北京市東城區(qū)2016屆高三數學一模試卷理科含解析

1、2016年北京市東城區(qū)高考數學一模試卷（理科）8540分在每小題列岀的四個選項中，選岀符合題目一、本大題共分，共小題，每小題要求的一項.lilaia ?）（的值為（+ 已知復數）為純虛數，那么實數A1 B0 C1 D2.- 25x0AB=BB=xxa 2A=xxa Q） | -的取值范圍是（集合v，則 | ,(，已1002x0cx=1c知函數（-）| 關于）的不等式（-）的解集為（ 其中（ +,的取值范圍是），為常數當時，oo_806分解答應寫岀文字說明，演算步驟或證明過程小題，共c 的值是時，；當三、解答題：本大題共AB的長度；（I）求. 與直線（I 中，/, , 11111EFCCBC 的

2、（皿）戈15ABCAC=2 .，且，在中，x2xCy=ffx=sin相鄰交點間的最小距離.+ （H ）若）（，求）ABCABCBAC=9016AAABCAA=1AC=2 ,丄底面-，已知三棱柱.中點.、分別為棱1 ACAB ;丄（1 ）求證1EFAB 所成的角；（H）求直線與1GAAAEFGHHAA174名選手進行羽毛球的男單、女單、男女混合雙打（混雙）比現有兩個班級，每班各岀賽（注： 每名選手打只打一場比賽）根據以往的比賽經驗，各項目平均完成比賽所需時間如表所示，現只有一塊比賽場地，各場比賽的出場順序等可能.比賽項目男單女單混雙平均比賽時間25分鐘20分鐘35分鐘（I）求按女單、混雙、男單的

3、順序進行比賽的概率；（H）求第三場比賽平均需要等待多久才能開始進行；（皿）若要使所有參加比賽的人等待的總時間最少，應該怎樣安排比賽順序（寫岀結論即可）.xx1ax=aeR 18f.）,（.設函數 a=1fx ）的單調區(qū)間；時，求（I）當xOfxOa4蘭a的取值范圍；，+ ）時，恒成立，求“）當（，: xOln o ）時，（皿）求證:當（, +2=2pxp0FO19CyABx軸）過點為坐標原點，直線. 已知拋物線）：，焦點（不垂直（， FCABOAOBp 兩點，直線，的斜率之積為-且與拋物線交于與C的方程；（I）求拋物線-2HOMMABOMCD 的中點，射線于點（H）若交拋物線為線段，求證：m-

4、 1VCm）= I - a 訂遼120amm1a滿.定義：數列） 中，給定正整數，（ .數列nnaai=12m1am項單調不增.，的前足），若數列 nnn2Vmmm（寫出答案即可）前項和，求（）的最大值與最小值.2016年北京市東城區(qū)高考數學一模試卷（理科）參考答案與試題解析8540分.在每小題列岀的四個選項中，選岀符合題目小題，每小題一、本大題共分，共要求的一項.1i1aia ?） +.已知復數的值為（）為純虛數，那么實數（A1 B0 C1 D2 .-.復數代數形式的乘除運算.【考點】0a的值.【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡， 然后由實部為求得i1ai=ai ?為純虛數，-（解：

5、v） +【解答】a=0a=0 . / -，即B .故選：25x0AB=Ba xxaB=xxA=2 A） ,，若 | 的取值范圍是（集合 v |，貝U Aa5 Ba4 Ca5 Da4.集合的包含關系判斷及應用.【考點】2 5x0B=0x5 ，再利用集合的運算性質即可得岀，可得【分析】由，（-）v 25x00xx5 ,【解答】解：由，解得v-vv B=05 ,（）,AB=Ba5aa5 .的取值范圍是則A .故選：3150459015人.現采用人，中級職稱.某單位共有職工人， 初級職稱名，其中高級職稱30 ）的 樣本，則各職稱人數分別為（分層抽樣方法從中抽取容量為A9183 B10155 C1017

