北師大2011版數(shù)學八年級下第一章三角形的證明教案

1、第一章三角形的證明1.等腰三角形（一）教學目標 1.知識目標：理解作為證明基礎的幾條公理的內容，應用這些公理證明等腰三角 形的性質定理；在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和熟悉證明的結論，能夠借助數(shù)學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理;基本步驟和書寫格式。2 .能力目標：經(jīng)歷 探索-發(fā)現(xiàn)-猜想-證明 ”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的 自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；鼓勵學生在交流探索中發(fā)現(xiàn)證 明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；3 .情感與價值目標：啟發(fā)引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴

2、和相互補充的辯證關系；培養(yǎng)學生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學習習慣教學重點探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法； 教學難點明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數(shù)學語言正確表達等。教學過程1、創(chuàng)設情境，引入新課提請學生回憶并整理已經(jīng)學過的8條基本事實中的5條：1.兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（sas）； 4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）; 5.三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）;在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：1

3、.（推論）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 （aas ）,并要求學生利用前面所提到的公理進行證明；2.回憶全等三角形的性質。由于有了前面的鋪墊，學生一般都能得到該推論的證明思路，但由于有了一個暑假的遺忘，可能部分學生的表述未必嚴謹、規(guī)范，教學中注意提請學生分析條件和結論，畫出簡圖，寫出 已知和求證，并規(guī)范地寫出證明過程。具體證明如下：已知：如圖，/ a= / d,/b=/e,bc=ef.求證： abca def.證明：.一/ a=/d,/b=/e （已知），又/ a+/b+/ c=180 , / d+/ e+/f=180 （三角形內角和等于 180）,./c=180 -（/a+/b

4、）,adz f=180 -（zd+ z e）,aa/ c= / f （等量代換）。j / 又 bc=ef （已知）， .abc def （asa ）。bic e f2、講述新課在提問：“等腰三角形有哪些性質？以前是如何探索這些性質的，你能再次通過折紙活動 驗證這些性質嗎？并根據(jù)折紙過程，得到這些性質的證明嗎？ ”的基礎上，讓學生經(jīng)歷這些定 理的活動驗證和證明過程。具體操作中，可以讓學生先獨自折紙觀察、探索并寫出等腰三角形 的性質，然后再以六人為小組進行交流，互相彌補不足。由于有了教師引導下學生的活動，以駕體的折紙操作，學生股都能得到有關等腰三角形的性質定理，當然，可能部分學生得到的定理并不全面

5、，在學生小組的交流中，通過同伴的 互相補充，一般都可以得到所有性質定理。當然，在教學過程中，教師應注意小組的巡視，提 醒學生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關系從而得到“三線合一”3、明晰結論和證明過程在學生小組合作的基礎上，教師通過分析、提問，和學生一起完成以上兩個個性質定理的證明，注意最好讓兩至三個學生板演證明，其余學生挑選其一證明.其后，教師通過課件匯總各小組的結果以及具體證明方法，給學生明晰證明過程。(1)等腰三角形的兩個底角相等；(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合4、隨堂練習活動內容：學生自主完成 p4第2題：如圖(圖略)，在 abd中,c是bd上的一

6、點，且ac bd, ac=bc=cd ,(1)求證： abd是等腰三角形；(2)求/ bad的度數(shù)。5、課堂小結教師注意對學生的感想進行適當?shù)囊龑?，并在學生交流的基礎上，明晰部分收獲供學生共享，如：1、具體有關性質定理；2、通過折紙活動對獲得的定理給予了嚴格的證明，為今后解決有關等腰三角形的問題提 供了豐富的理論依據(jù).3、體會了證明一個命題的嚴格的要求，體會了證明的必要性.6、課后作業(yè)p5習題1,2.教學反思91 .等腰三角形（二）教學目標 1.知識目標： 探索一一發(fā)現(xiàn)一一猜想一一證明等腰三角形中相等的線段，進一 步熟悉證明的基本步驟和書寫格式，體會證明的必要性；2 .能力目標： 經(jīng)歷“探索發(fā)

