高三數(shù)列求通項(xiàng)求和

1、求數(shù)列通項(xiàng)一、專題精講例 1：形如anan 1d已知數(shù)列 an 滿足，1，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an 1 an 1 a1解：由 an 1an1得 an 1an1 則a2a11;a3a21;a4a31;anan 11;疊加得出： ana1n1所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為ann分析 :等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是基礎(chǔ)，需要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并領(lǐng)悟技巧例 2：形如 anan 1nd已知數(shù)列 a 滿足a1an，a1，求數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式nn11nn2解：由 an 1an2n1得 an 1an 2n1 則a2a1211;a3a2221;a4a3231;anan 12(n1)1;1疊加得出： an a1 n21所

2、以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an n2分析：本題是例 1 的一個(gè)發(fā)散， 可以讓學(xué)生根據(jù)例1 自己發(fā)散， 改題，例 1 里有哪些量可以改，改動(dòng)之后有什么變化，以及變化之后的解決辦法例 3：形如 anqan 1已知數(shù)列 n 滿足an 1n，13，求數(shù)列 n 的通項(xiàng)公式a2aaa解：因?yàn)?an1 2an， a13，所以 anan 12，0，則anananan 1a3 a2 a1an1an 2a2a1故2223n132所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an32n1例 4：形如 anqan 1d已知數(shù)列 an 滿足 an 12an +1， a13 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式解：an12an +1，令 an 1

3、d2(an d ) ，求得 d1an112(an1) ，即 an1是公比為2 的等比數(shù)列，首項(xiàng)是 4ann 14 2n 1n 11 (a1 1) 22an2n 11例 5：形如 an qan 1 n已知數(shù)列 an 滿足 an1a+n， a13，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式2 n解：a12a +n ，令 an1k(n1) d2(ankn d ) ，求得 k 1, d 1nnan1n112(ann 1) ，即 ann 1 是公比為 2 的等比數(shù)列，首項(xiàng)是 5ann1 ( a1 1 1) 2n 15 2n 1an5 2n 1n1例 6：形如 anqan 1d n已知數(shù)列 an 滿足 an 12an35n

4、 ， a1 6 ，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式解：設(shè) an 1x5n 12(anx5n )2將an 1ann 代入式，得annxn 1anxn，2353552252等式兩邊消去2an ，得 3 5nx 5n 1 2 x 5n ，兩邊除以 5n ，得 35x2x, 則x1,代入式得 an 15n 12(an5n ) 由1及式得 ann，則an 15n 12，150an5na 5 6 5 1 0則數(shù)列 an5n 是以 a1511為首項(xiàng)，以2 為公比的等比數(shù)列，則 an5n2n 1 ，故 an2n 15n例 7：形如an 1anpan1已知數(shù)列 an滿足 a15， an 1an，求數(shù)列通項(xiàng)anan21解：

5、由題可知12an 112an 1anan1 是首項(xiàng)為 1 ，公差為 2的等差數(shù)列an51119an2 n2n55an15910n92n5思考：本題遞推公式里各項(xiàng)的系數(shù)能不能任意變化？分子能不能加一個(gè)常數(shù)？二、專題過關(guān)檢測(cè)題 1： 已知數(shù)列 an 滿足 an12(n1)a ， a13，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式n解：因?yàn)?an 12(n1)an， a13 ，所以 an0，則 an 12(n 1) ，故anananan 1a3a2 a1an 1an2a2a12( n11)2( n2 1)2(21)2(1 1)32n 1 n(n1)3233 2n 1n!3所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 a3n 1n!.

6、n2檢測(cè)題 2：已知數(shù)列 an 滿足 an 1ann， a1，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式2331解：由 an 1an2 3n1得 an 1an2 3n1 則an (anan 1) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2a1 ) a1(23n 11)(23n2 1)(2321)(2311)32(3n13n23231 )( n 1)32 3(1n13)(n1)33n133n13nn13所以 an3nn1.檢測(cè)題 3: 已知數(shù)列 an滿足 a12, a25,且 an 23an 12an0, 求通項(xiàng)公式解：由題可知an2an12an12an0，即 an2an 12( aa )n 1n數(shù)列 an 1

7、an是首項(xiàng)為3 公比為2 的等比數(shù)列anann113 2anan13 2n2an 1an3 2n32a2a3 201疊加可得 an3 202n2202n13 2n 1a132023nan113 2三、學(xué)法提煉1、專題特點(diǎn)：各個(gè)題型從“ 1”到“k”到“n”的轉(zhuǎn)化模式及方法2、解題方法：類比發(fā)散學(xué)習(xí)3、注意事項(xiàng)：以上幾個(gè)例題題型的轉(zhuǎn)變有內(nèi)在的聯(lián)系，由淺入深，老師在講解的時(shí)候要讓學(xué)生體驗(yàn)到題型轉(zhuǎn)化加大難度的方法 , 必須抓住幾個(gè)題型之間的聯(lián)系去講解4數(shù)列求和一、專題精講例 1：公式法、性質(zhì)法求和數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Snn則 a2a2an2（）21,12A (2n1)2B 1 (2n1)C

