2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《曲線與方程》

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練曲線與方程【題型一】：曲線和方程的關(guān)系【題型二】：定義法求軌跡【題型三】：直接法求軌跡【題型四】：待定系數(shù)法【題型五】： 相關(guān)點(diǎn)代入法”【題型六】：參數(shù)法【題型一】：曲線和方程的關(guān)系例1.如果坐標(biāo)滿足方程f(x,y)0的點(diǎn)都在曲線C上，那么下列命題正確 的是().f A)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程f(x,y)0f B)坐標(biāo)不滿足方程f(x, y)0的點(diǎn)都不在曲線C上(C)不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)必不滿足方程f(x,y)二0f D)不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)有些滿足方程f(x,y)二0，有些不滿足方 程 f(x,y)二 0 .【思路點(diǎn)撥】由曲線與方程

2、的定義，fA)、f B)不一定正確，(C)命題是原 命題的逆否命題，它們是等價(jià)命題，故選【答案】C【變式訓(xùn)練】：【變式1】如果命題坐標(biāo)滿足方程F(x, y)=0的點(diǎn)都在曲線C上”不正確，那 么下列命題中正確的是f).f A)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y)=O;f B)坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=O的點(diǎn)都不在曲線C上；(C)坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=O的點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C 上;f D)一定有不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程 F(x,y)=O.【答案】D【變式2】曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y) =0的解”是曲線C的方程f（x,y） =0 ”的（）條件.A .充分 B

3、.必要 C.充要D .既不充分又不必要【答案】B【例2】.證明圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程是x2+y2=25,并判斷點(diǎn)Mi（3,-4）,M2（2.5,2）是否在這個(gè)圓上【證明】（1）設(shè)M（xo, yo）是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5，所以, x2 y2 =5，即 X： y2 25，所以（xo，yo）是方程x2+y2=25的解.（2）設(shè)（xo，yo）是方程 x2+y2=25 的解，那么 x； y： = 25,所以x： yo 5，也就是說(shuō)，點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5， 所以點(diǎn)M在這個(gè)圓上.由（1） （2）知，x2+y2=25是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 5的圓的方程. 把Mi（3, -4）代

4、入x2+y2=25,等號(hào)成立，所以點(diǎn)Mi在圓上， 把皿2（-2.5,2）代入x2+y2=25，等號(hào)不成立，所以點(diǎn) M:不在圓上【題型二】：定義法求軌跡【例3】.已知MBC中，N A、B、Z C所對(duì)應(yīng)的邊為a、b、c （ acb）, 且a、c、b成等差數(shù)列，|AB| = 2,求頂點(diǎn)C的軌跡方程【思路點(diǎn)撥】建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到頂點(diǎn)滿足的幾何條件結(jié)合圓錐曲線的 定義解決問(wèn)題。【解析】由題知：|BC | |CA2| AB4 2,由橢圓的定義可知：點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸為2a=4，焦距為2c=2,短 軸長(zhǎng)為2b =2、3,橢圓方程為2 243,L 7又a cb, .點(diǎn)C在y軸左側(cè)，必

5、有xc0,/B而C點(diǎn)在X軸上時(shí)不能構(gòu)成三角形，故x2.2 2因此點(diǎn)C的軌跡方程是：”（2*。）【總結(jié)升華】本題考查 定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù) 學(xué)問(wèn)題的能力，通過(guò)建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題來(lái) 求解.正確理解題意及正確地將此實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是順利解答此題的關(guān) 鍵。注意在求出了方程以后討論 x的取值范圍，實(shí)際上就是考慮條件的必要性【變式訓(xùn)練】：【變式1】某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2cm和一個(gè)直徑為1cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱， 檢測(cè)一個(gè)直徑為3cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn) 圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？【答案】設(shè)直徑為3,2,1

6、的三圓圓心分別為0、A、B，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與。0相內(nèi)切，與。A、O B相外切建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)。P的半徑為r,則| PA| = 1 r，|P0 | = 1.5 -r/. | PA| | P0|=(1 r) (1.5-r) =2.5，點(diǎn)P在以A、0為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2.5的橢圓上,1 2其方程為16(X 1)2y2 1253同理P也在以0、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上,其方程為（x-1）2上=123由、可解得P（掙、Q（討掙(14)故所求圓柱的直徑為cm o7【題型三】：直接法求軌跡例4.已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么

