之關(guān)系(恒等式)-ax(bxc) = (ic)b 一 (” b)c 矢量恒等式 設(shè) a = akek b = bses c = CJeJ而 ax(bxc) = (aek)x(eistbsc,)ei = (eistakb.c,)ek xet又(a c)b-(a b)c = (akck)bieJ 一(勺仇)c鬥=(6 廠 me”)也 cj根據(jù)矢量恒等式，有：（矢量恒等則矢量的各分量應(yīng)相等） 礙竝山占心=（耳幾-由于對(duì)任意的孜,C（上式均成立，貝IJ:進(jìn)一步，有：

9、eijkeij, = 5 3k, - 5燈.g = 2 幾% = 2 幾=6 = 3!2.4坐標(biāo)變換0-“?！埃豪献鴺?biāo)系（，匚,，3）O-x；x；x；：新坐標(biāo)系（也,弓） 坐標(biāo)軸夾角的方向余弦：A5=i；h=ii；=cos（x；,xJ構(gòu)成一個(gè)二階張量EL = 3冋（與一般不同，它是兩個(gè)坐標(biāo)系的基矢構(gòu)成的） 稱為轉(zhuǎn)移張屋（Shifter）（總是新坐標(biāo)在前，老坐標(biāo)在后）性質(zhì)：不是對(duì)稱張量L,而=/；/,U =L是正交張量 （*）又新老坐標(biāo)系基矢量的關(guān)系式：上面第一式兩邊乘以石則ik = Lklit上面第二式兩邊乘以i；則it = Lkli則:D砧 耳仏- hn =厶I上代入（*）式，有 L-Lt

10、= 6aJ；.； = / 證畢 張量L的應(yīng)用：1）矢量的坐標(biāo)變換:又”=叭皿；（ik = Llki；） 則：；=你厶伙或uk = Likui 矢量形式為：u = Lii u = iJu11）二階張量的坐標(biāo)變換:與上同樣:張量寫法為:A/ni = S 厶/箴Ann = LsL“A；Af = L A IJA = lJ A L 2. 5張量的代數(shù)運(yùn)算1.張量的坐標(biāo)系不變性及其記法客觀量都是與坐標(biāo)系無關(guān)（坐標(biāo)系只是人為的選擇工具），如長度是不變的，但測(cè)量長度可用不同的工具人（若張量與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，則張量反映了一個(gè)客觀量）。a矢量（小寫字母）笛卡兒坐標(biāo)系基矢a = aiei = alel + cie

11、+=ere = cie + a；a；=a（bt為標(biāo)準(zhǔn)化的正交曲線坐標(biāo)基矢）則與與4：有一定的變換關(guān)系（即坐標(biāo)變換公式），通過基矢的變換來導(dǎo)出它們之 間的變換關(guān)系。H稱為一階基（由三個(gè)矢量構(gòu)成的基）/Pn 矢量可用一個(gè)方向來確定，G）在方向，應(yīng)力矢為幾p”，在方向，應(yīng)力矢為p：ii 但有些量不利用一個(gè)方向來確定，如應(yīng)力：它與兩個(gè)方向有關(guān)，常用的單元體也如此eL（和作用面的法矢）。這樣引入二階基：e.,從數(shù)字上說，可引入n階基，3”個(gè)基矢與階基相關(guān)連的量稱為階張量/7 = ：標(biāo)量 /7 = 1：矢量 = 2：-階張量（簡稱張量）張量的記法:直接記法矩陣記法（0階、一階、二階張呈）（抽彖記法）分量記

12、法標(biāo)量a/矢量a，二階張屋TTijeiej吋直接記法與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，只用于描繪公式、不能進(jìn)行計(jì)算。分量中標(biāo)量稱為偽標(biāo)量, 與坐標(biāo)選擇有關(guān)，這里能以分量記法變直接記法，反之亦然。2 張量的外乘（并乘），n夕卜積（并積），用記號(hào)0aB .= aieiek= aiBjkeiejek=浮勺=Ccijk = QjBjk不適于交換率，與秩序有關(guān)。個(gè)張量外乘，結(jié)呆仍為張量，新張量的階數(shù)為個(gè)張量階數(shù)之和ab = abjei e. =C Cit = abi分量的組合有9個(gè)，該9個(gè)為二階張量的分量。3 張量的內(nèi)乘（點(diǎn)乘）二內(nèi)積（點(diǎn)積）,用記號(hào)“”）B 識(shí)=B# akek = Bijakei ek=Bm = Ci

