人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)圓中的最值問題

1、拔咼專題圓中的最值問題 、基本模型構(gòu)建 常見模型 思考 圖（1）圖（2） 圖（1）兩點(diǎn)之間線段最短； 圖（2）垂線段最短。 在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn) A、B,在直線L上有到A、B 的距離之和最短的點(diǎn)存在，可 以通過軸對(duì)稱來確定，即作出 其中一點(diǎn)關(guān)于直線 L的對(duì)稱 點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與 直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn). 拔高精講精練 探究點(diǎn)一：點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值問題 例1:如圖，A點(diǎn)是O O上直徑MN所分的半圓的一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P 點(diǎn)是MN上一動(dòng)點(diǎn)，O O的半徑為3，求AP+BP的最小值。 解：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A ，連接A B，交MN于點(diǎn)P,連接OA AA 點(diǎn)A與

2、A 關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)， :丄 A ON= / AON=60 , PA=PA 點(diǎn) B 是弧 AN 的中點(diǎn)， / BON=30 ,aZ A OB= / A ON+ / BON=90。，又t OA=OA =3, A B=3,2兩點(diǎn)之間線段最短， PA+PB=PA +PB=A B=3 S . 【教師總結(jié)】解決此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn) P的位置.根據(jù)軸對(duì)稱和兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí), 把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，即可計(jì)算。 探究點(diǎn)二：直線與圓上點(diǎn)的距離的最值問題 例2:如圖，在 Rt AOB中，0A=0B=3 . 2 , O O的半徑為 1點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn), 過點(diǎn)P作O 0的一條切

3、線PQ (點(diǎn)Q為切點(diǎn))，求切線PQ的最小值 -1 解：連接OP、OQ.T PQ是O 0的切線， 0Q丄PQ;根據(jù)勾股定理知 PQ2=Op2-OQ2, Rt AOB 中，OA=OB=3 .2 , PQ= OP? OQ? =22 . 【變式訓(xùn)練】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心，2為半徑畫O 0, P是O 0是一動(dòng)點(diǎn)且P在第一象限內(nèi)，過P作O 0切線與x軸相交于點(diǎn)A ,與y軸相交于點(diǎn)B.求 解：(1)線段AB長度的最小值為4, 理由如下： 連接0P, / AB 切O 0 于 P, 0P丄 AB , 取AB的中點(diǎn)C, AB=20C ; 當(dāng)OC=OP時(shí)，0C最短， 即AB最短， 此時(shí)AB=