7、曲線【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題中已知條件直接列出幾何關(guān)系式子，再將其翻譯”成數(shù) 學(xué)語(yǔ)言即可?！窘馕觥拷⒆鴺?biāo)系如圖所示,設(shè)|AB|=2a,則 A(_a,O)、B(a,O)，則由題設(shè)，得曙坐標(biāo)代入,得 J(x+a+y；(x -a)2 y2設(shè)M (x, y)是軌跡上任意一點(diǎn),化簡(jiǎn)得：(1 - 2)x2 ( 2)y2 2a(仆 i2)x (1 -，2)a2 二 0當(dāng)-1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是當(dāng) =1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是2222a(1 )2x y2 x a 0，1 -九點(diǎn)M的軌直線x =0 (即y軸)7跡是以(a(1 J ,0)為圓心，r 為半徑的圓。1 _ 扎|1

8、_ & I【總結(jié)升華】注意在求出了方程以后確定軌跡是什么曲線時(shí)必須對(duì)的取值進(jìn)行討論?！咀兪接?xùn)練】：【變式】已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B，且|AB3 ，動(dòng)點(diǎn)P滿足N PBA = 2PAB式0,求點(diǎn)P的軌跡方程?！窘馕觥恳訟為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，則 A(0,0)、B(3,0)，設(shè) P(x, y)，T PBA =2 PAB = 0， PBA PAB，二 PA PB 即 x -, kAB 二.2x當(dāng)宀時(shí)，匕，PBA =2 PAB=0,二 tan PBA=tan2 PAB，y321x21 y_2x3即 3x2 _6x 一 y2 = 0( x 且 x = 3)2 x=3時(shí)，PB

9、 _x軸，.PAB ，此時(shí) P(3,3),4點(diǎn) P(3,3)也在曲線 3x2 - 6x-y2 =0 上點(diǎn)P的軌跡方程：3皿.|)【題型四】：待定系數(shù)法例5.如圖所示，直線1(2相交于點(diǎn)M, h 12,點(diǎn)h,以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到12的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若 AMN為銳角三角形，【思路點(diǎn)撥】由題意所求曲線段是拋物線的一部分,求曲線方程需建立適當(dāng)AM =訥7, AN =3, BN =6,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程。又AN十34Xa z的直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要 標(biāo)注x、y的取值范圍?！窘馕觥恳訫N中點(diǎn)為原點(diǎn),MN所在直線方程為x

10、軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線方程為 y2 = 2px (p 0,xA _ x _ xB, y 0)由 AM| = Jl7, AN| =3X十號(hào))2 +yA =仃.2(xa _P)2 +yA =9L.2解得p =2或4由 AAMN 銳角為三角形，二I? P , 8 c p2 v 26,二 p = 4p +9a17又 BN =Xb +衛(wèi)=6,二 Xb =42故所求曲線方程為：y2 = 8x （1乞x乞4, y 0）【總結(jié)升華】本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法、待定系數(shù)法求 曲線方程的步驟，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo) 系是解決本題的關(guān)鍵?！咀兪接?xùn)練】：【變式1】某電廠

11、冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分， 繞其中軸(即 雙曲線的虛軸)旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C是冷卻塔 上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B 是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA14m ,CC18m,BB -22m，塔高20m，建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出該雙曲線方程。如圖，建立直角坐標(biāo)系 x0y使AA 在 x軸上中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O, CC 與 BB 平行于x軸.112b2=192b272=1【解析】2 2設(shè)雙曲線方程為篤-與=1 (a 0 , ba ba = AA = 7 2又設(shè)B(11,y),C(9, y2)，因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以有由題意，知y2 - y1 = 20,由以上三式得： =

12、T2， y2 = 8， b = 7.2112 2故雙曲線方程為1.4998【題型五】： 相關(guān)點(diǎn)代入法”例6.如圖所示，已知P(4, 0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn), 且滿足/ APB=90，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程【思路點(diǎn)撥】欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方 程，利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段 AB中點(diǎn)的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在 RtAABP 中，|AR|=|PR|,又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理，在 Rt OAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36 (x2+y2)又 |AR|=|PR|=.(xl4

13、)2y2所以有(x 4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y2 4x 10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn) 動(dòng)。設(shè)Q(x,y)，R(X1,y”，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以1=二丄衛(wèi)，2 2代入方程 x2+y2 4x 10=0，得 (寧)2 (舟)2 -4 寧10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程?！究偨Y(jié)升華】對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題， 可先確定一個(gè)較易于求 得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌 跡方程?！咀兪接?xùn)練】：【變式】已知拋物線C:y2=4x.(1) 若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線 C的