6、3 D9165分層抽樣方法.【考點】 根據分層抽樣的定義建立30的樣本，【解答】 解：用分層抽樣方法J0I15150=1830，中級職稱人數為x 150比例關系，即可求岀各職稱分別抽取的人數.【分析】45抽取容量為150 =9 30，則樣本中的高級職稱人數為x30=3 .初級職稱人數為X A .故選：1 r【解答】解：直線22=ix y=1 p.曲線+即L=2=1cos=2 =sin=1 pp4S ） 值為（.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸岀的.B1 C2 DA4.程序框圖.【考點】S的值，由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸岀變量 【分析】模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變

7、量值的變化情況，可得答案.I）S=k=1k=0，【解答】 解：當，時，滿足進行循環(huán)的條件，故一 S=k=2k=1 ，當時，滿足進行循環(huán)的條件，故，k=2S=1k=3 ，當，時，滿足進行循環(huán)的條件，故k=3S=2k=4 ，當，時，滿足進行循環(huán)的條件，故 k=4時，不滿足進行循環(huán)的條件，當 S2，值為故輸岀的 C故選：V2 15sincos=仁1 pOOpp）-被曲線 截得的線段長為（.在極坐標系中，直線二 二二D1CA B .簡單曲線的極坐標方程. 【考點】00dsin Op.即可得岀直線，【分析】 分別得岀直角坐標方程，求岀圓心（）到直線的距離 =2 =1=1cos ppO.-截得的線段長被曲

8、線sincos=1xy1=0 OppO.- + -化為直角坐標方程:d=0 0 .）到直線的距離圓心（，pOO截得的線段長被曲線直線.-D .故選:6 ） 一個幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的最長棱長為(側（左視區(qū)C .故選:壓2V2C3A2DB 由三視圖求面積、體積. 【考點】ABCDPABCD為直角梯形，側棱，其中底面由三視 圖可知：該幾何體為四棱錐-【分析】 ABCDPB 即可得岀丄底面 ABCDABCDP為直角梯形，其中底面-【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體為四棱錐PBABCD 丄底面?zhèn)壤鈏222V2 +2 +1 PD=3PD .最長的棱為,7P52F60F60FFP的橢圓的

9、，、）、（-）那么以，為焦點且過點）、.已知三點（2121 ） 短軸長為（A3 B6 C9 D12橢圓的簡單性質.【考點】=1c=62a=PFPFabO ），設橢圓的標準方程為：+ , | （ |+| ，可得:【分析】2 2可得b，a2=1ab0 ,) 解：設橢圓的標準方程為:【解答=6PFc=62a=PF=，解得,II可a=3 .斶屮-護姑-興=3=b= 6 .橢圓的短軸長為 B .故選:80,的起點均為坐標原點與，為平面上的單位向量，與已知=DP入卩組成，其中+夾角為.平面區(qū)域的點由所有滿足E E 21 2211 21:4- A 10,又 + , +w DF =xy ,設)(2 三=xy入

10、卩卩+）,），貝9（ZF3 y ；解得 001 小小，w +,Qo，二 它表示的平面區(qū)域如圖所示:影=0B1A0 ;，12 S=D=1的面積為所以陰影部分區(qū)域.xxD .故選:3056 分.開式中，.小題，每小題二、填空題：本大題共分，共的系數值為在 二項式系數的性質.【考點】320 x9 （用數字作答）的展利用二項式定理展開式的通項公式即可得岀.【分析】”4彈） 4 5 3r52rr55=2=x2xT .）（解答】解：r+1 r=12r=35 .1解得令5 33 =20xT=x . 420 .故答案為：10aa=2aa=32a128 ?.已知等比數列 中，那么， 的值為8234 等比數列的通

11、項公式.【考點】 禾U用等比數列的通項公式即可得岀.【分析】aq , 的公比為【解答】解：設等比2 數列 na=2aa=32 ?,v, 423：=32 aq=2 , 1 q=2a=1 .,解得 17 =128=2a .那么 8 128.故答案為：7T11O1ABCAOOC的延，作圓，的切線與如圖，圓的半徑為是圓周上的三點，過點， _CP=ACCOA=AP=P .長線交于點，若；，則/COA=OA=1AP OAC .,可求是等邊三角形，得到/,利用P=CAP , / OACAOP=PCAP ,ZZ + / OACAOP=,/ AC=OC , OA=OC , OAC是等邊三角形，二COA=，/ O