7、現(xiàn)猜想證明”的過程，讓學生進一步體會證明是探索活 動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學生提出問題的能力，拓展命題的能力，從而提高學生的學習能力和思維能力，提高學生學習的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質：對稱性，發(fā)展學生的幾何直覺；3 .情感與價值觀要求鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲.體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性.教學重點 經(jīng)歷“探索一一發(fā)現(xiàn)一一猜想一一證明”的過程。教學難點能夠用綜合法證明有關三角形和等腰三角形的一些結論.教學過程1、創(chuàng)設情境，引入新課在回憶上節(jié)課等腰三角形性質的基礎上，提出問題：在等

8、腰三角形中彳出一些線段 （如角平分線、中線、高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段 嗎？你能證明你的結論嗎 ？2、講述新課在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明?；顒又?，教師應注意給予適度的引導，如可以漸次提出問題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗證你的猜測？你能證明你的猜測嗎？試作圖，寫出已知、求證和證明過程；還可以有哪些證明方法？通過學生的自主探究和同伴的交流，學生一般都能在直觀猜測、測量驗證的基礎上探究出:等腰三角形兩個底角的平分線相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中線相等.并對這些命題給予多樣的證明。,學生得到了

9、下面的證明方法:ce是 abc的角平分線.如對于“等腰三角形兩底角的平分線相等” 已知：如圖，在 abc中，ab=ac bq 求證：bd=ce證法 1: ab=ac； / abcw acb容邊對等角）.1 1 / 1 = 2 /abc / 2=2 /abc1=/2.在4bdc和4ceb中，/ acbw abc bc=cb / 1=/ 2. .bd室 ceb（asa）bd=c等等三角形的對應邊相等 )證法2:證明：.ab=acabcw acb又. / 3=/4.在4abc和4ace中，z3=z4, ab=ac /a=/ a. .ab里 mce/sa)bd=c等等三角形的對應邊相等 ).3、議一議

10、提請學生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在 學生思考的基礎上，研究課本“議一議”：在課本圖1 4的等腰三角形 abc中，(1)如果/abd=1 /abc, z ace=1 /acb呢？由此，你能得到一個什么結論 ？34（2）如果ad=1 ac, ae=1 ab,那么bd=ce?如果ad=1 ac, ae=1 ab呢？由此你得到什么結 2233在學生解決問題的基礎上，教師還應注意揭示蘊含其中的思想方法。4、想一想提請學生在上面等腰三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質：等邊三角形三個 內角都相等并且每個內角都等于60。.已知：如圖， a abc 中，

11、ab=bc=ac .求證：/ a= / b= / c= 60 .證明：在 a abc中，ab=ac ,/ b= / c（等邊對等角）.同理：/c=/a, . / a= / b= / c （等量代換）.又.一/a+ / b+ /c=180 （三角形內角和定理），./ a= z b= zc = 605 、 隨堂練習如圖，已知 abc和 bde都是等邊三角形求證:ae=cd6 、 課時小結本節(jié)課我們通過觀察探索、 發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結論歸納出般結論。7、課后作業(yè)教學反思1 .等腰三角形（三）教學目標1 .探索等腰三角形判定定理.2 .理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行

12、簡單的證明.3 .了解反證法的基本證明思路，并能簡單應用。4 .培養(yǎng)學生的逆向思維能力。教學重點 經(jīng)歷“探索一一發(fā)現(xiàn)一一猜想一一證明”的過程，能夠用綜合法證明有關三角形和 等腰三角形的一些結論.教學難點 反證法的理解與運用.教學過程1、創(chuàng)設情境，引入新課通過問題串回顧等腰三角形的性質定理以及證明的思路，要求學生獨立思考后再進交流。問題1.等腰三角形性質定理的內容是什么？這個命題的題設和結論分別是什么？問題2.我們是如何證明上述定理的？問題3.我們把性質定理的條件和結論反過來還成立么？如果一個三角形有兩個角相等， 那么這兩個角所對的邊也相等？2、講述新課教師：上面，我們改變問題條件，得出了很多類

13、似的結論，這是研究問題的一種常用方法，除 此之外，我們還可以“反過來”思考問題，這也是獲得數(shù)學結論的一條途徑.例如“等邊對等角”，反過來成立嗎？也就是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？生如圖，在 abc中，/ b=/c,要想證明 ab=ac只要構造兩個全等的三角 形，使ab與ac成為對應邊就可以了.師你是如何想到的？生由前面定理的證明獲得啟發(fā)，比如作bc的中線，或作 a的平分線，或作bc上的高，都可以把 abc分成兩個全等的三角形.師很好.同學們可在練習本上嘗試一下是否如此，然后分組討論.生我們組發(fā)現(xiàn)，如果作 bc的中線，雖然把 abc分成了兩個三角形，但無法用公理和已證明的定理證明它們全