8、4n1D 1 ( 4n1)33解：利用公式 an SnSn 1(n2)Sn2n1,Sn 12n 11an =2n 1,當(dāng)n=1時(shí)， a1 =1=S1所以數(shù)列是等比數(shù)列，a2= 2 n 2n2則 a2a2a2a12(1-4n） (4 n-1 ）2n=11-43所以選擇 D例 2：分組法求和求通項(xiàng)為 an2n2n1的數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 ;解：根據(jù)分析，可以得出an2n21，nSn a1a2an122 n2n12 2112 22112n2(12nn(222 )2(1n2 (1n nn2 )1222n 1n22例 3：裂項(xiàng)相消法求和求和：11111 22 334n( n1)5解: 觀察通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，

9、發(fā)現(xiàn)an111.n(n1)nn 1原式=（ 11 ）（11 ）+（11）11 1+2+nn121= 11 + 11 + 1112 23nn1=1-1n 1例 4：錯(cuò)位相減法求和若數(shù)列 an的通項(xiàng) an n3n ，求此數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn .解析：根據(jù)分析題意，觀察數(shù)列的特征可以得出：Sn1 312 32n3n 3Sn1 322 33n3n 1 有得：-2Sn3132+3 n -n3n 1= 3（1-3n )n3n 113Sn3（1- 3n ) n 3n 142二、專題過關(guān)檢測(cè)題 1： 已知等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 10，前 3n 項(xiàng)的和為 70，求其前 2n 項(xiàng)的和 .解析： 3Sn

10、S3n，q1a1 (1qn )1q10,a1 (1q 3n )170,q上面兩式相比得 q2na110,1qqn6 0得qn2或qn3( 舍)S2 n30.檢測(cè)題 2： 求和： (2 11)(2212 )(2 n1n )3336解：有分析題意可以得到：111(2 13)(2232 )(2n3n )=2 1+2+3+ n +( 1+ 12+ 1n )333=2n n1(1- 1n )(1+ )+ 332 1- 131 1=n(n+1)+ 2 (1- 3n )檢測(cè)題 3: 求11111,(* )21 2312341 2 3nN1n解: 觀察通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn):an112211)1 2nn n1)

11、n(n 1)(n n 12原式=2（11 ）（11 ）+（ 11 ）111+22+nn 11=21111+11)=2(1-1)(+2+nnn123112nn1檢測(cè)題 4: 若數(shù)列 an的通項(xiàng) an(2n1) a n （其中 a0 ），求此數(shù)列的前n 項(xiàng)和 Sn解析：根據(jù)分析題意，觀察數(shù)列的特征可以得出：當(dāng) a1時(shí)， Sn =1+3+5+(2 n（）n =n2 ;1)=1+2 n1n2當(dāng) a1時(shí)， an(2 n1)aSn1 a13 a2(2 n 1) anaSn1 a23 a3(2 n 1) an 1 有得：a2anan 1(1aSna1+2n1)2-(2（n-1=a+ 2a 1-a)(2 n1

12、)an 11an 1（n-1(2 n1)aSnaa 1-a)1a-a2 -1a(1)綜上所求：21）n（ aSnn 1（n -1a= (2 n 1) aa 1-a )（ a）1a-(1a)2 - 1a17三、學(xué)法提煉1、專題特點(diǎn)：以課本上的等差等比求和方法為基礎(chǔ)發(fā)散，發(fā)現(xiàn)幾種特殊形式的數(shù)列求和方法2、解題方法：類比學(xué)習(xí)3、注意事項(xiàng)：基礎(chǔ)性質(zhì)一定要強(qiáng)調(diào)，等差等比求和公式的推導(dǎo)學(xué)生一定要掌握，在挖掘知識(shí)的時(shí)候老師對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)要耐心細(xì)致，把幾種題型的聯(lián)系分析清楚數(shù)列綜合一、能力培養(yǎng)綜合題 1： 在等差數(shù)列 an 中， a16a17a18 a9 36 ，其前 n 項(xiàng)和為 Sn.(1) 求 Sn 的最小