12、A=1AP= -忑，故答案為:sin212 a 則若，且 25.的值為二倍角的正弦.【考點】=COssin aa,兩邊平方，利用【分析】利用已知及兩角差的正弦與圓有關的比例線段.【考點】一；【分析】證明 OAAP 【解答】解：由題意，丄CP=AC , v3V2Lrsincos=0 aa, .= si n21 a 兩邊平方可得：，二sin2 a的值二倍角公式即可解得Sin=COS aa,【解答】解：）=si n2並hl 2函數公式可得-a.A. -故答案為:13每件貨物的體積、重量、可獲利潤以及運輸限制如表：.某貨運員擬運送甲、乙兩種貨物,貨物/體積（升件）/件）重量（公斤/件）利潤（元甲201

13、08乙102010運輸限制11010062 在最合理的安排下，獲得的最大利潤的值為簡單線性規(guī)劃.【考點】xyz，建立約束條件和目標函數，利用線性規(guī)劃的知識件，乙件，利潤2K+yll10 為【分析】運送甲 進行求解即可.xyz，【解答】解：設運送甲件，利潤為件，乙yEN20K+10y110LOK+2Qy)1121毅=11x=l nxfx=0 代入，結果斜率公式分類討論，）（，進而將），和（ o可得答案.fx=l nx ，解:函數I (I )1【解答】 玄 1 fx=1fx=lnxOx TO，）， （當）（時，)(空01x1fx=l nxfx =，（時，（）（，當）x=1fxfxcxxfxf1cx

14、1 ）當）可化為:（時，（）-)() (-f(nf（K）-f(l)000工 1clcflcxOxlfx，則 U當)X-X-1丄丄丄1 f1cx1ccx1fx ,（,則）（時，（）可化為：）-當 Oc11 ；故， 2 1 2）-）可化為:化為：V時，（）xxxfxfccxf=xfx）（當（時，）)當V (1V）時，（-（時，（）可化為：c1，則w c=2，-故112 ,，故答案為:可化為：（當V） （） 當806分解答應寫岀文字說明，演算步驟或證明過程小題，共三、解答題：本大題共2 BC=2V2 ABC15AC=2 .，且.在中，AB 的長度；（I）求.xCy=ffx=sin2x相鄰交點間的最小

15、距離.（）,求（）與直線+ （H）若 兩角和與差的余弦函數； 正弦函數的圖象.【考點cosCCAB的長度.【分析（I）利用誘導公式求得，可得的值，咋 利用余弦定理求得 fx=sin2xCxxxx 的最小值.的值，可得 +| ）,求得（H）由| （、）-（ 2121【解答解:(I) cosC=cos 兀-(A+B) = - cos (MB，C=45 AC=2，., AB=AC2+BC2- 2AC-BCcosC=(2V2)2 + 22 - V2cos4 5a=4AB=2,f(x)=sin(2或（H）由，解得kkZ , , ,或解得21生礙二氐兀+弩7124當-:當21-kZ ,時，相鄰兩交點間最小

16、的距離為所以ABCABCAABCAA=1BAC=9016A中點，分別為棱、AB AC ;丄（1）,因為k=k時取等號，AB=yi,丄底面，已知三棱柱中，求證1 ABEF所成的角；與（H）求直線1 AEFGHHAAGAA 11111 CBCAC=2EFC丸直線與平面所成的角；棱柱的結構特征【考點IACABACAAACABBAACAB;即可得岀,的射影為的中點，（皿）若為線段，求/在平面111于是丄平面，丄（【分析丄）由丄1111L J cosIIA V計算為原點建立坐標系,求岀的坐標，和（）以 ABEF所成的角；與即可得岀直線HAsinEFGHIcosA= . | /的法向量) AAABCACA