14、等.因為我們得到的條件是兩個三角形對應兩邊及其一邊的 對角分別相等，是不能夠判斷兩個三角形全等的.后兩種方法是可行的.師那么就請同學們任選一種方法按要求將推理證明過程書寫出來.（教師可讓兩個同學在黑板上演示，并對推理證明過程講評）（證明略）師我們用“反過來”思考問題，獲得并證明了一個非常重要的定理一一等腰三角形的判 定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.這一定理可以簡單敘述為：等角對等邊.我們 不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對稱美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學語言的對稱美.3、鞏固練習1已知：如圖，/ cae是4abc的外角，ad/ bc且/1=/2.a2d求證：ab=ac證明：.ad/ bg，/1=/b（兩直線平

15、行，同位角相等 ），/ 2=/c（兩直線平行，內錯角相等 ）.p，ab=ac等角對等邊）.“反過來”思考問題也獲得了一個數(shù)學結論.如果否定?我們一起來“想一想”：又.一/ 1=/2,b=z c.4、適時提問導出反證法我們類比歸納獲得一個數(shù)學結論， 命題的條件，是否也可獲得一個數(shù)學結論嗎小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等.你認為 這個結論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎 ？它的條件和結論都是否定的. 的證明思路和方法呢？有學生提出：“我認為這個結論是成立的.因為我畫了幾個三角形，觀察并測量發(fā)現(xiàn)，如 果兩個角不相等，它們所對的邊也不相等.但要像證明“等角對等邊”那

16、樣卻很難證明，因為”的確如此.像這種從正面人手很難證明的結論，我們有沒有別我們來看一位同學的想法：如圖，在 abc中，已知/ bwcc,此時 ab與ac要么相等， 要么不相等.假設ab=ac那么根據(jù)“等邊對等角”定理可得/ c=z b, 但已 知條件是/ bw cc. cc c=z b”與已知條件/ bw cc相矛盾， 因止匕ab ac你能理解他的推理過程嗎 ？再例如，我彳門要證明 abc中不可能有兩個直角，也可以采用這位同學的證法，假設有兩 個角是直角，不妨設/ a=90 , z b=90 ,可得/ a+/ b=180 ,但 ab/ a+/ b+/ c=180 “/a+/ b=180 ”與“

17、/ a+z b+z c=180 ”相矛盾，因此 abc 中不可能有兩個直角.引導學生思考：上一道面的證法有什么共同的特點呢？引出反證法。都是先假設命題的結論不成立，然后由此推導出了與已知或公理或已證明過的定理相矛 盾，從而證明命題的結論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法.接著用“反過來”思考問題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對等邊”， 最后結合實例了解了反證法的含義.5、拓展延伸在一節(jié)課結束之際，為培養(yǎng)學生思維的綜合性、靈活性特安排了2個練習。一個是通過平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過線段的轉換求圖形的周長。另一個是一個開放性的 問題，考察學生多角度多

18、維度思考問題的能力。學生在獨立思考的基礎上再小組交流。2.現(xiàn)有等腰三角形紙片，如果能從一個角的頂點出發(fā) ，將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形 紙片，問此時的等腰三角形的頂角的度數(shù) ？6、課堂小結（1）本節(jié)課學習了哪些內容？ （2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？ （3）結合本節(jié)課的學習，談談等腰三角形性質和判定的區(qū)別和聯(lián)系.（4）舉例談談用反證法說理的基本思路7、課后作業(yè)教學反思1. 等腰三角形（四）教學目標 1 知識目標理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30o 角的直角三角形性質及其證明，并能利用這兩個定理解決一些簡單的問題。2 能力目標 經(jīng)歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程

19、，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思維 經(jīng)歷實際操作， 探索含有 30o 角的直角三角形性質及其推理證明過程， 發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力； 在具體問題的證明過程中， 有意識地滲透分類討論、 逆向思維的思想， 提高學生的能力。3情感與價值觀要求 積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲 在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學重點 等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明 . 含30角的直角三角形的性質定理的發(fā)現(xiàn)與證明.教學難點 含 30角的直角三角形性質定理的探索與證明 . 引導學生全面、周到地思考問題 .教學過程1、創(chuàng)設情境，引入新課教師回顧前面等腰三角形的性質和判

