初二數(shù)學(xué)--勾股定理講義(經(jīng)典)(二)

1、第一章勾股定理【知識(shí)點(diǎn)歸納】1、已知直角三角形的兩邊，求第三邊勾股定理 2、求直角三角形周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題3、驗(yàn)證勾股定理成立1、勾股數(shù)的應(yīng)用勾股定理 勾股定理的逆定理 2、判斷三角形的形狀3、求最大、最小角的問(wèn)題 1、面積問(wèn)題2、求長(zhǎng)度問(wèn)題勾股定理的應(yīng)用&最短距離問(wèn)題4、航海問(wèn)題5、網(wǎng)格問(wèn)題6、圖形問(wèn)題考點(diǎn)一：勾股定理(1)對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為 a、b,斜邊為c,那么一定有a2 b2 c2勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(2)結(jié)論：有一個(gè)角是30的直角三角形，300角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。有一個(gè)角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形

2、斜邊的中線等于斜邊的一半。(3)勾股定理的驗(yàn)證ba例題：例1:已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊(1)在 rtzxabc中，/ c=90若 a=5, b=12,貝u c=;若 a=15, c=25,b=;若 c=61, b=60,a=;若 a ： b=3 ： 4, c=10 貝u rtzxabc的面積是=(2)如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為n2 1, 2n (n1),那么它的斜邊長(zhǎng)是(a 、2nb n+1g n21(3)在rtzxabc中，a,b,c為三邊長(zhǎng)，則下列關(guān)系中正確的是()222222a. a b c b. a c bc. c2 b2 a2 d.以上都有可能(4)已知一個(gè)直

3、角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3和4,則第三邊長(zhǎng)的平方是()a 25b 14g 7d 7 或 25例2:已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長(zhǎng)、面積等問(wèn)題。(1)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為 5和12,則它斜邊上的高為 。(2)已知 rtzxabc中，/ c=90 ,若 a+b=14cm c=10cm)則 rtzxabc勺面積是()2222a 、24cmb、36 cm g 48cm d 60cm(3)已知x、y為正數(shù)，且i x2-4 | + (y2-3) 2=0,如果以x、y的長(zhǎng)為直角邊作一個(gè)直角三角形, 那么以這個(gè)直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為()a 5r 25c 7d 1

4、5例3:探索勾股定理的證明有四個(gè)斜邊為c、兩直角邊長(zhǎng)為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利用這個(gè)圖形證 明勾股定理?？键c(diǎn)二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，a2 b2 c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。(2)常見(jiàn)的勾股數(shù)：(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n) , (8n,15n,17n) , (7n,24n,25n) , (9n,40n,41n).(n為正整數(shù))(3)直角三角形的判定方法：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系，a2 b2 c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。兩內(nèi)角互余的三角形是直角三

5、角形。如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。例題：例1：勾股數(shù)的應(yīng)用(1)下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可作為三邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形的是()a. 4 , 5, 6 b. 2, 3, 4 c. 11, 12, 13 d. 8, 15, 17(2)若線段a, b, c組成直角三角形，則它們的比為()a、2：3：4 b、3：4：6 c、5： 12： 13 d 、4：6：7例2:利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀(1)下面的三角形中：abc, / c=/ a /b;abc, / a: /b: /c=1: 2: 3;abc, a： b: c=3: 4: 5;abc,三邊長(zhǎng)分別為

6、8, 15, 17.其中是直角三角形的個(gè)數(shù)有().a. 1個(gè) b .2個(gè) c .3個(gè) d .4個(gè)(2)若三角形的三邊之比為 叵二:1 ,則這個(gè)三角形一定是()22a.等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d. 不等邊三角形(3)已知a, b, c為aabce邊，且滿(mǎn)足(a2 bj(a 2+b2 c2)=0,則它的形狀為()a.直角三角形b.等腰三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形(4)將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是()a 鈍角三角形 b. 銳角三角形 c.直角三角形 d.等腰三角形(5)若 abc勺三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2 b2 c2 200 12a

7、16b 20c,試判斷 abc的形狀(6) aabc的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數(shù)，且a+b+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為三角形為例3:求最大、最小角的問(wèn)題(1)若三角形三條邊的長(zhǎng)分別是7,24,25 ,則這個(gè)三角形的最大內(nèi)角是度。(2)已知三角形三邊的比為1： 5.2,則其最小角為考點(diǎn)三：勾股定理的應(yīng)用例題:例1:面積問(wèn)題(1)下圖是株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若正方形ab g d的邊長(zhǎng)分別是3、5、2、3,則最大正方形e的面積是(a. 13b. 26c. 47 d. 94(圖1)(圖2)(圖3)(3)如圖，abe直角三角形,分別以ab, bg ac

