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文檔簡介
1、最全的數(shù)列通項公式的求法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一,每年的高考題都會考察到,小題一般較易,大題一般較難。 而作為給出數(shù)列的一種形式一一通項公式,在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項 公式的常用方法。一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征,使用作差法等直接寫出通項公式。二、公式法 利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項 若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系,求數(shù)列an的通項an可用公式an S 1求解.Sn Smn 2(注意:求完后一定要考慮合并通項 )例2.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn 2an ( 1)n,n 1 求數(shù)列a.的通項公式.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn n2 n 1,求數(shù)列an的
2、通項公式. 已知等比數(shù)列an的首項a11,公比0 q 1,設(shè)數(shù)列bn的通項為bnan 1an 2,求數(shù)列 bn的通項公式。解析:由題意,bn 1 an 2 an 3,又a.是等比數(shù)列,公比為qbn 1bnq,故數(shù)列bn是等比數(shù)列,b1 a2 a3 ag agq(q 1),an 1an 2二bnq(q 1) qn1 qn(q 1)三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項,我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律,歸納猜想 出數(shù)列的通項公式,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律,然后正面證明四、累加(乘)法對于形如an1 anf(n)型或形如amf(n)an型的數(shù)列,我們可以根據(jù)遞推公式,寫
3、出n取1到n時的所有的遞推關(guān)系式,然后將它們分別相加(或相乘)即可得到通項公式 例4.若在數(shù)列an中,印 3, a* 1 an n,求通項an。例5. 在數(shù)列an中,a1 1, an 1 2nan (n N ),求通項an。五、取倒(對)數(shù)法a、an 1 pa;這種類型一般是等式 兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為 1 pa. q,再利用待定系數(shù)法求解11b、數(shù)列有形如f (an,an 1,anan 1) 0的關(guān)系,可在等式兩邊同乘以 ,先求出一,再求得an.anan 1anc、 an 1f(n)ang(n)an h(n)解法:這種類型一般是等式 兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為an 1pan q。例 6.設(shè)數(shù)列an滿
4、足 a1 2, an 1 an (n N),求 an-an 3例7設(shè)正項數(shù)列an滿足ai 1 , an 2a21 (n2).求數(shù)列a.的通項公式.解:兩邊取對數(shù)得:log;n 1 2log;n1 , log;n 1 2(log ;n 1 1),設(shè) * log;n 1 , 則bn 2bn 1bn是以2為公比的等比數(shù)列,b1 log; 1 1.bn 1 2n1 2n1 , log;n 1 2n 1 , log;n 2n 1 1 ,/ an 221 1變式:1、 已知數(shù)列 an滿足:a1 =,且 an = 3na“T( n 2, n N )22anT -|+ n 1求數(shù)列 an的通項公式;2、 若數(shù)
5、列的遞推公式為a1 3,1 2(n ),則求這個數(shù)列的通項公式。an 1an3、 已知數(shù)列an滿足a1 1,n 2時,an 1 an 2a“佃,求通項公式。4、已知數(shù)列 an滿足:an口,a1 1,求數(shù)列 an的通項公式3 an 115、若數(shù)列 an中,a1=1,an2anan 2n N,求通項a n六、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式,采用循環(huán)代入計算七、待定系數(shù)法:1、通過分解常數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a n +k的形式求解。一般地,形如a“1=pan+q(p工1,pq工0)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù) q分解法:設(shè)an 1 +k=p (a“+k)與原式比較系數(shù) 可得pk k=q,即k=J,從
6、而得等比數(shù)列an+k。p 11例9、數(shù)列a.滿足a1=1, an=-an 1+1 (n 2),求數(shù)列an的通項公式。2說明:通過對常數(shù)1的分解,進(jìn)行適當(dāng)組合,可得等比數(shù)列 an 2,從而達(dá)到解決問題 的目的。練習(xí)、1數(shù)列&滿足a1=1, 3an 1 an 7 0 ,求數(shù)列a“的通項公式。2、已知數(shù)列an滿足a1 1,且an 1 3務(wù)2,求a. 2、遞推式為am pan qn1 (p、q為常數(shù))時,可同除qn 1,得 衛(wèi)顯1,令bn *q q qq從而化歸為an 1 pan q (p、q為常數(shù))型.、例 10.已知數(shù)列 an 滿足 a1 1 , an 3n 2a. 1 (n 2),求 an 1解