20、定定理的基礎上， 直接提出問題： 等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形， 具有哪些性質呢？又如何判別一個三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。在老師的引導下，一般學生都能得出等邊三角形的性質；對于等邊三角形的判別，學生可能會出現(xiàn)多種情況，如直接從等邊三角形性質出發(fā)，當然也可能有學生考慮分步進行，現(xiàn)確定它是等腰三角形，再增補條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時提出問題：如果已知一個三角形是等邊三角形的基礎上，如何確定它是等邊三角形呢？下面是實際教學中的部分師生活動實況：生 等腰三角形已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊三角形生等邊三角形的三個內角都相等，且分別都等

21、于60 我認為等腰三角形的三個內角都等于 60 ，等腰三角形就是等邊三角形了（此時，部分同學同意此生的看法，部分同學不同意此生的看法，引起激烈地爭論教師可讓同學代表充分發(fā)表自己的看法 ）生 我不同意這位同學的看法因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角形根據(jù)等角對等邊，三個內角都是60 ，所以它們所對的邊一定相等但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費！師給三個角都是60 ,這個條件的確有點浪費，那么給什么條件不浪費呢？下面同學們可在小組內交流自己的看法.（2）你認為有一個角等于 60 的等腰三角形是等邊三角形嗎 ？你能證明你的結論嗎？把你的

22、證 明思路與同伴交流.（教師應給學生自主探索、思考的時間）2、講述新課學生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報各自的結論，教師適時要求學生給出相對規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導學生總結出下表：性質判定的條件等腰三角形 （含等邊三 角形）等邊對等角等角對等邊三線合一 ”即等腰三角 形頂角平分線，底邊上 的中線、局互相重合布角是60等邊三角形三個角都相等，且每個角都是 60三個角都相等的三角 形是等邊三角形活動注意事項與效果：由于有了第1環(huán)節(jié)的鋪墊，學生多能探究出：頂角是60。的等腰三角形是等邊三角形；底角是60。的等腰三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三

23、角形； 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。對于前兩個定理的形式相近，教師可以進一步提出要求：能否用更簡捷的語言描述這個結論嗎？從而引導學生得出：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。在學生得出這些結論的基礎上，教師注意引導學生說明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴格的證明，由于“有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形”的證明需要分類討論，因此，可以以此問題作為對學生證明的要求，并與同伴交流證明思路.并要求學生思考 證明中的注意事項，從而點明其中的分類思想，提請學生注意：思考問題要全面、周到.3、議一議教師直接提出問題：我們還學習過直角三角形，今天我們研究一個特殊的直角三角形：含3

24、0。角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30。角的兩個三角尺，你能拼成一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎 ？在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關系，有哪些線段存在倍數(shù)關系，你能 得到什么結論？說說你的理由.學生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個圖形是等邊三角形， 對于該圖學生也可以得1 出bd=2 ab ,從而得出：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于 斜邊的一半.注意，教學過程中，教師應注意引導學生說明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具體 的說明過程可以如下：方法1:因為 abdacd,所以 ab=ac .又因為 rt abd 中，/ bad

25、=60 ,所以 z abd=60 ,有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形.方法 2 :圖（1）中，/b=/c=60 , zbac= / bad+ / cad=30 +30 =60 ,所以 / b= / c= / bac=60 ,即abc是等邊三角形.如果學生不能很快得出30度所對直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標出各個字母，并要求學生思考其中哪些線段直接存在倍數(shù)關系，并在將三角板分開，思考從中可以得到什么結 論。然后在學生得到該結論的基礎上，再證明該定理。定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.已知：如圖，在 rtaabc 中，/ c=90 , / ba

26、c=30 .求證：bc= 2 ab .cd=bc ,連接 ad .分析：從三角尺的拼擺過程中得到啟發(fā)，延長 bc至d, 證明：在 abc 中，/ acb=90 , / bac=30 z b=60 . 延長bc至d,使cd=bc ,連接ad（如圖所示）. / acb=90 / acb=90 ac=ac , . abca adc（sas）.ab=ad（全等三角形的應邊相等）. abd是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是 等邊三角形）.bc=1 bd=1 ab . 224、變式訓練 鞏固新知活動1:直接提請學生思考剛才命題的逆命題：在直角三30。嗎？如果是,請角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一

