大學(xué)課件：理論力學(xué)

1、理論力學(xué) 課本及內(nèi)容 力學(xué)與理論力學(xué)（下冊(cè)） 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)國(guó)家基礎(chǔ)科學(xué)人才培養(yǎng)基地 物理學(xué)叢書 作者：秦敢，向守平 科學(xué)出版社，2008 其中，上冊(cè)以力學(xué)為主，下冊(cè)以分析力學(xué) 為主，是理論力學(xué)課程的主要內(nèi)容。 力學(xué)內(nèi)容 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) 質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度，軌跡 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 質(zhì)點(diǎn)的受力，由初始位置和速度確定之后的運(yùn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)系力學(xué) 多個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的守恒量，內(nèi)力和外力 非慣性參考系（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)） 剛體的平面運(yùn)動(dòng)（角速度，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能， 一些簡(jiǎn)單應(yīng)用（如有心力場(chǎng)，碰撞，振動(dòng)等） 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述： 位置、速度、加速度隨時(shí)間的變化 軌跡 坐標(biāo)系： 直角坐標(biāo)系（x,y,z） 柱坐標(biāo)系 (

2、r,j,z) （極坐標(biāo)系）(r,q) 球坐標(biāo)系 (r, q, j) 其他正交曲線坐標(biāo)系 自然坐標(biāo)系 力學(xué)內(nèi)容 2 2 )()( )(, )( )(),( dt td dt td t dt td tt rv aa r vvrr ( ),( )0tfrrr 其他一些應(yīng)用課題 有心力場(chǎng)（萬有引力和行星運(yùn)動(dòng)，帶電粒 子散射） 碰撞（兩體碰撞，散射截面） 振動(dòng)（阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)，多維小振動(dòng)） 帶電粒子的運(yùn)動(dòng) 狹義相對(duì)論 非線性力學(xué) 流體力學(xué) 連續(xù)介質(zhì)體系的力學(xué) 分析力學(xué)內(nèi)容 約束與虛功原理 拉格朗日力學(xué) 達(dá)朗貝爾原理，拉格朗日方程，泛函變分和哈 密頓原理，運(yùn)動(dòng)積分、對(duì)稱性和守恒定律 哈密頓力學(xué) 正則方

3、程，正則變換，泊松括號(hào)，哈密頓-雅克 比方程 剛體的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué) 分析力學(xué)的基礎(chǔ) 以牛頓三定律的經(jīng)典力學(xué)為理論基礎(chǔ) 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法建立完整的理論體系 得到一些原理性的結(jié)果 有些結(jié)果推廣到非經(jīng)典的領(lǐng)域（如相對(duì)論 和量子力學(xué)）更加自然 分析力學(xué)與牛頓力學(xué)方法比較 分析力學(xué)分析力學(xué)牛頓力學(xué)牛頓力學(xué) 優(yōu)點(diǎn)處理方法流程規(guī)范 善于復(fù)雜的體系處理 約束越多方程數(shù)越少 直觀，易于理解 解算簡(jiǎn)單問題比較方便 缺點(diǎn)不夠直觀 對(duì)于簡(jiǎn)單問題的處理 顯得麻煩 常常需要具體靈活的分析 約束越多方程數(shù)越多越繁 瑣 直角坐標(biāo)系 xyz xyzreee xyz xyzveee xyz xyzaeee 0 xyz eee 坐

4、標(biāo)：(x,y,z) y x z o 直角坐標(biāo)系中的矢量運(yùn)算 3 1 iiii i aa aeae ii aba b ijkjki a ba be 點(diǎn)乘： 叉乘： 矢量的表示和愛因斯坦求和約定： 1( , , )(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) 0 1( , , )(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1) ijk i j k others i j k 直角坐標(biāo)系的矢量運(yùn)算舉例 1 0 ij ij ij ()() () ()() iijkjk ijkkmnjmnimjninjmjmn immjnjninnjmjm innimmi a a b ca b c ba cca b b

5、a cc a b eabcbc eb a cc a b ()()()ab ca c ba b c 證明： 其中： ijkkmnimjninjm 可證： 柱坐標(biāo)系 rz rrz q qveee rz rzree 2 ()(2) rz rrrrz q qqqaeee ,0 rrzqq qq eeeee 坐標(biāo)：( , , )rzq r e rq ee q x y z o r q p 第1次課 cos ,sin cossin,sincos rxyxy xryr q qq qqqq eeeeee 球坐標(biāo)系 sin (cossin)cos cos (cossin)sin sincos rxyz xyz x

6、y rrr q j qjjq qjjq jj reeee eeee eee sin cos, (sincos) r r r qj qj jq qqj qqj jqq eee eee eee 坐標(biāo)：( , , )rq j z p x y o r q j 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可用單位并矢點(diǎn)乘： , rr iii qqjj rrre ee ee e 球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)的關(guān)系 r rre sin r rrr qj qqjveee 222 2 (sin) (2sincos ) (sin2sin2cos ) r rrr rrr rrr q j qjq qqjqq jqjqqjq ae e e 通過求導(dǎo)可得球坐標(biāo)中：

7、z p x y o r q j 曲線坐標(biāo)系 123 1 1 122233 3 (,)q q q h qh qh q rr veee 1 , jj jjj h qhq rr e 坐標(biāo)： 123 (,)q q q x y z o p 2222222 112233 ()()()()dhdqhdqhdqr 稱為拉梅系數(shù)。曲線長(zhǎng)度滿足 約束與自由度 一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自由度為3 在有約束的情況下，運(yùn)動(dòng)的自由度有所減 少： 約束質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，自由度為2 約束質(zhì)點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)，自由度為1 自由度是描述物體運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立變量個(gè) 數(shù) 約束可使變量之間變得不獨(dú)立，從而每個(gè) 約束使系統(tǒng)的自由度減1。 約束與自由度

