橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型

1、橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型題型分析 高考展望橢圓問題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多分析歷年的高考試題，在填空題、解答題中都涉及到橢圓的題，所以我們對(duì)橢圓知識(shí)必須系統(tǒng)的掌握對(duì)各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解?？碱}型精析點(diǎn)評(píng)熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題、最值問題，利用 a、b、c之間的關(guān)系和橢圓的對(duì)稱性可構(gòu)造方程變式訓(xùn)練1 (2014課標(biāo)全國(guó)I )已知點(diǎn)A(0, 2)，橢圓E: X2+七=1(ab0)的離心率為石3a b2F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線 AF的斜率為 晉,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求E的方程；設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線I與E

2、相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求I的方程題型二 直線與橢圓相交問題例2(2015山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C: a2 + p= 1(a b 0)的離心率為.32，左，右焦點(diǎn)分別是 Fi, F2 以Fi為圓心、以3為半徑的圓與以 F2為圓心、以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓 C上.(1) 求橢圓C的方程；2 2(2) 設(shè)橢圓E ： 4+ -2= 1, P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y= kx+ m交橢圓E于A,4a 4bB兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(i )求OP的值；(ii )求厶ABQ面積的最大值.點(diǎn)評(píng)解決直線與橢圓相交問題的一般思路：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立

3、，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決.求范圍或最值問題，也可考慮求“交點(diǎn)”，由“交點(diǎn)”在橢圓內(nèi)(外)，得出不等式，解不等式.變式訓(xùn)練2 (2014四川)已知橢圓C:羊+ = 1 (ab0)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與 長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形 .(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x= 3上任意一點(diǎn)，過 F作TF的垂線交橢圓 C于點(diǎn) P, Q.證明OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；當(dāng)PQ最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).題型三 利用“點(diǎn)差法，設(shè)而不求思想”解題x2已知橢圓-+ y2= 1，求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程點(diǎn)評(píng) 當(dāng)涉及平行弦的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)的弦

4、的中點(diǎn)軌跡，過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程時(shí)，用“點(diǎn)差法”來求解變式訓(xùn)練3(2015揚(yáng)州模擬)已知橢圓密+ y2= 1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率a b5直線l交橢圓于M , N兩點(diǎn).(1)若直線I的方程為y= x 4，求弦MN的長(zhǎng).如果 BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線I方程的一般式.高考題型精練11. (2015課標(biāo)全國(guó)I改編)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為-,E的右焦點(diǎn)與拋物線 C:y2= 8x的焦點(diǎn)重合，A, B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，貝U AB=.2 22. (2014大綱全國(guó)改編)已知橢圓C:字+ y = 1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2

5、,離心率為普，過F2的直線I交C于A、B兩點(diǎn)若厶AF1B的周長(zhǎng)為 W3，則C的方程為 .x23. (2014福建改編)設(shè)P, Q分別為圓x2+ (y 6)2= 2和橢圓為+ y2 = 1上的點(diǎn)，貝V P, Q兩點(diǎn)間的最大距離是.4若橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)F1, F2,離心率分別為e1, e2, P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿足PF1丄PF2，則古+言的值為2 2 5橢圓C: x2+ y2= 1 (ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1, F2, M為橢圓上一點(diǎn)，且 MF1 MF2的最大值a b的取值范圍是凸2工,其中c是橢圓的半焦距，則橢圓的離心率取值范圍是 X2 V26.(2014遼寧)已知橢圓C :+

6、 ； = 1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合 若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 分別為A, B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則AN+ BN =1x2 y27.(2014江西)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C :孑+話=1(ab0)相交于A，B兩點(diǎn), 若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓 C的離心率等于y28.(2014安徽)設(shè)F1, F2分別是橢圓E: x2+立=1(0bb0)的左，右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0, b),連接BF?并b延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連結(jié)FC (1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，3，且BF2= 2，求橢圓的方程;若FiC丄AB,求橢圓離心率 e的值.2210.(2015重慶)如