13、值，并求出 Sn取最小值時(shí) n 的值；(2) 求 Tn|a1| |a2| |an|. 解析 a16 a17 a183a17 36. a17 12.又 a9 36， d a17 a9 1236 3，1798首項(xiàng) a1 a98d 60，(1) 方法一：設(shè)前 n 項(xiàng)和 Sn 最小，則an0，3630，n得 n20或 n21.an10，即n1 630，3故n20 或21時(shí)n 的值最小，且最小值為20 21 630.nSS S方法二：n 60n nn1 33(n241 )S22n41 3 n 2 2 5043.28* nN，當(dāng) n20 或 21 時(shí)， Sn 取最小值，最小值為 630.(2) 由 an3

14、n630，得 n21.32當(dāng) n21 時(shí)， Tn Sn (41 nn ) ；2當(dāng) n21 時(shí)， Tn a1 a2 a21 a22 an Sn2S21 3( n241n) 1260. 2822 n， .綜合題 2： 已知數(shù)列an 的首項(xiàng) a1 ， an1a ， n1,23 an11 1(1) 證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；n(2) 求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn. 分析(1)由已知條件利用等比數(shù)列的定義證明，即從an1 2an 得到 1 1與 1 1的等式關(guān)系an1an1an1 11. 欲求數(shù)列n(2) 充分利用 (1) 的結(jié)論得出an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 可先求出 Tn1 22 33 n的值

15、 n1 2anan 2n22 22n 解析(1)，aan11 an1 1 1 1 ，an12an22an 1 111 1an，a2n1又 a12， 1 1 1，3a121 11為首項(xiàng)， 1為公比的等比數(shù)列數(shù)列 an是以22(2) 由(1)知 11 11 1，an22n12n即11 ， n n nan 2n1an2n.設(shè) Tn1 2 3 n，2232n22112n1n則 Tn 23 n n1，222221 1 1n111121得 Tn 2 n nn1 2 nn11 n nn1222221222121 n Tn2 2n12n.又 123 n n n1 . 2n數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和n2 n4 n

16、22 nn n1Sn2n2n .222二、能力點(diǎn)評(píng)第 1 題去絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵點(diǎn)，需要分類討論。第 2 題通過構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)，以及用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和。9學(xué)法升華一、知識(shí)收獲求通項(xiàng)的方法：1. 疊加2. 疊乘3. 待定系數(shù)法4. 分式形式的遞推公式求和方法：1. 倒序相加2. 錯(cuò)位相減3. 公式法4. 分組求和5. 裂項(xiàng)相消二、方法總結(jié)學(xué)習(xí)總結(jié)解題通法的時(shí)候，要記清楚每種方法適用的題型。如果對(duì)自己的要求較高的話，就要去理解總結(jié)各種題型之間的聯(lián)系三、技巧提煉類比學(xué)習(xí)在等差等比的學(xué)習(xí)里用到的很多，這也是一種常用的學(xué)習(xí)方法，可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更輕松課后作業(yè)作業(yè) 1：已知數(shù)列 a滿足 a1an

17、 ，1，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。n3 22n n2 nann1an 1an3 ，則an 1an3 ，故數(shù)列ana121 為首項(xiàng)，以解： an 1 2an 3 2兩邊除以2，得n 1nn 1n n 是以12222222223 為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得 an1 (n3 ，所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an3 n1n。22n1) 2( 22)2【本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 12ann轉(zhuǎn)化為an 1an3，說明數(shù)列 an3 22n 1n2n 是等差數(shù)列，再直接利用an22等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出1(n1)3 ，進(jìn)而求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式】n22作業(yè) 2：已知數(shù)列 an 滿足 an1

18、3an5 2n4， a11，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1 x 2n 1y 3(anx2ny)將 an 1 3an 5 2n 4 代入式，得3an52n4x2n 1y3(anx2ny)10整理得 (52x)2n4y3x2n3y 。52x3xx5令y3 y，則，代入式得4y2an 152n 123(an52n2)由 及式，n 1得 an52n20 ，則 an 152n23 ，an522故 數(shù) 列 an5 2n2 是 以 a15 21211213為首項(xiàng)，以 3為公比的等比數(shù)列，因此an 5 2n2 13 3n 1 ，則 an13 3n 15 2n2 ?！颈绢}解

19、題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 13an52n4 轉(zhuǎn)化為 an 152n15 2n2) ，從而可知數(shù)列2 3(an an 5 2n2 是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 an52n2 的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式】作業(yè) 3：設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n 項(xiàng)之和為 80，前 2n 項(xiàng)之和為6560，且前 n 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為 54，求此數(shù)列a11qn8011q解：由題意1qn82qn81a1 1 q2 n656021q代入（ 1），a11qn80 1q，得：1q1 0，從而q1，a an遞增，前 n 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)應(yīng)為第n 項(xiàng) a1qn 1q1 qn1qnqn 181qn 154, qn 1815427,qqn，qn13 a1q1312 ， 此數(shù)列為2,6,18,54,162