8、 一般情況下，約束約束為k個(gè)方程 假設(shè)約束有k個(gè)。對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，3n個(gè)坐標(biāo) 中，有k個(gè)約束，則自由度自由度為s=3n-k，從理 論上說，可以用s個(gè)獨(dú)立變量來描述系統(tǒng)。 這些獨(dú)立變量描述系統(tǒng)，在分析力學(xué)中對(duì) 應(yīng)于由這些自變量組成一個(gè)函數(shù)（系統(tǒng)函 數(shù)）。 ( , , )0,1,2,., m ftmk r r 約束的類型 約束方程分類，依照含不含速度，分為： 完整約束或幾何約束，非完整約束運(yùn)動(dòng)約 束或微分約束，如果可以積分，可將微分 約束轉(zhuǎn)化為幾何約束； 依照是否顯含時(shí)間，分為：穩(wěn)定約束，非 穩(wěn)定約束； 依照是否為等號(hào)，分為：不等號(hào)時(shí)是可解 約束，等號(hào)是不可解約束。 約束的類型 完整約束（幾何約束）

9、 穩(wěn)定的幾何約束 不穩(wěn)定的幾何約束 不完整約束 且不可積分成完 整約束，也稱為微分約束。 可解約束： 或 或雙面 可解 0);,.,( 21 trrrf n 12 ( ,.,)0 n f r rr 12 ( ,., ; )0 n f r rr t ( , ; )0ft r r ( ; )0ft r( ; )0ft r 可積分的條件 非完整約束是否可以通過乘以某個(gè)函數(shù)變?yōu)榭煞e 分的？若使 必須 即 則 反之亦然 ddfjfr ()0jf (ln )j ff 0ff oo (x,y) (x,y) 完整約束使得自由度減少，一般的完整約束可寫為 方程 變分之后，可成為線性變分，形如 123 (,.,

10、)0 s f q q qq t 約束的線性變分 0 ii i a q 完整約束使得自由度減少，非完整約束中，一般 不可積分，因此不影響?yīng)毩⒆兞康膫€(gè)數(shù)，但如果 是線性約束，能影響廣義坐標(biāo)變分的獨(dú)立性。線 性非完整約束形如 可導(dǎo)致變分約束（注意到t=0） 0 ii i a qb 可化為線性變分的非完整約束 0 ii i a q 第2次課作業(yè)：1.1，1.2，1.4 廣義坐標(biāo) 用s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述系統(tǒng)，這些獨(dú)立變量 稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)，而這些坐標(biāo)的數(shù)目即為系 統(tǒng)的自由度。對(duì)應(yīng)滿足約束條件的質(zhì)點(diǎn)坐 標(biāo)位置，有 對(duì)于可解約束，是將其視為不可解約束來 處理，如果發(fā)生離開約束的情況，就放棄 約束，增加一個(gè)

11、獨(dú)立坐標(biāo)，重新處理。 12 ( ,.,),1,2,., iis t q qqinrr 廣義坐標(biāo)的選用 各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)可以入選系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，真實(shí)坐標(biāo)有3n個(gè)，但廣義坐標(biāo) 只有s=3n-k個(gè)。由于存在k個(gè)約束，廣義坐標(biāo)的 個(gè)數(shù)較少，需要選擇使用。 廣義坐標(biāo)也可以選用其他參數(shù)。選取的原則是： 能夠方便地表示系統(tǒng)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的幾何位置。即表 達(dá)式 越簡(jiǎn)潔越好 12 ( ,.,),1,2,., iis t q qqinrr 虛位移虛位移 假想系統(tǒng)的各質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)發(fā)生了微小的符合 約束條件的位移，稱為虛位移。 位移發(fā)生在與約束面相切的方向，而約束 力是發(fā)生在與約束面垂直的方向。 用廣義坐標(biāo)

12、表示了各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置之后， 虛位移可以看作當(dāng)廣義坐標(biāo)任意變化之后， 各個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置隨之變動(dòng)而產(chǎn)生的位移。 廣義坐標(biāo)的變化可以任意選取，但真實(shí)坐 標(biāo)的變化因?yàn)橛屑s束存在而不能任意選取。 理想約束 約束力是與約束的切線方向相垂直的，有 其中 是虛位移 習(xí)慣上，將虛位移視為變分，實(shí)位移視為微分。 分析力學(xué)中處理的約束情況絕大多數(shù)（或者說 默認(rèn)為）是理想約束。對(duì)于不是理想約束的情 況，分析力學(xué)常用的方法是不成立的。 0 ii i r r j ji i i q q r r 考慮空間曲面的約束，取3維空間直角坐標(biāo) 為廣義坐標(biāo)，曲面的幾何約束為 對(duì)于曲面上相鄰的任意點(diǎn)，相距 r，有 即 與曲面的切面垂直。同時(shí)

13、，約束力也與 曲面的切面垂直，因而兩者平行，滿足關(guān)系 其中c是常數(shù)，r是約束力。 理想約束 ( )0fr ()( )0ffff rrrr f cfr 理想約束 兩質(zhì)點(diǎn)a和b安置在剛性 輕桿兩端，桿可繞中央的 o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。在質(zhì)點(diǎn)a上施 加一個(gè)力f，考慮兩質(zhì)點(diǎn) 所受到的約束力，是否一 定與虛位移方向垂直？是 否為理想約束？ 這個(gè)例子，雖然每個(gè)質(zhì)點(diǎn) 的約束力并不與虛位移垂 直，可驗(yàn)證其仍是理想約 束。 a o b f 虛位移和真實(shí)的微小位移的差別 1.虛位移是瞬時(shí)完成的（t=0），而實(shí)位移 需要一小段時(shí)間（dt0）。 2.虛位移在滿足約束的條件下可以任意選取， 并未真是發(fā)生，而實(shí)位移一般與質(zhì)點(diǎn)的真 實(shí)

14、運(yùn)動(dòng)相關(guān)。 3. 虛位移的方向無論是穩(wěn)定約束還是非穩(wěn) 定約束，都是沿著約束的切線方向，而實(shí) 位移在非穩(wěn)定約束時(shí)，不一定沿著約束的 切線方向。（例如，在膨脹著的氣球上爬 行的小蟲） 虛功原理 系統(tǒng)處于平衡時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受合力為0 考慮虛位移所做的功，有 對(duì)于理想約束，約束力所作虛功為0。從而 在虛位移下主動(dòng)力做的功總和也為0，即 ()0 iii i w frr 0 ii fr 0 ii i fr 虛功原理 虛功原理能使我們處理系統(tǒng)的平衡問題。 此時(shí)，我們只要關(guān)注系統(tǒng)的主動(dòng)力的虛功 為0的事實(shí)。而約束力在方程中消失，我們 不必去解算。 顯然，這是系統(tǒng)處于平衡的必要條件。對(duì) 于不可解的(穩(wěn)定)約束，