7、圖，橢圓 字+岸=1(ab0)的左，右焦點(diǎn)分別為F2,過F2的直線交橢圓于 P、Q兩點(diǎn)，且PQ丄PF1.(1)若PFi = 2 + 2, PF2= 2 .2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若PFi= PQ,求橢圓的離心率 e.11.(2015陜西)已知橢圓E: 務(wù)*= 1(ab0)的半焦距為a bc,原點(diǎn)0到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0), (0,若橢圓E經(jīng)過1b)的直線的距離為2c.(1)求橢圓E的離心率；5如圖，AB是圓M : (x+ 2)2+ (y 1)2= 2的一條直徑,A, B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程.x212.(2015泰州模擬)已知橢圓G:孑+= 1(ab0)的離心率為,右焦點(diǎn)為(2,2, 0).斜率為P(

8、 - 3,2).1的直線I與橢圓G交于A, B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為(1) 求橢圓G的方程；(2) 求厶FAB的面積.答案精析第29練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型常考題型典例剖析例1解 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(Xo, yo).由題意知a= 2,e= c =丄，c= 1,b2 = a2 c2= 3.a 22 2所求橢圓方程為t + y = i.43. 2 Xo 2，3 yoo，即 k23時(shí)，x1,2=4k2+ 18k24k2 3又點(diǎn)O到直線PQ的距離d = 214 九 / 4 k2 3所以 OPQ 的面積 SaOPQ = 1 d PQ= 4r2+ 1 .設(shè)空/4k2 3 = t,貝V t

9、0, Sopqt2 + 44t 丄4.t+ t因?yàn)閠+ I4，當(dāng)且僅當(dāng)t = 2, 即k= #時(shí)等號(hào)成立， 且滿足少0,所以，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)l的方程為ypx 2或y= #x 2.例2解 (1)由題意知2a= 4,則 a= 2,又：=于,a2-c2= b2,可得b= 1所以橢圓C的方程為x + y2= 1. 由(1)知橢圓E的方程為16 +彳=1.(i )設(shè)P(xo, yo), OQ =入由題意知 Q(入x,入y).x2因?yàn)?X+ y2= 1,Xx 2 ,入y22又!？+=1，即 X7+y0 =1,所以L 2,即OQ = 2.(丘)設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2).將y= k

10、x+ m代入橢圓E的方程,可得(1 + 4k2)x2 + 8kmx+ 4m2 16= 0,由 0,可得 m2v 4 + 16k2,8km4m216則有 x1 + x2=市,x1x2=.所以 |X1 x2|= J16 J 亦.11 + 4 k2因?yàn)橹本€y= kx+ m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, m),1所以 OAB 的面積 S= 2|m|x1 x2|2(16k2+ 4 m2|m|_2p 16k2+ 4 m2 m21 + 4 k21 + 4 k2=24 1 + 4k2 1 + 4k2.m2m2將y= kx+ m代入橢圓C的方程,可得(1 + 4k2)x2 + 8kmx+ 4m2 4 = 0,由0,可

11、得m2w 1 + 4k2.由可知0v tw 1,因此 S= 2j 4 t t= 2、-J t2 + 4t,故 SW 2 3,當(dāng)且僅當(dāng)t= 1,即m2= 1 + 4k2時(shí)取得最大值2 , 3.由(i )知， ABQ面積為3S,所以 ABQ面積的最大值為 6.3./a2 + b2 = 2b,變式訓(xùn)練2(1)解 由已知可得2c= 22 b2 = 4,解得 a2= 6, b2 = 2,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程是 軍+y = 1.6 2證明由(1)可得F的坐標(biāo)是(2,0),設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3, m),則直線TF的斜率kTF =0 = m.3 2所以 yi+y2=m，yiy2=m3，12xi十 X2= m（

12、yi十 y2） 4=2十 36 2mm十3所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為, 亍). m2 + 3 m2+ 3所以直線om的斜率koM = m.又直線OT的斜率koT= m,3所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.解 由可得TF = m2+ 1 ,PQ =空；xi X2 2 + yi y2 2=m2 + 1 yi+ y2 2 4yiy224 m2 十 1m2+ 3yi y2 xi + X2xi X22 yi+ y2將yl二也=2代入式, 得所求的軌跡方程為 x+ 4y= 0( 2x0)，與橢圓方程 侖+ y2= 1聯(lián)立得方程組，消掉 x2得 9y2+ 12y+ r2 46= 0.令= 122 4

