1993真題及解析

1、1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)(1)lim sinJx 5x 3 x(2) 已知 v = f 3x2 I, f fx )=arctan x2,則 dy =.l3x+2 丿dXxq級數(shù)岬的和為n衛(wèi)2 設4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣 A*的秩為設總體X的方差為1,根據(jù)來自X的容量為100的簡單隨機樣本，測得樣本均值為5,則 X的數(shù)學期望的置信度近似等于 0.95的置信區(qū)間為二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內.

2、)(1)設f x = J右,10,x =0,(A)極限不存在(C)連續(xù)但不可導(B)(D)極限存在但不連續(xù)可導設f x為連續(xù)函數(shù)，且f x = 1lnxf t dt,則F，x等于(B)(D)f (ln x)-f 丄lx丿A與對角陣相似的()充分而非必要條件 既非充分也非必要條件n階方陣A具有n個不同的特征值是(A)充分必要條件(B)(C)必要而非充分條件(D)假設事件A和B滿足P(B A) =1,則(A) A是必然事件(B)P(B A) = 0 (D)(C) A 二 B 設隨機變量 X的密度函數(shù)為(x),且(-x) = (x). F(x)是X的分布函數(shù),則對任意實數(shù)a,有a(A) F(-a)

3、T - o (x)dx.(B)()1 aF(a)吩。(x)dxF(_a) =2F(a)_1(C) F (-a) = F (a)(D)三、(本題滿分5分)設z = f x,y是由方程z-y-x xez_yA = 0所確定的二元函數(shù)，求dz.已知lim i=4x2e，xdx,求常數(shù)a的值.a四、(本題滿分7分)五、(本題滿分9分)亠 2 1設某產品的成本函數(shù)為C = aq bq c,需求函數(shù)為q (d - p),其中C為成本，qe為需求量(即產量),p為單價，a,b,c,d,e都是正的常數(shù)，且d b,求:(1)利潤最大時的產量及最大利潤；需求對價格的彈性； 需求對價格彈性的絕對值為1時的產量.六、

4、(本題滿分8分)假設:(1)函數(shù) y = f (x)(0 乞 x ：)滿足條件 f(0)= 0 和 0乞 f(x)ex-1;(2) 平行于y軸的動直線MN與曲線y二f(x)和y =ex -1分別相交于點R和F2;(3) 曲線y = f(x),直線MN與x軸所圍封閉圖形的面積 S恒等于線段RF2的長度.求函數(shù)y = f (x)的表達式.七、(本題滿分6分)假設函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內二階可導,過點A(0, f (0)與B(1,f(1)的直線與曲線y=f(x)相交于點C(c, f (c),其中0 ： c ： 1.證明：在(0,1)內至少存在一點,使f () =0.八、(本題滿分1

5、0分)k為何值時，線性方程組i_x1x2 kx3 二 4,2 _X| kx2 X3 二 k ,J Xi - X2 2X3 = _4有惟一解，無解,有無窮多組解？在有解情況下，求出其全部解九、(本題滿分9分)設二次型f = X： x； x3 2zz x-i x2 2 : x2x3 2x-|X3經(jīng)正交變換X = PY化成f = y2 2y3 ,其中X = (xi, X2, X3)和Y = (yi, y2, y3)是三維列向量，P是3階正交矩陣.試求常數(shù):,-.十、(本題滿分8分) 設隨機變量X和Y同分布，X的概率密度為3x2,0cxc2,f(x)二 80, 其他.(1) 已知事件A-X和獨立，且P

6、AUb；=3.求常數(shù)a.41(2) 求 2的數(shù)學期望.X2十一、(本題滿分8分)假設一大型設備在任何長為t的時間內發(fā)生故障的次數(shù)Nt服從參數(shù)為t的泊松分布(1) 求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；(2) 求在設備已經(jīng)無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率Q .1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析、填空題(1)【答案】(本題共5小題，每小題3分,滿分15分.)6極限【解析】.2sinx3x2 53x5si n2=2lim2x j 5x 3xlimx 5x 3.2sinxxim網(wǎng)23x 5lim 2 洛 lim 竺 3x ：5x 3x=x Ox 5所以3x2 5 2