15、這個(gè)條件可以證明 也是充分條件（約束如果不是穩(wěn)定的，就 不會(huì)有靜力平衡的情況出現(xiàn)）。 虛功原理 使用廣義坐標(biāo)，方程可以化為： 由于廣義坐標(biāo)是獨(dú)立變量，因此有必要定 義廣義力 方程化為 11 0 sn j ji ij i q q r f 1 0 n j ij j i q q r f 1 0 s ii i q q 由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，可得 對(duì)于保守力體系， 則 虛功原理 0 i q jjv f 1 0 n j ij j ii v qv qq r 對(duì)于保守力體系，虛功原理可化為 則系統(tǒng)的勢(shì)能達(dá)到極值，極小值時(shí)平衡是穩(wěn)定的， 極大值時(shí)平衡是不穩(wěn)定的 虛功原理 11 1 0 ns jjii ji s

16、i i i wq q v qv q fr 雙連桿的平衡問題 勻質(zhì)的雙連桿一端固定 在頂部，另一端受到水 平方向恒定的力，求平 衡時(shí)兩桿的角度。 求約束力時(shí)，可將約束 力看成主動(dòng)力，同時(shí)解 約束，增加自由度，然 后求解。 （本書29頁。秦家樺， 285頁。陳世民，170 頁。金尚年，46頁。） 虛功原理舉例 f q1 q2 l1 l2 第3次課作業(yè)：1.9-1.11 求解 解： 1122 12 1121121122 12 1112111222 111222 12 211112222 ( ),( )(),( )() 22 sinsinsin 22 coscos0 ()sincos0,sincos0

17、 22 f f wmm ll lll ll wm gm glm g flfl ml m glflm gfl qqqqq q qq qq q q qq q qqqq grgrfr rereeree 12 122 22 tan,tan (2) ff mm gm g qq 圓弧中兩球的平衡 問題 半徑為r的固定圓弧 上，有兩個(gè)同樣大 小但質(zhì)量不同的勻 質(zhì)小球，其半徑為 r/3，求平衡時(shí)兩球 的位置。 這個(gè)問題用虛功原 理或勢(shì)能最小原理。 虛功原理舉例 rq1q2 求解 解： 這里三個(gè)球心正好構(gòu)成正三角形。平衡時(shí)， 小球組的質(zhì)心正好在鉛垂線上，是最低的。 1121 1 11211 2 22 cosco

18、s()0 333 2 sinsin()0cot3(1) 3 vrm grm g m mm m qq qqq 求約束面的形狀 一個(gè)均質(zhì)桿一端靠在光滑的墻 壁，另一端所在的約束面是什 么形狀才能使桿在任何位置都 能平衡？（本書第10頁） 用勢(shì)能最小原理，當(dāng)虛位移發(fā) 生時(shí)，桿的重心高度應(yīng)該不變。 虛功原理舉例 y q x o 22 sin ,(1 cos ) 2 ( )(1)1 /2 a xay xy aa qq 達(dá)朗貝爾原理 考慮動(dòng)態(tài)情況，這時(shí)可以將系統(tǒng)中的每個(gè) 質(zhì)點(diǎn)的加速運(yùn)動(dòng)看成在局部的非慣性參考 系下的靜力平衡問題，需要加上慣性力， 因此 1 11 11 () () ()0 n iiiii i

19、 sn i iiij ji j sn i jiij ji j wm mq q qmq q frrr r fr r r 達(dá)朗貝爾原理進(jìn)一步深化 由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，從達(dá)朗貝爾原理 可進(jìn)一步推出 1 11 () n i jii i j nn ii iiii ii jj qm q dd mm dtqdtq r r rr rr 拉格朗日方程的由來 注意到由 同時(shí)將廣義速度與廣義坐標(biāo)視為不同的變將廣義速度與廣義坐標(biāo)視為不同的變 量量，可推得 22 1 s iiii k k jkjjj d q dtqqqt qq rrr r 1 s ii ik k k q qt rr r 1 s iii jk k jk

20、j qqq rrr 拉格朗日方程 因此，得到拉格朗日方程 其中t是系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能 11 22 11 () 11 () 22 ,1, 2,., nn ii jiiii ii jj nn iiii ii jj jj d qmm dtqq d mm dtqq dtt js dtqq rr rr rr 保守力體系的拉格朗日方程 對(duì)于保守力，由于 拉格朗日方程成為 其中l(wèi)=t-v是系統(tǒng)的拉格朗日量。 j j v q q 0,1, 2,., jj dll js dtqq 拉格朗日方程方法的長(zhǎng)處 拉格朗日方程依然是從牛頓力學(xué)導(dǎo)出的，其方程與牛頓力 學(xué)給出的結(jié)果必然相同。 拉格朗日方程方法適合處理具有復(fù)雜約

21、束的系統(tǒng)。廣義坐 標(biāo)的優(yōu)選可使得約束的表達(dá)式更加簡(jiǎn)單。約束使自由度減 少，從而使方程數(shù)減少，未知量減少，自然消去了很多不 需要知道的約束力未知數(shù)。 拉格朗日方法是使用能量作為分析對(duì)象的，而能量是標(biāo)量， 處理方便；另外，能量在各種物理過程中普遍存在并相互 轉(zhuǎn)化，可方便地推廣應(yīng)用到其他物理領(lǐng)域。而牛頓力學(xué)是 使用矢量分析，受坐標(biāo)變換影響大，且矢量有較多的分量， 處理較繁瑣。 拉格朗日方程解法步驟 確定系統(tǒng)自由度 選擇廣義坐標(biāo) 將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量用廣義坐標(biāo)表達(dá) 計(jì)算各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度 給出系統(tǒng)的總動(dòng)能 如果是保守系，給出勢(shì)能，如果不是保守 系，給出廣義力 相應(yīng)得到拉格朗日方程組 結(jié)合初始條件求解 實(shí)例