13、ei = c張量的內(nèi)乘法結(jié)果仍為張量，其階數(shù)為二個(gè)張量的階數(shù)之和再減去點(diǎn)乘的次數(shù)乘2oA-B = AijeieJ-Bklek0el= AijBklei0ej-ek0el=巒的=ccn = AijBjia B b = c c = aDjbj4張量的縮并c = Cijkl e,翠 0e,（不能變換順序）=C曲 J 兔勺（不能變換順序）=Gg細(xì)=AAki = Cijki c = cijklc,eJekei=cijkiej ek=BBjk = CljklAB張量的縮并仍為張量，其階數(shù)等于原張量的階數(shù)減去縮并數(shù)x2 C = AB = Atje0為勺=AijBilej et=D Djf = A角慣用的縮并

14、：廠燃層）=州*.嗎 B&m, ej -ein e,r個(gè)個(gè)（rH-2s）個(gè)（表示縮并，S表示縮并次數(shù)，慣用為最靠近的縮并。要求：r,tS0（A B） = A B = CC. = A爲(wèi)CA0B） = A B = C（稱為雙點(diǎn)乘，設(shè)A,B為二階張量）4階2階 2階（A : B）:C = a =為汕）2階4階2階=C A BCA0B） = AB CA0B） = A:iB 等5.若干結(jié)論 商法則張量識(shí)別定理設(shè)已知B和C為張量，且滿足：T（信）=磚心皿.好* 0e. -em ew=C+f-2S）階則A亦為張量，且為廠階，（C的階數(shù)減去B的階數(shù)+ 2S）特別是，當(dāng)t = S即B的指標(biāo)與A的指標(biāo)全部依次相同

15、， 則A的階數(shù)為C的階數(shù)加上B的階數(shù)。如右圖：（旺是一階張量（點(diǎn)的位置矢） = 6根據(jù)上面分析，知為二階張量分量（單位張量）記為7。 g的矩陣記法為單位矩陣A I = Aaxb = c = eijkajbkeiC =弘 叭 則為三階張量，記為 ”一階二階張fit Ba = a 二階張量可視為一個(gè)變換，把一個(gè)矢量變換為另一個(gè)矢量。 二階一階一階/與a的大小不同、方向不同（一般下） 一階、二階張量的運(yùn)算，可用矩陣的運(yùn)算方法（下面均指二階張量）A B = CC, = 4,C = AB打AtAt A-1 A-1求跡(trace)血= tiAtj = Ati (矩陣)則定義：tn4 = A.AA2=AA

16、=AA 類似 A = A特別地a) B a =c c = Baa B = =aTB = dT a BB aa -b = aTb =b) (B a) (A b) = cBaAb=a1 Bt4 ba BJ A bc) A:B = Ai/.B.=c=AiB.A B = Aik Bkjet =C C. = Aik BkjMA B) = tiC = C. = AikBki則 A:B = u(AT B) = tr(A BT)且 A B = tr(B AT) = tr(BT -A) = B A進(jìn)一步：tr(A B C) = (A B):CT = CT:(A B) = tr(C A-B)2.6特殊張量 張量函

17、數(shù)(二階張量)1 對(duì)稱和反對(duì)稱張量(與矩陣的對(duì)稱和反對(duì)稱定義同) 定義： 設(shè)S為對(duì)稱張量，若有S = S;S產(chǎn)Sji，則稱為對(duì)稱張量 設(shè)A為反對(duì)稱張量，若有A = -AT；,則稱為反對(duì)稱張量特性： S:A = O證：S A = tr(ST A) = tr(S A) = S AT=-S A又SA總為標(biāo)量，貝ij S:A = O一般張量 T = T(S) + TA)T(s)= -(T + T)TA)=-(T-T) 設(shè)B為反對(duì)稱張量，則可找一個(gè)矢量，使 (w為量換張量)Bij =一 仇B(yǎng)ji = 一 e Z = eijkbk = -Bt則：任意矢量與置換張量w的點(diǎn)乘枳為一個(gè)反對(duì)稱張量 求解張量方程(

18、*),即 b = 求出b = ?.ee= 21將(*)式兩邊的點(diǎn)乘w,有一則-2b=e:B:.b = -e: B2稱B與b互為對(duì)偶。設(shè)B和W均為反對(duì)稱張量，b和W分別為它們的對(duì)偶矢量，則B-W = w Eb-(b -w)I以上為矢量恒等式。證明：BW = (M)(gw) =0 J)C訕帕” e)=訕心腫心 etl8.n = eijkbke.llwlei en=一曲w尼en = 一(盅爲(wèi)-譏)gw心en=W/g e, -blwlei et=w b-(bw)I定理：反對(duì)稱張量與反對(duì)稱張量點(diǎn)積是一個(gè)張量，但不一定為反對(duì)稱張量。證：B W = tr(BT W) = -tr(B W) = tr(w b)