7、:將an 3n 2am兩邊同除3n,得顯13n2 2bn 1 令 bn t (bn 13 32 bn 3(bn 1 3),數(shù)列3設(shè)bn才,則bn 1t 3 條件可化成2為公比的等比數(shù)列.3bn 3an bn3n 3n( 33(|)n1 3)3、形如 an 1 pan an b (p 1、0,a2a n 1亍t)bn82 n 1-(;)因 bn33n 1 n 2an 320)色13nbnbn33是以b|an2 an 13尹1t3a338為首項,解法:這種類型一般利用 待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令an1 x(n1)y P(an xn y),與已知遞推式比較,解出x,y,從而轉(zhuǎn)化為an xny是公比
8、為p的等比數(shù)列。例 11:設(shè)數(shù)列 an : a1 4,an 3an 1 2n 1, (n2),求 an.解:令 an 1 x(n 1) y3(anxn y)化簡得:an 13an 2xn2y2x 2所以2y x1解得y所以an 1(n 1) 3(an n)又因為a11an從而可得3n5,所以數(shù)列n 5 3n 1,所以 ann是以5為首項,3為公比的等比數(shù)列。n 15 3 - n4、形女口 an 1 pan解法:這種an 1 x(n 1)22an bn c(p 10,a 0)類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令2y(n 1) c卩何 xn yn c),與已知遞推式比較,解出 x,y,z.從而
9、轉(zhuǎn)化為an xnyn c是公比為p的等比數(shù)列。例12:設(shè)數(shù)列an : a14,an 3ax 2n21,( n 2),求 an.八:不動點法,形如an 1pan qran h解法:如果數(shù)列an滿足下列條件:已知a1的值且對于n N,都有an 1pa(其中p、q、ran hr、h均為常數(shù),且ph qr,r 0-),那么,可作特征方程xrpxrxq,當(dāng)特征方程有且僅hX2時,貝U旦是等比an X有一根Xo時,貝U是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個相異的根X14 Xo數(shù)列。3,求a.的通項公式.a 4例15:已知數(shù)列a.滿足性質(zhì):對于n N,ani,且ai2an 3九:換元法:類比函數(shù)的值域的求法有三角代換
10、和代數(shù)代換兩種,目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù) 列具有規(guī)律性。1 例16已知數(shù)列 an滿足an 1 一 (1 4an , 1 24an),a1 1,求數(shù)列 an的通項公式 16 * 1解:令 bn .1 24a.,則 a.(bn 1)v24故an 1124(b:1 1),代入 an 11(1 4an. 124an )得16丄(V 1241)1 4呂江1)1624bn即 4b; 1(bn 3)2因為bn124an 0,故 bn 1,1 24an 10則 2bn 1bn3,即 bn 1- bn232,可化為bn 113-(bn 3),2所以bn 3是以b 3 ,1 24s 3 .1 24 1 3 2為首
11、項,以1為公比的等比數(shù)列,因此 bn 3 2(2)n 1111(才2,則 bn (-)n 2 3,即.,1 24an(-)n 2 3,得222|(V (2)n3 421。3評注:本題解題的關(guān)鍵是通過將,1 24an的換元為bn,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化1 3bm -0 3形式,從而可知數(shù)列bn 3為等比數(shù)列,進(jìn)而求出數(shù)列bn 3的通項公式,2 2最后再求出數(shù)列an的通項公式。例18.已知數(shù)列an滿足a1 2,an1 上,求an1解析:設(shè)矽2 cos3,1 anan 1 y-,a2 cos ,a3 cos -2,an cos -622 32n 1 3總之,求數(shù)列的通項公式,就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差
12、(或等比)數(shù)列,從而利用等 差(或等比)數(shù)列的通項公式求其通項。十、雙數(shù)列解法:根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系,靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例19.已知數(shù)列an中,a11 ;數(shù)列bn 中,b10。當(dāng) n 2 時,1 an(2an 1 bn31解:因 an bn(2an131 ) , bnbn 1 )(an 131(an 132bn 1),求 an,bn.2bn 1) an所以an bn an 1 bn 1an 2bn 2? a2 b2a1b11即 an bn 1(1)1又因為 an bn -(2an 133(an所以an bn(1)n1.即 anbn由(1)、(2)得:an11bn 1
13、 ) (an1 2bn1):(an1 bn 1 )33bn1)(J)2an 2 5 2)(,佝 D)331 n 1U)31 1、n.11 (;), bn12 32(2)擴(kuò)卜一、周期型解法:由遞推式計算出前幾項,尋找周期。2an,(0 an例20:若數(shù)列a滿足an 12)2anan,若a11)6,則a20的值為變式:(2005,湖南,文,5)已知數(shù)列an滿足a10, anan3一(n1),則 a20 =A. 0B.C. 13D.2十二、分解因式法當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜,可考慮分解因式和約分化為較簡形式,再用其它方法求得an.例 21.已知 f (x) (x 1)4,g(x) r (x 1)3, (r 0,1),數(shù)列 an滿足 a2,an1 (n N )有條件(anan 1)g(n 1)f (an 1)0,求 an(n 2).解:由得:(an an1) r (an 1 F(an1 1)40即(an1 1)3r(an a)(an 11)0 對 n N ,an 1,故r(an a. J (a. 11)0合并同類項得:anr 1 an r1,再由待定系數(shù)法得:r 1an 1(an 11).rr 1 n 1 an1 () r十三、循環(huán)法數(shù)列有形如f(
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