17、BC ,平面【解答】 /丄 AAAABBABAABBAAAB=A求岀（和平面，則,v 證明：（I）T ?丄底面 n, ?平面？平面又，11ABAABB ，丁平面?111ACAB丄1AAxyz ，如圖所示:I 11ACAA .丄 1BAC=90ACAB ., ,111111ACAABB .丄平面.(H)以為原點建立空間直角坐標系ECO, 2. |)100A ,貝9) (, , 1F(乎,li 0)二(吊 0- - 1)SF-EF .直線所成的角為與円山RB- EF=- * MB咋F*j1*1V22AiB * if. AB45降欝,b 4）2，), (m),GW A2y=Q01 =0.,）（忙 G

18、EFz=xy ,）的法向量為，（設平面,則n= 山帀）|沙.令，則11 I1 COS=.V111 :sincosA=HA= .| v 11 -A=HA .AAEFGAHHAAEFG 所成的角，內的射影為，/與平面位在平面174名選手進行羽毛球的男單、女單、男女混合雙打（混雙）比現有兩個班級，每班各岀賽（注： 每名選手打只打一場比賽）.根據以往的比賽經驗，各項目平均完成比賽所需時間如表所示，現只有一塊比賽場地，各場比賽的出場順序等可能.比賽項目男單女單混雙平均比賽時間25分鐘20分鐘35分鐘（I）求按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率；（H）求第三場比賽平均需要等待多久才能開始進行；（皿）若要

19、使所有參加比賽的人等待的總時間最少，應該怎樣安排比賽順序 （寫岀結論即可）.計數原理的應用.【考點】1種，（I）求岀三場比賽的種數，其中按按女單、混 雙、男單的順序進行比賽只有【分析】 根據概率公式計算即可，ABC表示混雙比賽，分別求岀按不同順序比賽表示女單比賽、（H）令表示男單比賽、時，第三場比賽等待的時間，再根據平均數的定義即可求岀，（皿）按照比賽時間從長到短的順序參加比賽，可使等待的總時間最少磧二& I）三場比賽共有種方式，其中按按女單、混雙、男單的順序進解：（【解答】E 1種，所以按女單、混雙、男單的順序進行比賽的概率為行比賽只有（H） ABC表示混雙比賽.表示女單比賽、令表示男單比賽

20、、ABCt=2025=45 .（分鐘）順序進行比賽， 第三場比賽等待的時間是：按+iACBt=2035=55 （分鐘）按+順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：2BACt=2025=45 按+順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：（分鐘）3BCAt=3525=60 .按+順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：（分鐘）4CABt=3520=55 .順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：+ （分鐘）按5CBAt=3525=60 .（分鐘）順序進行比賽，第三場比賽等待的時間是：按丹匸且上述六個事件是等可能事件，每個事件發(fā)生概率為，所以45+45 十 55+55 疋平均等待時間為6- 3，（皿）按照比

21、賽時間從長到短的順序參加比賽，可使等待的總時間最少xx1aRf18x=ae .，設函數（-）- a=1fx ）的單調區(qū)間；時，求（1）當（ xOfxOa x的取值范圍；恒成立，求）（）時， +，（）當.InxO（）時，（皿）求證:當，+利用導數求閉區(qū)間上函數的最值； 利用導數研究函數的單調性. 【考點】xlx=efxfa=1 這樣便可判斷導數符號，根據符） ，進而得到）【分析】（I）-時得岀（fx ）的單調區(qū)間；號即可得岀（己覽 0fx這樣設，恒成立得到） （H）可以由（恒成立， gxOgxIx，從）在（，+求導，根據導數符號便可判斷）v（）上單調遞減，這便可得到a的取值范圍；而便可得岀工2

