阻尼振動的探究

1、阻尼振動的探究摘要：以彈簧振子的阻尼振動及RLC電路的阻尼振蕩為例，探究了阻尼振動。同時，以這兩個阻尼振動系統(tǒng)為例分析了阻尼振動衰減時的特點。關(guān)鍵詞：阻尼振動 阻尼系數(shù) 衰減Research on damped vibrationHuangyihangAbstract: This article researches into damped vibration by the example of spring oscillators damped vibration and the example of RLCs damped vibration. At the same time, this

2、 article researches the points of damped vibrations attenuation by the two examples.Keyword: damped vibration damping coefficient attenuation 簡諧運動又叫做無阻尼自由振動。但實際上，任何的振動系統(tǒng)都是會受到阻力作用的，這種實際振動系統(tǒng)的振動叫做阻尼振動。在阻尼系統(tǒng)中，振動系統(tǒng)要不斷地克服阻力做功，所以它的能量將不斷地減少。一定時間后回到平衡位置。彈簧振子在有阻力情況下的振動就是阻尼振動。分析安置在一個水平光滑表面的彈簧振子。取彈簧處于自然長度時的平衡位置

3、為坐標(biāo)原點。忽略空氣等阻力，則彈簧振子只受到彈簧的彈力作用。即F=-kx由牛頓第二定律，可得m2xt2=-kx 2xt2+kmx=0此微分方程的通解為x=Acosk2m2t+給定初始值，彈簧在t=0時，x=x0，dxdt=0,則此微分方程的解為x=x0cos(k2m2t)彈簧振子在初始時刻，被拉離坐標(biāo)原點x0距離，即彈簧被拉長x0(x00)。而后，彈簧由于彈簧拉力作用而返回原點，很容易就可以想到彈簧將作往復(fù)運動。如方程所描述彈簧作簡諧振動。如果考慮彈簧振子運動時的阻力，情況將如何呢？由實驗，可知運動物體的速度不太大時，介質(zhì)對物體的阻力與速度成正比。又阻力總與速度方向相反，所以阻力與速度有如下關(guān)

4、系：fr=-v=-xt為正比例常數(shù)。則此時，上面所列彈簧振子的運動方程應(yīng)為：m2xt2=-kx-xt考慮此方程，令 02=km 2=m?？芍猳即為彈簧振子在無阻力振動時的角頻率，稱為阻尼系數(shù)，如此可得：x2t2+2xt+02x=0此微分方程通解為：xt=Ae-+2-w02t+Be-2-02tA,B由彈簧振子的初始值，即t=0時的x，dxdt值決定。由上通解無法直觀看出彈簧振子的實際運動景象如何。下面以與o的大小關(guān)系分為三種情況考慮。o時，微分方程的解為xt=(Ae2-w02t+Be-2-02t)e-tA,B值由彈簧振子的初始值決定。其位移時間圖像大致如下：為阻尼系數(shù)，當(dāng)o稱為過阻尼。由欠阻尼和

5、過阻尼的圖像比較，同時觀察過阻尼情況下的彈簧振子運動方程可知。臨界阻尼時衰減最快，阻尼系數(shù)越大時，衰減越慢。下面考慮另一阻尼振動例子。LC振蕩電路中，加入電阻，即LCR電路的振蕩是阻尼振蕩電路。因此LCR電路的振蕩也是一個阻尼振動的例子。分析此電路，電路中電流為：i=-cuct則電阻上電壓為：uR=-cRuCt電感上電壓為：uL=-Lcuc2t2由KVL得：2uct2+RLuct+1Lcuc=0令2=RL02=1LC，可得到：2ucdt2+2uct+02uc=0觀察可知此式子與有阻力的彈簧振子的振動方程，具有完全一樣的形式。故可知其中電容上的電壓也有欠阻尼振動，過阻尼振動與臨界阻尼振動?？紤]一

6、實際例子。電路中參數(shù)如下：電容上初始電壓為10V，電路中電流初始為0，電阻與電感上都無初始電壓值。電阻分別取600歐姆，2000歐姆，4000歐姆，8000歐姆。電容為1F，電感為1H。計算可得1LC為。因此，當(dāng)電阻為600歐姆時，為欠阻尼；2000歐姆時為臨界阻尼；4000及8000時為過阻尼。四種電阻情況，亦即四種阻尼系數(shù)情況下，RLC電路中電容上電壓的變化有四個不同的函數(shù)。在一個圖中做出四種情況下電壓隨時間的變化圖像如下：R，600時，U=(0.00524)(300-953.93)(-300-953.93)t-(300+953.93)(-300+953.93)t)R, 2000時，U=1