22、 12 2222 122 22 1212 , 11 (),() 22 ()0,()0 rz rrr tmrrm rvm g rl dd mmrm rm gr dtdt q q q qq veeve r m1 m2 q o x z 連線穿孔兩小球的運(yùn)動(dòng) 自由度為2 廣義坐標(biāo)r，q。 r1= r er，r2= (r-l) ez 第4次課作業(yè)：1.6，1.8，1.13，1.14 哈密頓原理 作用量的定義 體系從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2的運(yùn)動(dòng)過程中，定義其作用量為 哈密頓原理告訴我們，系統(tǒng)從t1演化到t2的所有可能 路徑中，系統(tǒng)將沿著使作用量取極值的那條路徑移 動(dòng)。 “可能路徑“是指廣義坐標(biāo)qi關(guān)于時(shí)間t的

23、所有連續(xù)可微的 函數(shù)關(guān)系qi(t)，且在初始時(shí)刻t1和終了時(shí)刻t2的位置是已知 的確定值。 2 1 ( ), ( ), t t sl q t q t t dt 變分法求極值 哈密頓原理告訴我們，求解真實(shí)運(yùn)動(dòng)過程 （得到坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系）就是尋求 作用量函數(shù)達(dá)到極值的問題。 對(duì)于自變量為“函數(shù)”的函數(shù)極值問題， 可以使用變分法。 為了求s的極值，使函數(shù)q(t)稍作改變，改 變量為l*q(t)，其中q(t)在兩端為0且連續(xù) 可導(dǎo)，l為系數(shù)參量。 變分法求極值 函數(shù)q(t)變成q(t)+l*(t)，這時(shí)積分值s也可 以看成是參數(shù)l的函數(shù)。 如果函數(shù)q(t)可以使s取到極值，同樣必須 在l=0時(shí)，

24、s(l)取極值。即 2 1 ( )(, ) t t sl qq qq t dtlll 2 1 ( ) ()0 t t dsll qq dt dqq l l 變分法求極值 積分得（注意到dq=dq） 由于q(t)在兩端為0且其他點(diǎn)的任意性，從 而必須有 2 2 1 1 ()0 t t t t ldll qdtq qdtqq 0 ldl qdtq 變分法求極值 s取極值時(shí)，所需滿足的條件正是拉格朗日 方程。反之，真實(shí)的過程滿足拉格朗日方 程，能使作用量函數(shù)s取到極值。 以上過程也能直接用變分法進(jìn)行： 2 1 22 11 2 1 (, )(, ) (, )() ()0 t t tt tt t t s

25、l qq qq tl q q tdt ll l q q t dtqq dt qq ldl qdt qdtq 變分法求極值的其他例子 最速下降線問題。上下兩端點(diǎn)固定，求哪 種曲線的軌道能使質(zhì)點(diǎn)從上端點(diǎn)由靜止在 最短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到下端點(diǎn)？ 2 1 2 2 1 2 1 ()0 2 x x y tdx gx dy dxyygx 變分法求極值的其他例子 最速下降線問題，解為擺線。 令q為曲線上的切線與x軸的夾角，則 2 22 1 constant 2 2(1) y ygx cyxy 2 2 tan ,2 sin(1cos2 ), 4 sin,(2sin2 ) yxcc dycdyc qqq q qqq x

26、 y q 變分法求極值的其他例子 懸鏈線問題，解為雙曲余弦線。 22 0 22 2 22222 1 2 1 1 1,()(1)0, 10,(1)0, 1 2(1),1 cosh l d vyy dxyy dxyy dyy yyyy dx y ydyydyycy xc yc c x y 光線行進(jìn)時(shí)間為極值（通常是極小值）的 路徑。 變分法求極值的其他例子 x y 22 00 2 2 1( ) 11 ()( ( ) 1)0 ( ) ( )sinconstant 1 ll n x tydxydx vc d n xy dxyy n x y n x y q 單位球面上短程線問題。 a代表切線et與經(jīng)線e

27、q夾角。這說明 由于z軸選取的任意性，erxet必須為常矢量。且短 程線在與之垂直的平面內(nèi)。 變分法求極值的其他例子 22 0 22 2 1 22 1sin, ()1sin0 sin sinsin 1sin l d sd d d d c j qjqj q qj qjj qj aq qj z p1 x y o r q j p2 1 sin()sin()() rtttzrzrt c qj qqeeeeeeeeeee 事實(shí)上，可積分求解球面上短程線問題： 是過零點(diǎn)的平面方程，應(yīng)該是同時(shí)過始末 兩點(diǎn)，且與球面相交所得的圓。 變分法求極值的其他例子 1 22 1 2 1 3 22 31 3 32 323

28、2 3232 ,cot, sinsin 1 arcsin(), sin()cot sin( sincos)cos( sinsin)cos sincos c d dw c cdww ddc cc cw ccw ccrccrr xccyccz q jq qq j jq qjqjq 第5次課作業(yè)：1.16，1.18，1.20，1.21 條件變分問題 積分約束條件下的變分問題 舉例：由一條長(zhǎng)度為l且始末兩點(diǎn)是x軸上 固定點(diǎn)的曲線與x軸圍成最大面積。 通用的處理方法：將約束條件乘以參數(shù)l， 加到被積函數(shù)之中，使之取極值。 參數(shù)的某些取值可以使s取到極值。 22 11 2 1 xx xx sydxydxl

29、l x y 條件變分問題 令q為曲線切線與x軸的夾角，則 2 2 ()(1)0 10 1 d yy dxyy dy dx y l l x y 1 2 222 12 tan ,sin, sin,cos ()() yxc dydyc xcyc qlq lq qlq l 與哈密頓原理類似的其他原理 莫培督原理。應(yīng)用于保守力體系。等能而 不等時(shí)的變分為0。由哈密頓原理： 上式中的廣義動(dòng)量p和哈密頓函數(shù)h以后再 介紹。為了強(qiáng)調(diào)是等能變分而不是等時(shí)的， 變分符號(hào)用 代替 ： 2 1 1 0 n iii i md vr 222 111 11 222 111 11 ()() sn jjiii ji nn ii

30、iiii ii ldtp dqhdtmdedt mdedtmd vr vrvr 莫培督原理 進(jìn)一步，通過將動(dòng)能t改寫，有： 這即是莫培督原理的變分形式。 22 , 11 ,11 22 2 , 11 ,1 1 , 2 ()0 sn i jijiii i ji s i jij i j ta q qmdtdt tt dteva dq dq vr 莫培督原理舉例 ，求拋體運(yùn)動(dòng) 2222 22 00 100 22 0 sin(sincos)11 cos , 2222cos vgyv cmvemvx ggv aaa a a y x a 2 2 1 2 1 1 2 2 1 22 2 112 21 2 1 (