19、-(b w)Iw= F Fi：t = Q旳ti(w 0Z) = tr(F) = 片=b-w貝ij B W =-trB W) = -(b w-3b w) = 2b w2偏(斜)張量和球張量定義：設(shè)D為張量，若三0,則稱D為偏斜張量100_設(shè)P為張量，若P = pl,則稱P為球張量卩010001特性：D:P = 0證：； tiD = h. = 0D P = ti(D 卩丁) = tr(D- P) = ti(D- pl)=/?tr(P/) = pti(D) = 0任何張量B,都可分解為偏斜張量和球張量之和b = b_A(b)/B = (%)+ B(p): (C(D) + C(pJ = B(d) :

20、C(D) + B(p): C(p)彈性力學(xué)中:=2 局 + 33)3正交張量（代數(shù)中正交矩陣s川AJ可唧）定義：設(shè)有張量0與任意矢量a ,作一個(gè)變換Q a = a。如果 a a =a -a （即|a|= a ）則稱0為正交張量（Q的變換稱為正交變換或剛體變換）。 特性：a “ = （0 a）（Qa） = a 0T 0 a =a a又由于a為任意的，則QT Q = Ie _1=eTdet(0丁 0) = det(/) = ldet(gT)- det(g ) = 1 又 det(gT) = det(0)則(det(g)2 = 1正常正交張量非常正交張量相當(dāng)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)相當(dāng)于鏡射對(duì)于基矢量的變換 Q

21、=e：若0為正常正交張量，則勺與打之間轉(zhuǎn)換（仍為右手坐標(biāo)系）若0為非常正交張量，則與0：之間鏡射，將右手系變?yōu)樽笫窒担?Q a=a | =時(shí)a = ciei a = a.e e： =Q eia = a e = Q a = Q ciiei = aQ e. = citeZ| ai e 保角變換（既是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，應(yīng)是保角的）a b=a b （該等式成立，保證角度不變，兩矢量的夾角不變） 證明：a =Q a, b = Q ba b = （Qa）（Qb） = aQH Qb=ab（a* b* = a b 二 a*/cos 6* = abcos= 0 ）4. 相似張量定義：設(shè)有二個(gè)張量B*, B和矢量ad ,

22、則有(*)B*a* = bx Ba =b如果a=Q a, a為任意，又b* = Q b則稱B與B*為相似張量。特性： 同B之間的關(guān)系：W = B4 a b*=Qb則 B* a* = b* = Q bB Q a = Q B a又由于a為任意的，則有B* Q = Q B 又Ql = gT.B=Q B QJ （上式兩邊右乘QT ） 設(shè) e=Q et 又設(shè)B* = B：e：歐;,B = B.et（）又 bqbqt則 B* = QBQT = QB冋 ey0T =為（0）g（0勺）=B： e；:.B：=E“（與（）式比較）相似張量之一存在新基上的分量等于各一相似張量在原基上的分量。Q矢量正交變換Q a =

23、 a 張量正交變換 Q B QJ =B B = QT Q detB*=detB證：detB* = det(g B gT) = detg det B detgT又 detgT det Q = (det Q)2 = 1. det B = det B U(B) = tr(B)證明：= ti(g B 0T) = ti(gT g B) = ti(B)上兩個(gè)特性證明了不變量與坐標(biāo)選擇無關(guān)一次：tr(B) 二次：U(B) tr(B2), 三次det(B) B A* = B A證： B:A=tr(BA4) = UQBJQTQAQT) = XBTA) = BA 特別地：=即：B；B； = BjjBy定義：B的范數(shù)=鷗瓦=阿應(yīng)記為|創(chuàng)|則|Bf| = |B|兩相似張量的范數(shù)相等。5. 張量函數(shù)以張量為變量的函數(shù)稱為張量函數(shù)如：A = f S 功為張量函數(shù)叭=或T = T(s)本構(gòu)關(guān)系也是張量函數(shù)W = -Q.8. =-T .應(yīng)變能為張量函數(shù)2 1 J 2(1)標(biāo)量值的張屋函數(shù)a) 表達(dá)法 Y = Y(B),設(shè)B為二階張量例：Y = L .B = LijBir此處L為給定的二階張量(相當(dāng)于函數(shù)的系數(shù))b) 線性函數(shù)：Y(aB) = aY(B)c) 求導(dǎo)：=叫 y根據(jù)縮并定理，C=e(AB)則