27、半，那么這條直角邊所對的銳角等于 你證明它.在師生分析的基礎上，給出證明：1已知：如圖，在 rtaabc 中，/ c=90 , bc=2 ab .求證：/ bac=30證明：延長 bc至d,使cd=bc , / acb=90 ,/ acd=90 .又 ac=ac .acbaacd(sas).ab=ad .11又 bc=2 ab , ab=bd .連接ad.- cd=bc , bc= 2 bd .，ab=ad=bd ,即abd是等邊三角形. ./ b=60 ,在 rtaabc 中，/ bac=30 .注意事項：該命題的證明中輔助線較復雜，但恰有前面原命題探究活動過程的鋪墊，可以 給學生一些啟示，

28、因此，教學中，教師可以引導學生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中 能否得到啟示？活動2 :呈現(xiàn)例題，在師生分析的基礎 上，運用所學的新定理解答例題。例題等腰三角形的底角為 15。，腰長為 2a,求腰上的高cd的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在 rtaadc中, ac=2a而/ dac 是 abc 的一個外角，而 /dac* 15=30,根據(jù)在直角三角形中，30角所對的直角邊是斜邊的一半，可求出 cd.解：. / abc= / acb=15 / dac= / abc+ / acb=15 +15 =301 1 cd=2 ac=2 x2a= a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30 ,那么它所對的直角

29、邊等于斜邊的一半）.5、課時小結讓學生對課堂學習進行小結，注意總結具體的知識、結論，以及解決問題的方法和蘊含其 中的思想，如分類討論思想、逆向思維等 6、課后作業(yè) 教學反思ii第一章三角形的證明2 .直角三角形（一）教學目標：（1）掌握直角三角形的性質定理（勾股定理）及判定定理的證明方法， 并能應用定理解決與直角三角形有關的問題。（2）結合具體例子了解逆命題的概念， 會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.（3）進一步經(jīng)歷用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā)展抽象思 維.進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力.教學重點：了解勾股定理及其逆定理的

30、證明方法. 結合具體例子了解逆命題的 概念，識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.教學難點：勾股定理及其逆定理的證明方法.教學過程1、創(chuàng)設情境，引入新課通過問題1,讓學生在解決問題的同時，回顧直角三角形的一般性質。cm, cbi ab, bicaci,垂足分別是 解：在 rtaabc 中，/ cab=30 ,bi、ci,那么bc的長是多少？ bici呢？ab=10 cm ,問題1一個直角三角形房梁如圖所示，其中 bcxac, /bac=30 , ab=10“11 .bc = 2ab=2 m0=5 cm.,. cbixab , .b+/bcbi = 90又. / a+/b = 9

31、0 ./ bcbi =/a = 30115在 rtaacbi 中，bbi = 2 bc = 2/=2 cm = 2. .ab1 =ab =bbi= 102.5=7.5（cm）. ,在 rtzxciabi 中，/a = 30-11_一，、.bici =2 abi = 2 x 7.5=3.75（cm）.解決這個問題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30角的直角三角形的性質”.由 此提問：“一般的直角三角形具有什么樣的性質呢 ？”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導出的定理，能夠證明勾股定理嗎？請同學們打開課本p16,閱讀饃一讀”，了解一下利

32、用教科書給出的公理和推 導出的定理，證明勾股定理的方法.2、講述新課閱讀完畢后，針對“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二 種方法請有興趣的同學課后閱讀.（1） .勾股定理及其逆定理的證明.已知：如圖，在 abc 中，/c=90, bc = a, ac = b, ab=c.求證：a2+b2 = c2.證明：延長 cb至d,使bd = b,作/ ebd = /a,并取be = c,連接ed、 ae（如圖），則abcbed. ./bde=90, ed = a（全等三角形的對應角相等，對應邊 相等）.一四邊形acde是直角梯形. .s 梯形 acde=2 （a+b）（a+b） = 2

33、（a+b）2.180 0 (/abc + / ebd) = 180 90 ./abe =.saabe1 2=2 c- s 梯形 acde = sabe+sabc+s3ed .2 (a+b) 2 = 即1 a2 + ab + a2+b2=c22 c2 +1 .22 b =2 ab + 2 ab,1 c2 + ab,90 , ab = be.教師用多媒體顯示勾股定理內容，用課件演示勾股定理的條件和結論，并強 調.具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾 用度量的方法得出 這個三角形是直角三角形”的結論.你能證