31、)(1)0 () ()(1)0 , 1 2() , 4 emgxydx d emgxy dxyy c dxemgx ycdy y emgxc cecmg yc ycemgxcx mgmgc 與哈密頓原理類似的其他原理 費(fèi)馬原理 應(yīng)用于幾何光學(xué)。光線沿用時(shí)最短的路徑 前進(jìn) 平衡體系能量最?。ㄖ亓?shì)能，靜電能， 磁場(chǎng)能量），如果沒達(dá)到最小，可經(jīng)過一 段時(shí)間的調(diào)整，最后達(dá)到最小。而哈密頓 原理和費(fèi)馬原理的最小值取得是瞬時(shí)的。 2 1 0nds 從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的 相加性 兩個(gè)相互獨(dú)立體系組成統(tǒng)一體系： la=ta-va，lb=tb-vb，則l=la+lb 由于兩系統(tǒng)相互獨(dú)立，必須兩項(xiàng)都為0

32、 2 1 22 11 (, ) (, )(, )0 abab aaabbb l qqqqt dt lqqt dtlqqt dt 拉格朗日函數(shù)可以加上任一個(gè)函數(shù)f(q,t)的時(shí)間全 微商，不影響結(jié)果。因?yàn)槿⒎值姆e分是定值， 對(duì)作用量的變分沒有貢獻(xiàn)。 由于始末端固定，f的變分為0 也可以直接驗(yàn)證 滿足拉格朗日方程。 22 2 1 11 ( , )0 df ll dt sldtldtf q t 從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的 非唯一性 l 直接驗(yàn)證： 為了簡(jiǎn)便，拉格朗日函數(shù)中的時(shí)間全微分項(xiàng)可以 適當(dāng)去除。 ()() 0 dddf l dtqqdtqq dt ddfdfdfdf dtq dtq dtd

33、tqdtq 從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的 非唯一性 解題實(shí)例 螺旋線上的珠子 軌道方程為已知 22222 1., 1 (1) 2 razbz lm aa b zzmgz q 222 2., 1 () 2 razb lm abm gb q qq 陳世民，p25例1.5 解題實(shí)例 在豎直平面內(nèi)的彈簧擺 2222 0 2 0 2 11 ()cos() 22 cos()0 ()sin0 lm rrmgrk rl mrmrmgk rl d mrmgr dt qq qq qq q 解題實(shí)例 在豎直平面內(nèi)的兩個(gè) 繩連重物 22 1 22 (2)0 (2)(),(0)(0)0, (cos1) (2) y y

34、lmymymgymg l mgy mm ymg l mgml mm yyyy lm mlmg yt mlmm 第6次課作業(yè)：1.24，1.25，1.26，1.28 m m m 拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分 一般情況下，拉格朗日方程為s個(gè)二階微分 方程（s為自由度），求解之后，有2s個(gè)積 分常數(shù)。這些積分常數(shù)需要初始條件（t=0 時(shí)的廣義坐標(biāo)和廣義速度）確定，得到 有時(shí)，某個(gè)ci可以表示為廣義坐標(biāo)和廣義 速度的組合，在運(yùn)動(dòng)過程中保持守恒，成 為運(yùn)動(dòng)積分： 1212 (,.,;,.,) iiss cc q qq q qq 122122 ( ;,.,),( ;,.,) iisiis qq t c ccqq

35、 t c cc 拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分 廣義動(dòng)量的定義： 拉格朗日方程成為類似牛頓定律的方程 循環(huán)坐標(biāo)：如果拉格朗日函數(shù)中不顯含有 某個(gè)廣義坐標(biāo)，則此坐標(biāo)成為循環(huán)坐標(biāo)。 循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒，是運(yùn)動(dòng)積 分。 i j l p q () i i j dpl q dtq 0,constant i i j dpl p dtq 拉格朗日函數(shù)與廣義能量 當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間時(shí)，能夠得到 的運(yùn)動(dòng)積分是廣義能量 h。 1 11 11 () () constant s ii i ii ss iii ii iii ss iii ii i dlll qq dtqq dlldl qqq dtqqdtq l

36、hqlp ql q 拉格朗日函數(shù)與廣義能量 對(duì)于幾何約束，可以求速度表達(dá)式為： 動(dòng)能表達(dá)式中所含的廣義速度的 1 s ii ij j j q qt rr v 2 1 22 111 210 1 2 1 ()2() 2 n ii i nss iiii ijj ijj jj tm v mqq qqtt ttt rrrr 拉格朗日函數(shù)與廣義能量 此時(shí)，l不顯含t時(shí)，有守恒量 對(duì)于穩(wěn)定的幾何約束，t=t2，h=t+v是機(jī) 械能。這里著重指出的是，如果約束是不 穩(wěn)定的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒，守恒的 是廣義能量h。 2121020 1 2() s i i i t hqltttttvttv q 廣義能量舉例

37、求解一個(gè)彈簧振子在一個(gè)以w角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)的、 在xy平面內(nèi)的光滑管中的運(yùn)動(dòng)。 與機(jī)械能守恒不同 2222 2 2222 11 () 22 0 111 222 lm rrkr mrmrkr mrmrkrh w w w q z x y 相對(duì)論中的光速不變性，要求光在運(yùn)動(dòng)時(shí)的空間和 時(shí)間的參量變化保持下式不變（都為0）： 推而廣之，我們要求在相對(duì)論中，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)產(chǎn)生的 ds在不同參考系中也保持不變。同時(shí)我們知道在普 通三維空間中，兩點(diǎn)之間的間距|dr|在不同參考系 中都保持不變，因此，只要將時(shí)間變成第4維，運(yùn) 動(dòng)位移成為4維向量 而ds正比 于它在4維空間中的間距|dr(4)|，也能保持不變。 22