7、 limsin x廠 5x 3 x【答案】3x 2【解析】令g x =竺二，則有g 0=1,3x 212g x ,則 g 0 =3,3x 2由復合函數(shù)求導法則知dy dXx出二 f g 0 I ig 0 =3f -1 = 3arctan1【答案】22 -1 n3【解析】利用幾何級數(shù)求和公式 送Xn = (x 0時，Sin 2為有界變量xsin2=0,且 f 0；=0.x于是f X在X =0處連續(xù).故(A)(B)不正確.又因為 xsin $ - f 0 sin $limxlimxx - 0XTxx -0 1 . 1 lim -= sin 2不存在 x Q 、x x,所以在x = 0處不可導，所以

8、選(C).【相關知識點】函數(shù)連續(xù)定義：如果函數(shù)在X0處連續(xù)，則有l(wèi)im f (x) lim f (x)二f (x).X x0 X ，x0(2)【答案】(A)【解析】lx人X丿 x x(1)-lx丿【相關知識點】積分上限函數(shù)的求導公式：f t dt 二 f ； I x i x ；f * i x 2 i x .ddx 匕x)【答案】(B)【解析】AA有n個線性無關的特征向量由于當特征值- -2時，特征向量:-2線性無關從而知，當A有n個不同特征值時 矩陣A有n個線性無關的特征向量，那么矩陣A可以相似對角化因為當A的特征值有重根時，矩陣A仍有可能相似對角化(當特征根的代數(shù)重數(shù)等于其 幾何重數(shù)的時候)

9、,所以特征值不同僅是能相似對角化的充分條件 ，故應選(B).【答案】(D)【解析】P(B A) -1的充分必要條件是 P(AB)= 1,即p(AB)二P(A).顯然四個選項中P(A)當Au B時，AB = A，可得P(AB) = P( A) 因此Au B是P(B A) =1的充分條件因此 選(D).【答案】(B)【解析】題目即考查概率論方面的知識，在計算過程中又用到定積分的一些知識由積分的性質，換元積分，并改變積分上下限有-ax=a:F(-a)一(x)dx 二-；(t)dt =. (x)dx，-a隨機變量X的密度函數(shù)為(x)，則 J(x)dx=1,又由于(-X)二(x)，所以-O00 : :

10、1._/(x)dx= o (x)dx ，(偶函數(shù)積分的性質)-a0a:1即(x)dx(x)dx= (x)dx (x)dx -a0a2-a說-bea1 a于是 F(-a)J(x)dxa (x)dx= .0 O)dx- .0(x)dx = ?- .0 dx*故應選(B)三、(本題滿分5分)【解析】方法一：利用一階微分形式的不變性，將方程兩端微分，得dzdydx ezdx xez_y* dzdydx =0.整理后得1 xez dz=：1 xez今瘁一ez兮瘁 dx 1 xez dy.由此,得dz1 xez_y公z_y公_ez_y _x1 xedx dy方法二：應先求出函數(shù)對 x, y的偏導數(shù)，將z-

11、y-x xez0兩邊分別對x, y求偏導,zx-1zx-1 =0,Zy -1 xez八 Zy -1 =0,解之得1 x -1 ez*1 xez _y _xFZxdz = zxdx Zydy四、（本題滿分【解析】lim 字 Ta= lim 117：2a+b 2a eeb - 2aea2a由e令t,則當x：時,t 0,lim 1-x a嘰1 te,所以( lim 11x a T 2ax_2a亍exm答x a而4x e xdxa2 . 2x2 4-2 x de - -2x ea-a=2b -2a2a - 2a=2a e 2ae e2a2ea 2aea ea,得 a2 *=0,所以 a=0或 a=1.

12、五、（本題滿分9分）【解析】（1）利潤函數(shù)為e，b +2a2ea ) 2 Jac 2 da 土 _ c/X=2a e-2xe2 e-a ai x a12a-ae axdexdx4xedx=2a2ea Jim II _2b2 2L = pq _C = (d -eq)q _(aqbq c) = (d _b)q _(e a)q -c ,對q求導，并令dL =0,得亠dqdq=(d -b) _2(e a)q = 0 ,得 q 二db2(e a)因為d2Ldq2d b=-2(e a) ： 0,所以，當q時為利潤函數(shù)的極大值點2(e + a),根據(jù)題意也是利潤的最大值點，所以Lmaxmax(d-b)2 c

