三角形-完美編輯版

1、一 . 教學(xué)目標(biāo)： （1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。 （2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。 （3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力 二 . 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些 知識(shí)解決問題的能力。 三 . 知識(shí)要點(diǎn)： 知識(shí)點(diǎn) 1 三角形的邊、角關(guān)系 三角形任何兩邊之和大于第三邊； 三角形任何兩邊之差小于第三邊； 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于 180； 三角形三個(gè)外角的和等于 360； 三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； 三角形一

2、個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 知識(shí)點(diǎn) 2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心 三角形的角平分線、中線、高； 三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等； 三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等； 連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。 知識(shí)點(diǎn) 3 等腰三角形 等腰三角形的識(shí)別： 有兩邊相等的三角形是等腰三角形； 有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）； 三邊相等的三角形是等邊三角形； 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個(gè)角是 60的等腰三角形

3、是等邊三角形。 等腰三角形的性質(zhì)： 等邊對(duì)等角； 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合； 等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，底邊的中垂線是它的對(duì)稱軸； 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60。 知識(shí)點(diǎn) 4 直角三角形 直角三角形的識(shí)別： 有一個(gè)角等于 90的三角形是直角三角形； 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 直角三角形的性質(zhì)： 直角三角形的兩個(gè)銳角互余； 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 知識(shí)點(diǎn) 5 全等三角形 定義、判定、性質(zhì) 知識(shí)點(diǎn)

4、 6 相似三角形 定義 兩對(duì)應(yīng)邊的比相等，夾角相等 判定方法兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等 三條對(duì)應(yīng)邊的比相等 對(duì)應(yīng)邊的比 相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)高的比等于相似比 周長(zhǎng)比 面積比相似比平方 問題 常用術(shù)語 視角 坡度 知識(shí)點(diǎn)7 銳角三角函數(shù)與解直角三角形 r ftin a =ros(90 a ) HOP T正切卜i. L親囪a亠a ) 鋭角三角函數(shù)一 特殊角三角函散1 F:三邊關(guān)索 1解直角三角形第用關(guān)炙1-鬲親素1 轉(zhuǎn)化直角三角形 C 方位角 例1. （ 1 ）已知：等腰三角形的一邊長(zhǎng)為12,另一邊長(zhǎng)為5,求第三邊長(zhǎng)。 （2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。 分析：利用等腰三

5、角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。 說明：此題運(yùn)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。 例2.已知：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，/ ACB=Z DCE= 90 2 2 2 D 為 AB邊上的一點(diǎn)，求證：（1）/ ACE/ BCD, （ 2） AD + AE = DE。 例3.已知：點(diǎn) P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，/ BPC= 150, PB= 2, PC= 3，求PA的長(zhǎng)。 分析：將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60至BCD,即可證得BPD為 等邊三角形，PCD為直角三角形。 解：/ BC= BA, 將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60,使BA與BC重合，得

6、BCD, 連結(jié)PD。 BD= BP= 2, PA= DCo / BPD是等邊三角形。/ BPD- 60。 / DPC=Z BPC-Z BPD- 150 - 60= 90 。 DC- PD2 PC2, 22 32.13 PA= DC- .13 o 【變式】若已知點(diǎn) P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA- .13 , PB- 2, PC-3。能求出/ BPC的度數(shù)嗎請(qǐng)?jiān)囈?試。 例4.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié) PA PB、PC, ?以BP為邊作/ PBQ- 60，且BQ- BP,連 C 結(jié)CQ. (1) 觀察并猜想 AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論. (2) 若PA PB: PC

7、- 3: 4: 5，連結(jié)PQ,試判斷 PQC的形狀，并說明理由. 解：(1 )把厶ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 即可得到厶CBQ.利用等邊三角形的性質(zhì)證 ABPA CBQ得 至U AP- CQ. (2)連接 卩0,則厶 PBQ是等邊三角形. PQ- PB, AP-CQ故 CQ: PQ: PC- PA： PB: PC- 3： 4: 5, PQC 是直角三角形. 點(diǎn)評(píng)：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明. n F 例5.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯(即BC- EF),左邊滑梯的高度 AC與右 邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度 DF相等，則/ ABC+Z DFE-. 分析：

8、Z ABC與Z DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，？若說明這兩個(gè)直角三角 形全等則問題便會(huì)迎刃而解. 并運(yùn)用與它相關(guān)的性 點(diǎn)評(píng)：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識(shí)別兩個(gè)直角三角形全等, 質(zhì)進(jìn)行解題. 例6中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例 規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過 70千米/時(shí)”？ 一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛(如圖所示)，在距離路邊25米處有“車速檢測(cè)儀 0” ？測(cè)得該車 從北偏西60的A點(diǎn)行駛到北偏西30的B點(diǎn)，所用時(shí)間為秒. (1)試求該車從 A點(diǎn)到B的平均速度；(2)試說明該車是否超過限速. 點(diǎn)評(píng)：此題應(yīng)用了直角三角形中30角對(duì)的直角邊是斜邊的一半及勾