38、 0dsc dtddrr 相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù) (4)(4)22 |,| /( )1/dsi dddicdtvcrr (4) (,)ddx dy dz icdtr 如何描述一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是最基本最簡(jiǎn)單 的問題。對(duì)此，我們希望給出相對(duì)論時(shí)空中的自 由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的作用量函數(shù)。因?yàn)樽饔昧亢瘮?shù)是標(biāo) 量，標(biāo)量不會(huì)因選取不同的坐標(biāo)系而變化，而對(duì) 于自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，我們能構(gòu)造出的具有這種不 變性的量?jī)H僅是它運(yùn)動(dòng)時(shí)的4維間距，是僅知的 標(biāo)量。因此，取 為了能在低速情況下回到經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)， 必須取恰當(dāng)?shù)南禂?shù) 相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù) dsds 2 2 2 1 v dsmcdsmcdtldt c 這樣，

39、我們得到了相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)，并 能驗(yàn)證它在低速情況下能回到經(jīng)典力學(xué)的拉格朗 日函數(shù)（僅相差一個(gè)常數(shù)）： 從而，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為 與經(jīng)典情況相比，產(chǎn)生了質(zhì)量增加的效果。 22 2222 22 1 1(1) 22 vv lmcmcmcmv cc 相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù) 2 2 1 lm v c v p v 保守場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 這即是質(zhì)點(diǎn)的受力方程 動(dòng)能 dv dt p f r 相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù) 2 2 2 ()(1)0 dv mcv dtc vr 2222 222222 () () () 1/1/1/ d dtddddd dt m vccmvdvmc dd vcvcvc p fr

40、rvpp vpv 質(zhì)能公式： 這里b是歸一化速度，g是相對(duì)論因子。 拉格朗日函數(shù)這時(shí)并不是動(dòng)能減勢(shì)能。 有了拉格朗日函數(shù)，相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)過程都已經(jīng)得 到解決。具體運(yùn)用到各個(gè)方面，可以與各個(gè)經(jīng)典 物理的結(jié)果作比較分析。 相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù) 2 22 2 , 1/ 1 , 1 m emc m vc v mm c bgg b 4維時(shí)空的“位移”： 位移的絕對(duì)值是4維空間的標(biāo)量，不隨選取不同 的坐標(biāo)系而變化。 對(duì)于另外一個(gè)以勻速v0運(yùn)動(dòng)的慣性系，經(jīng)典力學(xué) 給出伽利略變換： 我們需要尋找4維時(shí)空的變換，使得在低速時(shí)是 伽利略變換，且保持4維矢量的模不變。 相對(duì)論的時(shí)空變換 (4)(4)22 (,),|

41、 /()1/ddx dy dz icdtddicdtvcrr 0 ,xxv t tt 兩個(gè)慣性系之間的4維時(shí)空的坐標(biāo)進(jìn) 行變換時(shí)，由于起始時(shí)間和原點(diǎn)重合， 因而時(shí)空坐標(biāo)原點(diǎn)也重合。 因?yàn)?x=x-v0t=x+ibict，這里 b=v0/c， 可看作位置（x，ict）在 x 坐標(biāo)軸上 的投影（點(diǎn)乘積）。故 x 軸的向量平 行于(1，ib)，歸一化為(g，igb)，這里 g = (1-b2) -1/2 相對(duì)論的時(shí)空變換 0 2 0 () (/) xxv t ttv x c g g x ic t x ic t x=x-v0 t (x, ic t) 而時(shí)間軸（ict)與空間軸(x)應(yīng)該相“垂直”，才能

42、保 證長(zhǎng)度不變，故時(shí)間軸向量為（-igb，g)，從而得到 洛侖茲變換： 因?yàn)閐 是4維空間的標(biāo)量，是時(shí)空坐標(biāo)變換時(shí)的不 變量，用它代替dt 求速度時(shí)，可得 4維空間的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/d = g(v, ic) 4維向量：動(dòng)量-能量 mu(4) = (p,ie/c) 它們都遵從洛侖茲變換。如 它們都有不變的模 相對(duì)論的時(shí)空變換 0 (/ ) () xx x ppe c eev p gb g 222 2222 ()() (/) i cc iecm c gg v p 第7次課 作業(yè)：1.30，1.33，1.36，1.37 拉格朗日函數(shù)的空間均勻性 拉格朗日函數(shù)的空間均勻性指

43、當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn) 行一個(gè)微小的平移之后，拉格朗日量不改 變。 由r的任意性得到動(dòng)量守恒。 11 111 111 ()() ()() ()()0 ss jjjj jj jjjjj sns i jiij jij jj nsn i iijiii iji j lldlldl lqqqq qqdtqqdt q dtd qmq dtqdtq ddd mqm dtqdtdt r r rp rr rr 拉格朗日函數(shù)的空間各向同性 拉格朗日函數(shù)的空間各向同性指當(dāng)將系統(tǒng) 進(jìn)行一個(gè)微小的轉(zhuǎn)動(dòng)之后，拉格朗日量不 改變。 由w w 的任意性得到角動(dòng)量守恒。 空間均勻性可看作x,y,z是循環(huán)坐標(biāo)，各向 同性可看作j是循環(huán)坐標(biāo)。

44、 11 1 ()() ()0 nn iiiiii ii n i ii i dd lmm dtdt dd m dtdt r r rr j rr 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù) 在相對(duì)論中，我們?nèi)?維時(shí)空的位移向量為 空間的電磁場(chǎng)同樣是由4維的電磁場(chǎng)勢(shì)能向 量描述： 描述帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的作用量函 數(shù)ds還需要有一個(gè)標(biāo)量部分，這個(gè)標(biāo)量要 有描述粒子運(yùn)動(dòng)位移的成份，也要有描述 電磁場(chǎng)的成份。此時(shí)，dr(4)(a,ij/c)符合要 求。兩個(gè)4維向量點(diǎn)乘，得到不隨坐標(biāo)變化 的標(biāo)量。另外還要乘以粒子的電荷e。 (4) (,)ddx dy dz icdtr (4) ( ,/ )icjaa 帶電粒子在

45、電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù) 在相對(duì)論中，可取作用量函數(shù)為 而對(duì)于低速情況，可取普通的動(dòng)能代替拉 格朗日函數(shù)的第一項(xiàng)。當(dāng)然也可以不替換。 得到拉格朗日函數(shù) 拉格朗日方程： (4)(4) ()dsmcddeddtj rrar ()() d meee dt gj vav a 2 222 2 1 1 2 v lmceemveemc c jj a va v 帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日方程 x分量為拉格朗日方程： 利用 得到洛侖茲力方程 d dtt v () () y xxxz xyz a d m vdaaa ee vvv dtdtxxxx gj , t j a eba () () d md em dtdt