14、焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線I分別重合，試求 橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；(2) 若 M(m,0)是x軸上的一定點(diǎn)，Q是(1)所求軌跡上任一點(diǎn)，試問(wèn)|MQ|有無(wú) 最小值？若有，求出其值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由【答案】由拋物線y2=4x ,彳得焦丿F(1,0),準(zhǔn)線 I :x= 1,設(shè) P(x,y)，則 B(2x 1,2y),橢圓中心 0則|F0：|BF|=e, 又設(shè)點(diǎn)B到I的距離為d,則|BF| : d=e,；|F0 ：|BF|=|BF|： d,即(2x 2)2+(2y)2=2x(2x 2),化簡(jiǎn)得 P 點(diǎn)軌跡方程為 y2=x 1(x 1). 設(shè)Q(x,y),則|MQ|= . (x -m)2 y2=

15、J(x _m)2 +x_(m_1)2 +m_* (x a1)(i )當(dāng) m - 1,即m -時(shí)，函數(shù)t=x (m - ) +m 在x=m -處有2 2242最小值m 5,4I |MQ|min= Jm -【題型六】：參數(shù)法2【例7】.已知橢圓y2 =1.求斜率k = 2時(shí)的平行弦中點(diǎn)的軌跡；【思路點(diǎn)撥】弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是受兩端點(diǎn)坐標(biāo)影響，因此設(shè)直線方程聯(lián)立先表 示出兩端點(diǎn)坐標(biāo).【解析】設(shè)直線為y =x b，貝U 222 y = 9x2 8bx 2b2 - 2 = 0y = 2x b根據(jù)判別式解得-3 ： b ： 3.又設(shè)弦的端點(diǎn)分別為M(xyj, Ng,祠，中點(diǎn)P(x, y)x! x2 4by1 y

16、2b則x二h 2，所以y二 2 ：2929所以y _ _x又b : 3 且 x 少，所以- -:：:x ：-933故平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是y - - X （ x ：.）433軌跡為一條線段【總結(jié)升華】1.將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然后再消掉這些 量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系。2在處理涉及直線和二次曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題時(shí)，直線的斜率是常用的參數(shù)，即“參數(shù)”此時(shí)要考慮直線的斜率不存在這一特殊情況； 處理涉及直線和二次曲線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)， 一般設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，但不求交點(diǎn)坐 標(biāo)，而是用韋達(dá)定理作整體運(yùn)算（把 X1+X2或X1X2看作一個(gè)整體），即所謂 設(shè)而 不求” 處理涉及直線和二次曲線交

17、點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，要注意相交條件（ 0）.3參數(shù)的選擇多種多樣，應(yīng)視具體情況而定.常見(jiàn)的參數(shù)有k參數(shù)、點(diǎn)參數(shù), 也可以選有幾何意義的量如角參數(shù)、參數(shù) a,b,c等（在物理學(xué)中，研究物體的運(yùn)動(dòng) 軌跡時(shí)，還可以選擇時(shí)間作參數(shù)，如平拋物體的軌跡等都是利用參數(shù)求軌跡的實(shí) 例），恰當(dāng)選擇參數(shù)，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。 解題時(shí)應(yīng)先對(duì)動(dòng)點(diǎn)的形成過(guò)程進(jìn)行分析， 確定參數(shù)，探求幾何關(guān)系，建立 參數(shù)方程。 處理涉及直線和二次曲線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)， 重視 設(shè)點(diǎn)不求”用韋達(dá)定理進(jìn)行 整體運(yùn)算的方法和策略。 對(duì)參數(shù)方程化簡(jiǎn)以后，要重視檢驗(yàn)工作，確定變量的范圍?！咀兪接?xùn)練】：【變式1】設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2=4px（p0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)

18、點(diǎn)，已 知OA丄OB，OM丄AB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線?！窘馕觥拷夥ㄒ唬涸O(shè) A(xi,yi),B(x2,y2),M(x,y) (x工0 直線AB的方程為x=my+a由 OM 丄 AB，得 m= 1x由 y =4px 及 x=my+a，消去 x,得 y 4pmy4pa=0所以 yiy2= 4pa, xix2= （ 2 a2（4p）所以，由 OA 丄 OB，得 X1X2 = yiy2所以 a2 = 4 pa= a = 4p故 x=my+4p,用 m=代入，得 x2+y2 4px=0（x 工 0）x故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2 4px=0（x工0）它表示以（2p,0）為圓心，以2p 為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。解法二：設(shè)0A的方程為y = kx，代入y2=4px得A（，卻）k k則0B的方程為y -，代入y2=4px得B（2pk2,-2pk）kk AB 的方程為 y J（x-2p），過(guò)定點(diǎn) N（2p,0），1 -k由OM丄AB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（0點(diǎn)除外）故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方