7、0-1000t(1+1000t)R,4000時，U=-0.00289(267.95-3732.05t-3732.05-267.95t)R,8000時，U=-0.00129(127.02-7872.98t-7872.98-127.02t)由RLC振蕩電路的阻尼振動的圖像中也可看出，在非欠阻尼的情況下，阻尼系數(shù)越大時，衰減越慢。由彈簧振子及RLC電路兩個阻尼振動的例子可以看出，當(dāng)兩個振動系統(tǒng)的初始值如下：U或X在t=0時刻是有一正值，而t=0時刻，兩者的一階導(dǎo)數(shù)為0阻尼振動的衰減，是阻尼系數(shù)越大衰減越慢。這似乎不合情理，應(yīng)該是阻尼系數(shù)越大，振動時阻力越大，系統(tǒng)對外做功的功率越大，則衰減越慢。但從圖

8、像中可以看出，實際情況是阻尼系數(shù)越大，衰減越慢。因此，實際阻尼振動系統(tǒng)的衰減不能如上簡單的分析。上面的彈簧振子的阻尼振動例子中圖像所反映的衰減是初始值為振子有一定位移，而速度為0的阻尼振動的衰減。分析在這種情況下的彈簧振子的運動情況，從0時刻起，由于彈簧彈力作用，振子有了加速度，速度開始從0增加，從能量轉(zhuǎn)換的角度看是勢能在轉(zhuǎn)換為動能。但由于是阻尼振動，彈簧在運動中隨速度的增加，阻力也變大，彈簧克服阻力做功，在此過程中有動能損失掉了。即由于阻力的影響，由勢能轉(zhuǎn)換來的動能漸漸損失了。在不同的阻尼系數(shù)情況下，由下式m2xt2=-kx-xt可看出阻尼系數(shù)越小，振子的加速度就會越大，速度越大，振子的位移

9、減小的就會越快，反映在圖像上就是曲線更快的靠近x軸。也就是說，阻尼系數(shù)越小彈簧振子的勢能轉(zhuǎn)換為動能就越快。而由微分方程的解可看出當(dāng)阻尼系數(shù)大于等于臨界阻尼時，彈簧振子的勢能就是一直減小到0。而阻尼振動的能量損失是動能的損失，而動能越大時能量損失的速度也越快。因此，對于初始能量一樣的振動系統(tǒng)，當(dāng)勢能轉(zhuǎn)換為動能越快時，動能的值就越大，能量損失的速度就越快。因此，阻尼系數(shù)越大，衰減反而越慢了。而上述RLC電路例子中，阻尼系數(shù)大也就是電阻越大。初始時電流為0，電容上有一初始電壓。然后，電流開始從0增大。RLC電路中能量的損失，就是電流對電阻做功引起的能量損失。由PR=I2R可知，電流變大對功率變大的做

10、到貢獻(xiàn)比電阻變大對功率變大做的貢獻(xiàn)要大的多，即電流大時能量損失快。而在電容電感不變，只有電阻變大的情況下。電流變大的速率明顯慢了下來，電流比較小。從而能量損失也就變慢了。振蕩的衰減也就慢很多。而阻尼系數(shù)較小，即電阻值較小時，電流變化較快，電流較阻尼系數(shù)大時的電流大，從而能量損失變快，衰減變快。同時，可以觀察在初始值為如下情況時的振動圖像：U或X在t=0時刻為0，而t=0時刻，兩者的一階導(dǎo)數(shù)為一值以上述RLC電路為例，取初始時，電容上電壓為0，電路中電流為10。則不同電阻情況下圖像如下。電阻為4000及8000歐姆時的過阻尼情況下：其中8000歐姆時為峰值較小的曲線。從0到峰值時，電流從初值減小為0，電容上電壓從0到峰值。可以看出，阻值大時，最后的電壓峰值較小，即能量損失大。而這是因為兩情況下，初始時電流為一定值，而電流大時能量損失大一些，阻值大時，電流變化慢些，電