13、 X 9(r2 46)= 0,解得 r2= 50,即 r = 5 2.由題意易知P, Q兩點(diǎn)間的最大距離為r + 2 = 6 2.4.2解析由題意設(shè)焦距為2c,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為 2m,不妨令P在雙曲線的右支上由雙曲線的定義知|PFi|PF2|= 2m,由橢圓的定義知|PF11+ |PF2|= 2a,又 PF1 丄PF2,F1PF2= 90 |PF1|2+ |PF2|2= 4c2,式的平方加上式的平方得|PF1|2+ |PF2|2= 2a2+ 2m2,由得a2+ m2= 2c2，即呼=2,y0= x2 c2 + b2 1 x2ra5.解析 設(shè) M(x0, y0)，則 MF1=

14、 ( c X0, y0), MF2= (c X0, y0) , /. MF 1 MF 2= x0 c2 +b2c21 2 x2 c2 + b2= 2x0 c2 + b2. vx a, a, 當(dāng) x0= 時(shí)，aal ，”MF1 MF2有最大值b2, c2 b2 2c2, c2 a22c2, 2c2 a2PF2得 xo 0,從而PF?=也衛(wèi) + c2+ g.c=2(a2-b2) + 2a . a2 2b2= (a + a2- 2b2)2.由橢圓的定義， PF1+ PF2= 2a, QF1+ QF2= 2a，從而由 PF1= PQ = PF2+ QF2，有 QF1= 4a2PF1.又由 PF1 丄

15、PQ, PF1 = PQ，知 QF1= . 2PF1 , 因此，(2 +. 2)PF1= 4a,即(2 + (a+ a2 2b2)= 4a,于是(2 + ,2)(1 + ,2e2- 1)= 4，解得e= =艮逅方法二 如圖，由橢圓的定義，得PF1+ PF2 = 2a,QF1+ QF2= 2a.從而由 PF1= PQ= PF2+ QF2,有 QF1 = 4a 2PF1.又由 PF1 丄 PQ, PF1 = PQ，知 QF1= .2PF1 ,因此，4a 2PF1= 2PF1,得 PF1= 2(2 2)a, 從而 PF2= 2a- PF1= 2a-2(2 . 2)a= 2( 2 1)a. 由 PFP

16、F2, 知 PF2+ PF2= F1F2= (2c)2，因此ce=a=寸 PF2+ PF2_2a=.2 2 2+ 2 1 2=9 6 ., 2= 6 3.11解 (1)過點(diǎn)(c,0), (0, b)的直線方程為 bx+ cy bc= 0,則原點(diǎn)O到該直線的距離d = 2 + c2 - a， 由d= 2-c，得 a = 2b = 2 a2 c2,解得離心率 許甲.be bc方法一 由知，橢圓E的方程為x2 + 4y2= 4b2.依題意，圓心 M( 2,1)是線段AB的中點(diǎn)，且 AB =10.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y= k(x+ 2) + 1,代入得(1 + 4k2)x2+ 8k(2k

17、+ 1)x+ 4(2k+ 1)2 4b2= 0,設(shè) A(X1, y1) , B(X2, y2)，貝U X1+ X2= 8k 2k+ 11 + 4 k2 ,4 2k+ 1 2 4b2X1X2=1 + 4k2,丄8k2k+ 1由 X1 + X2= 4，得一1 + 4k2 = 4,1解得k=$從而 X1X2= 8 2b2.是AB =+ 1 2X1 X2|=倉(cāng) X1 + X2 因此直線AB的方程為y= 2(x + 2) + 1, 4x1X2= J10 b2- 2 , 由 AB = , 10,得 10 b2 2 = ,10,解得 b2= 3, 故橢圓E的方程為f2+ = 1.方法二由(1)知，橢圓E的方程為x2 + 4y2= 4b2,依題意，點(diǎn) A, B 關(guān)于圓心 M( 2,1)對(duì)稱，且 AB= 10,設(shè) A(X1, y1), B(x2, y2)，則 x1+ 4y? =4b2, x2 + 4y2= 4b2，兩式相減并結(jié)合 X1 + x2= 4, y1 + y2= 2,得一4(X1 x2) + 8(y1 y2)= 0,易知AB與x軸不垂直，則X1工x2,所以AB的斜率kAB= y12 =,X1 X22代入得 x2 + 4x+ 8 2b2 = 0,所以 xi + x2= 4, xix2