46、 g vv e v b 粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式 用4維向量重新寫拉格朗日函數(shù)和方程： 得到 fji是電磁場(chǎng)張量。方程在4維時(shí)空坐標(biāo)變 換下形式不變。 ()0 (), j i ji j ii j i jijiji ji u ad mceaeu dxu u a ad mueu ff dxx ()0 b iiii a smcuueau d 粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式 矩陣形式： 矩陣fji是反對(duì)稱的，求本征值方程|fji-li|=0時(shí)， 是關(guān)于l2的一元二次方程。由于本征值在坐標(biāo)變 換時(shí)的不變性，因而方程系數(shù)也是不變的。 0/ 0/ 0/ /0 xxzyx yyzxy yxz zz

47、xyz tt uubbiec uubbiec d m bbiecd uu iecieciec uu 422222 (/) (/ )0beccllb e 粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式 其中， 是標(biāo)量，以后在電磁場(chǎng)的拉格朗日函數(shù)中 需要用到。 另一個(gè)系數(shù)eb也是不變的，但它是贗標(biāo) 量（考慮時(shí)間反向的運(yùn)動(dòng)，速度反向，電 場(chǎng)不變而磁場(chǎng)反向，因而eb反號(hào)，而真 標(biāo)量應(yīng)該不變。） 222 /2 ijij becf f 第8次課 作業(yè)：1.29，1.34，1.38，1.39 兩體碰撞 兩體問題是質(zhì)點(diǎn)相互作用中最簡(jiǎn)單最基本 的過程。 大到太陽和地球的相互作用，小到原子核 之間的散射碰撞，都可以簡(jiǎn)化為兩體問

48、題。 兩體問題可以約化為單質(zhì)點(diǎn)的有心力問題。 用兩點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置rc和兩點(diǎn)間的位 移r代替兩質(zhì)點(diǎn)的位置r1，r2。 1 12 2 12 12 , c mm mm rr rrr r 兩體碰撞的拉格朗日函數(shù) 定義 m=m1m2/(m1+m2) 是約化質(zhì)量，可解得 從而拉格朗日函數(shù)可寫為 1122 /,/ cc mmmmrrrrrr 22 1122 22 12 11 ( ) 22 11 ()( ) 22 c lmmv mmvm vvr rrr r m2 m1 r1 r2 rc 兩體碰撞是有心力作用下的平面運(yùn)動(dòng) 利用拉格朗日函數(shù)的相加性，分解為一個(gè)質(zhì) 量為（m1+m2）的自由質(zhì)點(diǎn)，與一個(gè)質(zhì)量為

49、m 的在勢(shì)能 v(r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子。 牛頓第三定律告訴我們，兩質(zhì)點(diǎn)的相互作用 是沿著 r 方向的，因此勢(shì)能 v(r) 產(chǎn)生的作 用力是有心力。 有心力作用時(shí)，力矩為0，因而角動(dòng)量 j = r x mv守恒。以角動(dòng)量的方向?yàn)閦軸，因 為r垂直于j，質(zhì)點(diǎn)可限制在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 兩體碰撞的方程 約化質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)： 相應(yīng)的拉格朗日方程： 角動(dòng)量守恒可寫為 b是瞄準(zhǔn)距離，v0是初始速度 22 ( ),()0 dd rrv rr dtrdt mm qq j r z x y 2 0 hrbvq 222 1 ()( ) 2 lrrv rmq 彈性碰撞與非彈性碰撞 彈性碰撞時(shí)，相互作用力是保守力，

50、機(jī)械 能守恒。約化質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的初速度與末速 度相等。這意味著它的速率不變但運(yùn)動(dòng)方 向可能改變。|v1-v2|=|v1-v2| 非彈性碰撞時(shí)，有耗散作用力將一部分機(jī) 械能轉(zhuǎn)變成熱能，因而其末速率比初速率 小，兩者比例為參數(shù)e。e=1是彈性碰撞， 而非彈性碰撞時(shí)e1。|v1-v2|=e|v1-v2| 彈性碰撞與非彈性碰撞 一般來說，碰撞之后的速度表示為 v1 = vc + | v1-v2 | e m2 / (m1+m2) v2 = vc - | v1-v2 | e m1 / (m1+m2) 其中 vc = (m1v1+m2v2) / (m1+m2) 是質(zhì)心的 速度，e 是不超過1的向量，代表質(zhì)點(diǎn)在

51、質(zhì) 心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度 的恢復(fù)率。對(duì)于彈性碰撞，其數(shù)值為1，對(duì) 于非彈性碰撞，其數(shù)值小于1。 平方反比力的碰撞 對(duì)于平方反比力，假設(shè) f(r)=k/r2 ，k的 符號(hào)決定是斥力或者是引力。對(duì)時(shí)間 積分： 從而 2 rr kk dtdtd rh mq ree ()() baba k h qq m vvee q eq er a b 平方反比力碰撞的偏轉(zhuǎn)角 代入各個(gè)矢量 由此得到偏轉(zhuǎn)角 這里b是瞄準(zhǔn)距離， b0是偏轉(zhuǎn)90的瞄準(zhǔn)距離 0(cos 1)sinsin(cos1) xyxy k v h mqqqqeeee 2 00 0 2 00 cot, 2 v hv bbk b kkbv

52、 mmq m q a b b 微分散射截面 通過散射過程，某一小 塊立體角dw（可以看作 是單位球上的一塊小面 積）與某塊入射面積ds 對(duì)應(yīng)起來，微分散射截 面就是指 ds/dw。 由偏轉(zhuǎn)角和瞄準(zhǔn)距離的 關(guān)系就能得到散射截面。 盧瑟福散射實(shí)驗(yàn) b q a b 微分散射截面 平方反比力的散射截面為 剛性球的散射截面 12 ()sin() 2 brr q 2 0 4sin 4sin 2 bdbd db dd d sj q q q j w q b 2 2 12 12 () ,() 4 rrd rr d s s w 碰撞速度的圖示 質(zhì)心系中，m1和m2的初 始速度為 v1，v2 （m2， m1） 碰撞