34、明此結論嗎？師生共同來完成.已知：如圖：在 abc中，ab2+ac2=bc2求證：4abc是直角三角形.分析：要從邊的關系，推出/ a = 90。是不容易的, 如果能借助于 abc與一個直角三角形全等，而得到 / a與對應角（構造的三角形的直角）相等，可證.證明：作 rta b c使/a=90 , a 必ab,a c ac（如圖）,則a b+a c.（勾股定理）. ab2 + ac2=bc2, a 故ab, a c .bc2=b c .bc = b c .abc a b csss） ./a = /a= 90 （全等三角形的對應角相等）.因此， abc是直角三角形.總結得勾股逆定理：如果三角形兩

35、邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三 角形是直角三角形.（ 2） 互逆命題和互逆定理觀察上面兩個命題，它們的條件和結論之間有怎樣的關系?在前面的學習中還有類似的命題嗎 ?通過觀察，學生會發(fā)現(xiàn)：上面兩個定理的條件和結論互換了位置， 即勾股定理的條件是第二個定理的結論，結論是第二個定理的條件這樣的情況，在前面也曾遇到過例如 “兩直線平行，內錯角相等” ，交換條件和結論，就得到 “內錯角相等，兩直線平行” 又如“在直角三角形中，如果一個銳角等于30 ， 那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半” 交換此定理的條件和結論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30

36、 ” 。3、議一議觀察下面三組命題： 學生以分組討論形式進行， 最后在教師的引導下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學生暢所欲言， 體會逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系， 要能夠清晰地分別出一個命題的題設和結論，能夠將一個命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠寫出一個命題的逆命題?；顒又校處煈⒁饨o予適度的引導，學生若出現(xiàn)語言上不嚴謹時，要先讓這個疑問交給學生來剖析，然后再總結。活動時可以先讓學生觀察下面三組命題：如果兩個角是對頂角，那么它們相等如果兩個角相等，那么它們是對頂角如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎三角形中相等的邊所對的角相等三角形中相等的角所對的邊相等上

37、面每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎?與同伴交流不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個命題的條件是第一個命題的結論，第二個命題的結論是第一個命題的條件在兩個命題中，如果一個命題條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題， 其中一個命題稱為另一個命題的逆命題， 相對于逆命題來說，另一個就為原命題再來看 “議一議” 中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個命題為原命題，另一個則為逆命題請同學們判斷每組原命題的真假逆命題呢 ?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第三組中，原命題和逆命題都是真命題由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是

38、真命題，而逆命題不一定是真命題4、想一想要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結論，然后把結論變換成條件，條件變換成結論，就得到了逆命題請學生寫出命題 “如果兩個有理數(shù)相等， 那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們 都是真命題嗎？從而引導學生思考：原命題是真命題嗎 ?逆命題一定是真命題嗎 ? 并通過具體的實例說明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?.其中逆命題成為原命題(即原定理) 的逆定理能舉例說出我們已學過的互逆定理?如我們剛證過的勾股定理及其逆定理， “兩直線平行， 內錯角相等”與 “內錯角相等，兩直線平行” “全等三角形對應邊相等”和 “三

39、邊對應相等的三角形全等”、 “等邊對等角 ”和 “等角對等邊”等5、隨堂練習說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假;(1) 四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內旁內角互補；(3)如果 ab=0,那么 a=0, b = 0 分析 互逆命題和互逆定理的概念，學生接受起來應不會有什么困難，尤其是對以如果那么”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對于那些不是以這種形式給出的命題， 敘述其逆命題有一定困難 可先分析命題的條件和結論，然后寫出逆命題解： (1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2)同旁內角互補，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3)如果a= 0, 6 = 0,那么ab=

40、 0.原命題是假命題，而逆命題是真命題.6、課時小結這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法， 并結合數(shù)學和生活中的例子了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進一步發(fā)展了演繹推理能力7、課后作業(yè)習題 1 5第 1、 2、 3、 4題教學反思29第一章 三角形的證明2直角三角形（二）教學目標：能夠證明直角三角形全等的“hl的判定定理，進一步理解證明的必要性；利用hl定理解決實際問題。3進一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力。教學重點：能夠證明直角三角形全等的 “hl的判定定理教學難點：.利用“hl定理解決實際問題教學過程1、復習提問（