8、為直徑向外作半圓，用勾股定理說(shuō)明三個(gè)半圓的面積關(guān)系，可得()a. si+ s2 s3b. s 1+ s2= s3c. s2+s sid.以上都不是(2)如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別是si、&、則它們之間的關(guān)系是()a. si- s 2= s3b. si+ s2= s3c. s2+sv sid. s2- s 3=s例2:求長(zhǎng)度問(wèn)題(i)小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。(2)在一棵樹(shù)10m高的b處，有兩只猴子，一只爬下樹(shù)走到離樹(shù) 20m處的池塘a處；？另外一只爬到樹(shù)頂d處

9、后直接躍到a外，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等， 試問(wèn)這棵樹(shù)有多 高？例3:最短路程問(wèn)題(1)如圖1,已知圓柱體底面圓的半徑為高為2, ab, cd分別是兩底面的直徑，ar bc是母線，若一只小蟲(chóng)從 a點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到 c點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)度是 (結(jié)果保留根式)（圖1）(2)如圖2,有一個(gè)長(zhǎng)、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲(chóng)從頂點(diǎn) a要爬到頂點(diǎn)b,那么這只昆蟲(chóng)爬行的最短距離為（圖2）例4:航海問(wèn)題(1) 一輪船以16海里/時(shí)的速度從a港向東北方向航行，另一艘船同時(shí)以 12海里/時(shí)的速度從a港向西北方向航行，經(jīng)過(guò)1.5小時(shí)后，它們相距 海里.(2)如圖1,某貨

10、船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從 a處運(yùn)往正東方向的m處，在點(diǎn)a處 測(cè)得某島c在北偏東60。的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)b處，此時(shí)又測(cè)得該島在北偏東300 的方向上，已知在c島周?chē)?海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無(wú)暗礁危險(xiǎn)？ 試說(shuō)明理由。（圖1）(3)如圖2,某沿海開(kāi)放城市a接到臺(tái)風(fēng)警報(bào),bc方向以15km/h的速度向d移動(dòng)，已知城市a到bc的距離ad=100km那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從b點(diǎn)移到d點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在 d 點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？例5:網(wǎng)格問(wèn)題(1)如圖，正方形網(wǎng)

11、格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格上的三角形 abc中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是()a. 0 b . 1 c . 2 d . 3(2)如圖，正方形網(wǎng)格中的 abc若小方格邊長(zhǎng)為1,則 abc是()a.直角三角形b.銳角三角形c.鈍角三角形d.以上答案都不對(duì)(3)如圖，小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則四邊形abcd勺面積是()a. 25 b. 12.5c. 9d. 8.5（圖1）ca（圖3）（圖2）例6:圖形問(wèn)題(1)如圖1,求該四邊形的面積(2) (2010四川宜賓)如圖2,已知,在 abc中，/ a= 45,ac ；2ab=43+1,則邊bc的長(zhǎng)為*（圖1）(3)某公司的大門(mén)如圖所示，其中四邊形

12、a bcd是長(zhǎng)方形，上部是以ad為直徑的半圓，其中ab =2.3 m , bc =2m ,現(xiàn)有一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)， 高為2.5 m,寬為1.6 m,問(wèn)這輛卡車(chē)能否通過(guò)公司的大門(mén)？并說(shuō)明你的理由(4)將一根長(zhǎng)24 cm的筷子置于地面直徑為5 cm,圖為12 cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)為h cm,則h的取值范圍。 【培優(yōu)提高】1 .如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊 ao6 cm、bo8 cm, 現(xiàn)將aab時(shí)疊，使點(diǎn)b與點(diǎn)a重合，折痕為d則be的長(zhǎng)為 (a) 4 cm(b) 5 cm(c) 6 cm (d) 10 cmc2 .如圖所示，在 rtaabc, / c= 90 , /

13、a= 30 , bd 是/abc 的平分線，c* 5 cm,求 ab 的 長(zhǎng).3 .3 .如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形：使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、枇、亞(在圖甲中畫(huà)一個(gè)即可)；使三角形為鈍角三角形且面積為4 .下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是()a.1 , 2, 3b.2, 3, 4c.3, 4, 5d.4, 5, 65 .在abc, ab=6 ac=8 bc=10 則該三角形為()a銳角三角形b.直角三角形c.鈍角三角形.等腰直角三角形6 .已知 abc是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以rtzxabc的斜邊ac為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰 rta acd再以rtzxacd勺斜邊ad為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰 rtaadie,依此類(lèi)推，第n個(gè)等腰 直角三角形的斜邊長(zhǎng)是.7 .如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1, abc的三邊a,b,c的大小關(guān)系式:（a） acb（b） abc（c） cab（d） c b a8 .（本題滿(mǎn)分10分）問(wèn)題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球,