9、股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng) 用. 例7.如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí) 線上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；連結(jié)三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的 正方形網(wǎng)格中作出了 RtAABC.請(qǐng)你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中各畫出一個(gè)直角三角形，并 使三個(gè)網(wǎng)格中的直角三角形互不全等. 例8.如圖所示，在 ABC中，AB= AC= 1,點(diǎn)D、E在直線BC上運(yùn)動(dòng)，設(shè) BD= x, CE= y. (1) 如果/ BAC= 30,/ DAE= 105，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 如果/ BAC的度數(shù)為a, /

10、 DAE的度數(shù)為B,當(dāng)a、B滿足怎樣的關(guān)系式時(shí), (1 )中y與x?之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由. 點(diǎn)評(píng)：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系. 例9.如圖，梯形 ABCD中，AB/ CD,且AB= 2CD, E, F分別是AB, BC?的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn) M . (1)求證： EDMs fbm； (2)若 DB= 9,求 BM . 例 10.已知 ABC中，/ ACB= 90o, CD丄AB 于 D, AD : BD= 2 : 3 且 CD= 6。 求(1) AB; (2) ACo 分析：設(shè)AD= 2k, BD= 3ko根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高

11、，可知AB3ACBB通過相似三 角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出其中 k的大??；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計(jì)算出k的大小。 例 11.已知 ABC中，/ ACB= 90o, CH丄 AB, HE丄 BC, HF丄 AGc 求證：(1 ) HEF 也厶 EHC ( 2) HEFA HBG/ 、 分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH, 根據(jù)矩形的性質(zhì)可知 EF= CH, HF= EG 要證明三角形相似，從條件中得/FHE=Z CHB= 90o,由全等三角形可知，/ HEF=Z HCB這樣就可以證 明兩個(gè)三角形相似。 說明：在這一題的分析過程中

12、，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋 找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺(tái)階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。 D E B C 例12.兩個(gè)全等的含30o, 60o角的三角板 ADE和ABC如圖所示放置，E, A，C 三點(diǎn)在一條直線上，連接 BD,取BD的中點(diǎn)M，連結(jié) ME，MC。試判斷 EMC是 什么樣的三角形，并說明理由。 說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢 構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的 對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。 角度。會(huì)轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)

13、設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。 目眶 課后練習(xí) 1. 如圖， ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn) O, ?給出下列三個(gè)條件：/ EBO=Z DCO / BEO=Z CDO BE= CD. (1) 上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫出所有情形)； (2) 選擇第(1)小題中的一種情況，證明 ABC是等腰三角形. 2. (1)已知如圖，在 AOB和厶 COD中，OA= OB，OC= OD，Z AOB=Z COD= 60o。 求證： AC= BD，/ APB= 60o。 (2) 如圖，在 AOB和厶COD中，OA= OB，OC= OD,Z AOB

14、=Z COD=a，貝U AC與BD間的等量關(guān)系 式為; Z APB的大小為 。 (3) 如圖，在 AOB和厶 COD中，OA= kOB，OC= kOD ( k1)，Z AOB=Z COD=a，貝U AC與 BD 間的 等量關(guān)系式為 ; Z APB的大小為。 兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖(1),乙設(shè)計(jì)的方案如圖(2)。你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好試說 明理由。(加工損耗忽略，計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)) 4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為: X,放映的熒屏的規(guī)格為 2m x 2m,若放映機(jī)的光源 距膠片20cm時(shí)，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏 5. 如

15、圖，已知/ MON = 900，等邊三角形 ABC的一個(gè)頂點(diǎn) A是射線OM上的一定點(diǎn)，頂點(diǎn) B與點(diǎn)O重合, 頂點(diǎn)C在/ MON內(nèi)部。 (1)當(dāng)頂點(diǎn)B在射線ON上移動(dòng)到Bi時(shí)，連結(jié)ABi為一邊的等邊三角形 ABiCi (保留作圖痕跡，不寫作法 和證明)； (2)設(shè)ABi與OC交于點(diǎn)Q, AC的延長(zhǎng)線與BiCi交于點(diǎn)D。求證：AC AD AB1 AQ ； (3) 連結(jié)CG,試猜想/ ACC為多少度并證明你的猜想。 6. 如圖所示，設(shè) A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A?城正西方向600km的B處，正以每小時(shí)200km的速度沿北 偏東60。的BF方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心 500km?的范圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.

16、(1) A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響為什么 (2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響，那么 A城遭受這次臺(tái)風(fēng)的影響有多長(zhǎng)時(shí)間 7. (1)如圖，在 RtAABC中，/90 , AD是/ BAC的角平分線，/ CAB= 60 , ?CD= 3 , BD= 2 3 , 求AC, AB的長(zhǎng). (2) “實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園 A= 30, AC= 40 米，BC= 25 米，你能 100 求出這塊花園的面積嗎 (3)某片綠地形狀如圖所示，其中AB丄BC, CD丄AD,/ A= 60, AB= 200m , CD= 100m , ?求AD、BC 的長(zhǎng). 8.高為 (1) (2) 12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹 AB,如圖所示. 某一時(shí)刻測(cè)得大樹 AB,教學(xué)樓ED在陽光下的投影長(zhǎng)分別是 BC=米，。卩=米，求大樹 AB的高度; 現(xiàn)有皮尺和高為 h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹AB高度的方案，要求： 在圖中，畫出你設(shè)計(jì)的圖