41、1）判斷兩個三角形全等的方法有哪幾種？（ 2）已知一條邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同學們相 互交流。（ 3）有兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？如果其中一個角是直角呢？請證明你的結論。我們曾從折紙的過程中得到啟示， 作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出 “等邊對等角” 。那么我們能否通過作等腰三角形底邊的高來證明 “等邊對等角 ” 要求學生完成，一位學生的過程如下：已知：在 abc中，ab=ac .求證：/ b= / c .證明：過a作adlbc,垂足為c, ./adb=/adc=90又ab=ac , ad=ad ,.a

42、bdaacd .zb =/c （全等三角形的對應角相等）在實際的教學過程中，有學生對上述證明方法產(chǎn)生了質疑。質疑點在于“在證明abdzxacd時，用了 兩邊及其中一邊的對角對相等的兩個三角形全等 ” 而我們在前面學習全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的.可以畫圖說明.（如圖所示在abd和4abc 中，ab=ab , / b=/b, ac=ad ,但 abd 與4abc 不全等）”.也有學生認同上述的證明。教師順水推舟，詢問能否證明： “在兩個直角三角形中，直角所對的邊即斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 ” ，從而引入新課。2、引入新課

43、（1）. “hls理.由師生共析完成已知：在 rtaabc 和 rta b c, / c=z c =90； ab=a b, bc=b c.求證：rtabc wrta b c證明：在rtzxabc中，ac=ab 2 bc2(勾股定理). 又丁在 rta a b c中,a c =ac=ab2 一 bc2 (勾股定理).ab=ab , bc=bc, ac=ac. rtaabc 0 rtaabc (sss).教師用多媒體演示：定理斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直 角三角形全等.這一定理可以簡單地用 斜邊、直角邊或“hl 表示.從而肯定了第一位同學通過作底邊的高證明 兩個三角形全等，從而得到 等邊對等角

44、”的證法是 正確的.3、練習：判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等；(2)斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等；(3)兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；(4) 一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等.對于(1)、(2)、(3) 一般可順利通過，這里教師將講解的重心放在了問題 (4), 學生感覺是真命題，一時有無法直接利用已知的定理支持，教師引導學生證明.bc=bc, bd、bd分別是已知：raabc 和 rtaab c, /c=/c=90 ac、ac邊上的中線且 bd bd（如圖）.求證：rtaabcrtaabc.證明：在

45、rtzxbdc 和 rtzxbdc中，v bd=bd,bc=bc, rtabdcrtab d c （hl 定理）.cd=cd.又ac=2cd, a c=2cd, . . ac=ac.二在 rtaabc 和 rtaa b c 中，. bc=bc, /c=/c=90 ； ac=ac, rtaabc cortaabc(sas).通過上述師生共同活動，學生板書推理過程之后可發(fā)動學生去糾錯，教師最后再總結。4、議一議如圖，已知/ acb=/bda=90 ,要使acbwbda,還需要什么條件？把它 們分別寫出來.這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學過的定理， 觀察圖形，積極思考，并

46、在獨立思考的基礎上，通過同學之間的交流，獲得各種不同的答案.（教師一定要提供時間和空間，讓同學們認真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn)）5、例題學習如圖，在 abcwabc中，cd, cd=cd. / acb=/acb.求證： abcabc.分析：要證 abcaabc,由已 知中找到條件：一組邊 ac=ac, 一組角 zacb=z acb,如果尋求 / a=/a,就 可用asa 證明全等；也可以尋求么 /b=/b,這樣就有aas ;還可尋求cd分別分別是高，并且ac = ac,bc=bc,那么就可根據(jù)sas.注意到題目中，通有cd、cd是三角形的高，cd=cd.觀察圖形，這里有三對三角形應該是全等的，且

47、題目中具備了hl定理的條件，可證的rtaadcrtaadc,因此證明/ a=/a就可行.證明：:cd、cd分別是 abc abc的高（已知），丁. / adc= / adc=90 :在 rtaadc 和 rtzxadc中，ac=ac（已知），cd=cd（已知），rtaadc rtaadc （hl）./a=/a,（全等三角形的對應角相等）.在 4abc 和abc中，/ a=/a（已證），ac=ac（已知），/ acb=/acb （已知），.abcaabc （asa）.問題 你能用三角尺平分一個已知角嗎 ？請同學們用手中的三角尺操作完 成，并在小組內交流，用自己的語言清楚表達自己的想法.（設計做一