22、xxxxxehxxe=e10e （，容易得到等價于-可設（皿）IfxOhxOhxhO ）,從而得到可判斷岀導數）（-） ，求導數，并根據上面的 =0，這樣即可得岀要證明的結論.xx1 x=ex1f=ea=1fx ；-）-（【解答】解：（I）當，時，則-（fx=Ox=O ；（，得）令 xOfxOfxO x）上單調遞減；（）在（-）時，（，二當，v xOfxOhxO x）上單調遞增；（）在（）+當，時，（a=1fxOO xx；）的單調減區(qū)間為（-，+即）時，單調贈區(qū)間為（xOe ； ）亡0fx恒成立；） （恒成立，等價于e/ （二七0x x；），設，+（ xOgxO x；）時，+當）v（ （，gx

23、0 x）上單調遞減；（,）在（+ xOgxgO=1 x；（），+ （）時，）（ a1 ； a1 x； ）， + 的取值范圍為J xx1e OxOxex；等價于-（皿）證明：當（）時， ，+ - xx1x=ehxxex，設）()(，- +-* (x)=e2 (e2 寺-1)x 1xe0x0 x恒成立；-+）時，-由（n）知， )()()時，+ ,(x0g. , +因此當）時，（; hxO ;) ( hxO g)上單調遞增；)在(， (+xOhxhO=O2=2pxpOFOABx19Cy軸）過點，（ （不垂直已知拋物線）：，焦點為坐標原點，直線 FCABOAOBp 交于與且與拋物線，的斜率之積為-兩

24、點，直線C的方程；（I）求拋物線-2ODABOMCM 的中點，射線于點為線段交拋物線，求證：（H）若 拋物線的簡單性質.【考點】xxyABIAxyB 軸）的方程可設為（）設， （）,，直線），（不垂直（【分析】2112的斜率，由直線與與拋物線方程聯立可得:kJ 匸（以f 二Cxx=4 p利用根與系數的關系即可得岀.之積為-，即.21IIOD的方程為）利用中點坐標公式、斜率計算公式可得：直線（的方程，解岀即可得岀.，代入拋物線：線兩點，（【解答】交于xxyABxAyB軸）的方程可設為,嚴kG-號)(kO)ylOBOA可得:2=8xy CABABFCI ,過點，）解：直線且與拋物，直線設（），（不

25、垂直），（2121ry=k(x -丑）2丿已II) J,12xx=4 .，得. 21斜率之積為-L /二如由，化為2 2k2x - (+2小+ “ ：-二f，222220 pkk=2ppk (- +)其中k2pk2p2=xxx=x ，+ 2121.，pOAOB，與直線的2=8xy p=4C，拋物線 MxyPxyMAB 的中點，）（，v（n ）證明：設， （為線段，）30031 ,、 k2P+2?2(以斗2)=U t+OD 直線的斜率為 2_2(kz+2)3_得y汽（呵- 2）二碁Y|J 二 2k2ODy =8xC的方程為的方程，代入拋物線直線: - 2 k0，m 120amm1）, 中，給定正

26、整數（.數列aaai=1 , 滿足(w.定V(m)= I aiL - a i I i= 1義：數列ini+i 2m1am項單調不增.，的前，-）,稱數列 月一（ 1）（n 6 N ） a通項公式為： （I）若數列，求n 5V . （） a滿足：（H）若數列 n且廠my臥（叩1 辰川Vm=ab的充分必要條件是數，求證）（-am項單調不增.列的前nmmlaaOn=12ma的，且數列，（皿）給定正整數（ ），若數列 滿足：（，），nnn2Vm mm （寫岀答案即可）（前項和）的最大值與最小值.，求數列的應用.【考 點】a5V5，【分析】（I）由數列）（項，代入即可求得通項公式分別氣的前nIVCm）=S | a_L+l - a i i=lam的前 （n）充分性：由，數列naaaVm=ab，再證明必要性，采用反證，去掉絕對值求得項單調不增，即im2ami1im1aa，求得的前w項不是單調不增，則存在）使得（-w法，假設數列VCm)= I 灶計-a x I ii+1n=abaaaaab,+ ）|+| （ii+ii+ii Vm=abam項單調不增.的充分必要條件是數列與已知矛盾，即可證明（的前） - naa=0aVm=0m=2時的