13、.4(e a)f(c)-f(0)c0(;)=f(1)7(c)21 -c 因為q(p)=(d-p),所以q(p)-(0,c), 2(c,1),使得,故需求對價格的彈性為二pq_eeeq eq由n =1,得q=Q.2e六、(本題滿分8分)【解析】由題設可得示意圖如右設R(x, f (x), P2(x,ex -1),則S= PP2x即o f(t)dt 二 ex -1 一 f (x) 兩端求導,得 f (x) = ex - f (x),即 f (x) f (x) = ex.由一階線性非齊次微分方程求解公式，得.p(x)dx|p (x) dxf(x) = e ( q(x)e dx C)二e ( exef

14、Xdx C) = ( exexdx C)e二 Ce 1ex.11由初始條件f(0) =0,得C .因此,所求函數(shù)為f(x)-).22【相關知識點】一階線性非齊次微分方程 p(x)y =q(x)的通解公式為：-p(x) dxp (x)dx,申二e ( q(x)e dx C),其中C為常數(shù).七、(本題滿分6分)【解析】因為f(x)分別在0,c和c,1上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在由于點C在弦AB上，故有丄上里叭里14c 01 -cf(1)- f(0)f(0),從而f ( 1)= f ( 2)= f - f(0).這表明f (x)在區(qū)間2上滿足羅爾定理的條件,于是存在：;：=(12)(0,1)

15、,使得f ( ) =0.八、(本題滿分10分)【解析】對方程組的增廣矩陣作初等行變換，第三行互換，再第二行乘以匕上加到第三行上，有2第一行和第三行互換，再第一行分別乘以 1 、 -1加到第二行和第三行上，再第二行和_ _11kA = 1k1.1-12:41-12亠 2:kT1k1:J1k-4k2402:-4k -2:8(1 k)(4 - k)2:k(k-4)t 02j-12:-4 1j-12-4 0k -13:k2 -4T02k-28【2k 2*:8 一0k 13k2 - 4 一(1)當k = -1且k = 4時，r(A) =r(A) = 3,方程組有唯一解，即k2 2kk2 2k 4-2kx

16、1，x2，x3 :k 1k 1k 1當k - -1時，r(A) =3，r(A) =2方程組無解.一1-12；71一10301當k = 4時，有A = 022:8T 0114000? 0 一1衛(wèi)000 一因為r( A)二r( A) = 2 ： 3，方程組有無窮多解.取X3為自由變量，得方程組的特解為=(0,4,0)丁.又導出組的基礎解系為=（_3, _1,1）T ,所以方程組的通解為:k ,其中k為任意常數(shù)【相關知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設A是m n矩陣,線性方程組 Ax = b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣A = Ab的秩,即r（A）二r（A）.（或者說，b可由A的

17、列向量 宀，,“,：線表出,亦 等同于1,2,|l（,n與1,2,|l（,n, b是等價向量組）設A是m n矩陣,線性方程組Ax=b,則(1)有唯一解r (A) = r(A) = n.(2)有無窮多解r (A) = r(A) ： n.(3)無解r(A) 1 =r(A).b不能由A的列向量1,2l（n線表出九、（本題滿分9分）1a1101【解析】經(jīng)正交變換二次型f的矩陣分別為 A = a1p,B =1Jp1 一-2 J由于P是正交矩陣，有PAP = B,即知矩陣A的特征值是0,1,2.那么有A =2 - y-2 - 2 =0,:-0.E - A 一2： ： =0.【相關知識點】二次型的定義：含有

18、n個變量x,x2|,xn的二次齊次多項式（即每項都是二 次的多項式）n nf Xi,X2川l,Xn i _ - aijXiXj,其中 aij =aji ,i=1 j=1稱為n元二次型，令x=（X1,X2,lil,Xn T, A = （aij ）,則二次型可用矩陣乘法表示為f X1,X2,l,Xn 二 XTAX,其中A是對稱矩陣 AT二A ,稱A為二次型f X1,X2,|,Xn的矩陣.十、（本題滿分8分）【解析】（1）依題意，因為隨機變量 X和Y同分布，則P A=P X a = P Y a=P B ,又事件 AX .a?和 B = :Y a!獨立，故 P AB = P A P B .估計廣義加法公式:II-,2 3P AUB 產 p A P