53、之后速度為v1，v2， （em2, em1） 質(zhì)心速度為vc 還原到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系里， 末速度為v1，v2 v1v2 v1 v2 v2l v1l vc 第9次課 實(shí)驗(yàn)室參考系的偏轉(zhuǎn)角 考慮實(shí)驗(yàn)室參考系中，初始時(shí)m2是靜止的。 畫出速度 v1c，v2c，v1c，v2c，v1，v2，vc 長(zhǎng)度比例 m2，m1，em2, em1, ?，?，m1 2 21 sin tan cos l m mm q q q 12 22 1212 cos cos 2cos l mm mmmm q q q ql q 12 sinsin() ll mmqq q 實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面 只要求出實(shí)驗(yàn)室參考系與質(zhì)心系的立體角之

54、 比，就能利用質(zhì)心系的微分散射截面公式。 由 得 12 22 sin()sin,/ sin sin cos (cos()cos)(1) cos() cos cos()2 cos cos() ll lll l ll l l ll l mm dd dd qqaqa qq qq aq qqaq qq aq qqaq qq w w 實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面 考慮質(zhì)量比a=m1/m21的三種 情況。 a1 12 cos l l d d aq w w 4cos l l d d q w w 22 2 22 (cos) cos 1sinl l d d qaa a q aq w w 實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面

55、 對(duì)于盧瑟福散射，考慮a=m1/m21的三種情況。 a1 1 2242 0 222222 2 4 10 sin,/ (11)1 4sincos 2 l l ll m bdk d m v qaqma asa q a qa q q w 22 0 4424 10 2, 4cos4cos 4sinsin l ll lll bkd dm v qq qqs qq w 實(shí)驗(yàn)室參考系的動(dòng)能交換 碰撞之后 m1的動(dòng)能平均值為（剛性球模型） 考慮質(zhì)量比a=m1/m21的三種 情況，a=1時(shí)碰撞交換走的動(dòng)能最大。 22 2 1212 10 2 12 222 222 12 101010 22 12 2cos1 2()

56、 1111 2()2(1)4 mmm m tm v mm mm m vm vm v mm q a a 碰撞問題舉例 平面上兩個(gè)小球的彈性碰撞，m2初始速度 為0。證明1、若 m1=m2時(shí)碰撞之后兩小球 的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直。2、若 m1m2時(shí)，偏 轉(zhuǎn)角最大為多少？ 2 1 sin l em arc m q ql q qql 相對(duì)論高能粒子的碰撞 以 p1，e1，p1，e1和 p2，e2，p2，e2 分別 代表 m1和 m2 質(zhì)點(diǎn)在碰撞前、后的動(dòng)量和能 量，運(yùn)用動(dòng)量守恒和能量守恒，有 由于碰撞是平面問題，可以看作p1x，p1y， p2x，p2y，四個(gè)未知量，最后一個(gè)方程給出 了能量e的表達(dá)，e視為

57、已知。需求解的方程 只有3個(gè)（動(dòng)量2個(gè)能量1個(gè)）還需要一個(gè)條 件，如偏轉(zhuǎn)角，或其中一個(gè)粒子的末動(dòng)能等。 12121212 22222 , / eeee pecm c pppp 相對(duì)論碰撞例題 能量為ei 的光子被質(zhì)量為 me的靜止電子所 散射。散射后光子能量為ef 并偏轉(zhuǎn) q ，證 明這幾個(gè)量有關(guān)系 1 - cosq = mec2(1/ef - 1/ei ) 證： 2 22222 2222 2224 0, / (sin )(cos ) () ifeiefe efif iefe em cee pecm c p ceee em cem c qq ppp 相對(duì)論碰撞例題 一個(gè)靜止的+介子衰變成m+子

58、和中微子。 三者靜止質(zhì)量分別是m0，mm0和0。求m子 和中微子的動(dòng)能。 2 0 2222222422 0 22222 0000 00 222 002 0 0 () ()() , 22 () 2 m cee ep cp cem cm ce mmcmmc et mm mmc tm ce m m mmmm mm mm m m 第10次課 微振動(dòng) 各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作微振動(dòng)。 廣義坐標(biāo)一般為 qi=qi(0)+qi(1)，其中0階量是 常量，是平衡時(shí)的位置，而1階量是振動(dòng)的 變量。 在解微振動(dòng)的問題時(shí)，要重新取廣義坐標(biāo) 使得qi(0)=0。 因?yàn)橛衅胶馕恢?，因此是穩(wěn)定約束，動(dòng)能 都是廣義速度的二

59、階齊次項(xiàng)：t=t2。 微振動(dòng)勢(shì)能 對(duì)勢(shì)能 v(q) 在平衡位置附近進(jìn)行小量展開 取v(0)=0，平衡點(diǎn)上又有 v/qi=0，并記 kij = 2v/qiqj|0，且保留到2階小量。寫為 矩陣二次型形式： 由于在平衡點(diǎn)v取極小值0，因此 v0，是 正定的。 2 0 0 11 ( )(0). 22 ijkjkjk ijk vv v qvqq qk q q qqq 1 ( ),( ),(),1,2,., 2 t iij vqki jsqq kqqk 微振動(dòng)的拉格朗日函數(shù) 對(duì)動(dòng)能 t 同樣記為 這里 m 的各個(gè)分量一般是位置q 的函數(shù)， 但我們對(duì)動(dòng)能只保留到2階小量，只取平衡 點(diǎn)上計(jì)算 m，因此得到的

60、 m 為常量。 拉格朗日函數(shù)為 11 ,(), ,1,2,., 22 t jkjkjk tm q qmj ksq mqm 11 22 tt l q mqq kq 微振動(dòng)的拉格朗日方程 拉格朗日方程為 這是一個(gè)線性常微分方程組，即如果 q(a) 和 q(b) 都是方程的解，則 q(c) = aq(a) + bq(b) 也是方程的解。因此，q 的運(yùn)動(dòng)盡管 可能出現(xiàn)多種頻率的振動(dòng)，我們可以把每 一個(gè)頻率的振動(dòng)單獨(dú)分解出來研究。對(duì)于 頻率為 w 的振動(dòng)（無論sin，cos），得到 線性方程組： 0mqkq 2 ()0 w wmk q 微振動(dòng)的久期方程 q = 0顯然是方程的解。若要得到非 0 解， 必