48、做的目的為了讓學生體會數(shù)學結論在實際中的應用，教學中就要求學生能用數(shù)學的語言清楚地表達自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。）6、課時小結本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應相等的兩個三角形 不一定全等.而當一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直 的問題，不僅進一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學們演繹推理的能力.同 學們這一節(jié)課的表現(xiàn)，很值得繼續(xù)發(fā)揚廣大.角三角形全等的特殊方法hl定理，并用此定理安排了一系列具體的、開放性7、課后作業(yè)習題1. 6第3、4、5教學反思第一章三角形的證明3.線段的垂直平分線（一）教學目標：1.證明線段垂直平分線的性質定里

49、和判定定理.2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明能力.豐富對幾何圖形的認識。3.通過小組活動，學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果教學重點、難點:重點是運用幾何符號語言證明垂直平分線的性質定理及其逆命題。 難點是垂直平分線的性質定理在實際問題中的運用。教學過程第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，a、b表示兩個倉庫，要在 a、b 一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置 ？/ *其中到兩個倉庫的距離相等”，要強調這幾個字在題中有很重要的作用.r線段是一個軸對稱圖形，其中線段的垂直*平分線就是它的對稱軸.我們用折紙的方法，_

50、 j一一一根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分一 一_ 線的一個性質：線段垂直平分線上的點到線段廠_兩個端點的距離相等.所以在這個問題中，要廠：一一求在“a、b 一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質就能完成.進一步提問：“你能用公理或學過的定理證明這一結論嗎 ？” 第二環(huán)節(jié)：性質探索與證明教師鼓勵學生思考，想辦法來解決此問題。通過討論和思考，引導學生分析并寫出已知、求證的內容。已知：如圖，直線 mn xab,垂足是c,且ac=bc, p是mn上的點.求證：pa=pb.分析：要想證明pa=pb,可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等.證明：; mn ab,m .

51、/ pca=/pcb=90pi. ac=bc, pc=pc,t.pcaapcb（sas）.;/ipa=pb（全等三角形的對應邊相等）.k cf b教師用多媒體完整演示證明過程.i n第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定你能寫出上面這個定理的逆命題嗎 ？它是真命題嗎？這個命題不是 如果 那么”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結論，將原命題寫 成 如果那么”的形式，逆命題就容易寫出.鼓勵學生找出原命題的條件和 結論。原命題的條件是有一個點是線段垂直平分線上的點結論是這個點到線段 兩個端點的距離相等此時，逆命題就很容易寫出來.“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平

52、分線上.”寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則需 用反例說明.引導學生分析證明過程，有如下四種證法：證法一：已知：線段ab,點p是平面內一點且 pa=pb.求證：p點在ab的垂直平分線上.pc=pc,證明：過點p作已知線段ab的垂線pc,pa=pb, rtapacrtapbc（hl 定理）. . ac=bc ,即p點在ab的垂直平分線上.證法二：取ab的中點c,過pc作直線. ap=bp, pc=pc.ac=cb, .apgzxbpc（sss）. . / pca= / pcb（全等三角形的對應角相等）.又. / pca+/pcb=180 , ./pca=/pcb=

53、/90,即 pcx ab . p點在ab的垂直平分線上.證法三：過p點作/ apb的角平分線. ap=bp, /1 = /2, pc=pc, apcabpc（sas）.；ac=bc, / pca=/pcb（全等三角形的對應角相等，對應邊相等 ）.又. / pca+ / pcb=180/ pca=/ pcb=90.p點在線段ab的垂直平分線上.從同學們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質定理的逆命題是真命題, 我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理. 第四環(huán)節(jié)：鞏固應用在做完性質定理和判定定理的證明以后，引導學生進行總結：（1）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個端點距離相等的所有點的集合。（2）到一條線段兩個端點的距離相等個點在這條線段的垂直平分線上.因此 只需做出這樣的兩個點即可做出線段的垂直平分線。例題：已知：如圖1-18,在 4abc 中，ab = ac, o是 4abc內一點，且 ob =oc.求證：直線 ao垂直平分線段bc證明：v ab = ac,點a在線段bc的垂直平分線上（到一條線 段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.b c同理，點o在線段bc的垂直平分線上.直線ao是線段bc的垂直平分線（兩點確定 一條