圓的對稱性(第一課時)

1、精品資源3. 2圓的對稱性課時安排2 課時從容說課圓是一種特殊的圖形，它既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.學生已經(jīng)通過前面的學習，能用折疊的方法得到圓是一個軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.同時結(jié)合圖形讓學生認識一些和圓相關(guān)的概念.本節(jié)課的重點是垂點定理及其逆定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理.本節(jié)課的難點是垂點定理及其逆定理的證明與“圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理”中的“在同圓或等圓”的前提條件的理解及定理的證明.第二課時課 題3.2.1 圓的對稱性（一）教學目標（一）教學知識點1 .圓的軸對稱性.2 .垂徑定理及其逆定理.3 .運用垂徑定理及其逆定理進行有關(guān)的計算和證明

2、.（二）能力訓練要求1 .經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法.2 .培養(yǎng)學生獨立探索，相互合作交流的精神.（三）情感與價值觀要求通過學習垂徑定理及其逆定理的證明，使學生領(lǐng)會數(shù)學的嚴謹性和探索精神，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和積極參與的主動精神.教學重點垂徑定理及其逆定理.教學難點垂徑定理及其逆定理的證明.教學方法指導探索和自主探索相結(jié)合.教具準備投影片兩張：第一張：做一做（記作 3. 2. 1 a）第二張：想一想（記作 3. 2. 1 b）教學過程i .創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課，師前面我們已探討過軸對稱圖形，哪位同學能敘述一下軸對稱圖形的定義？，生如果一個

3、圖形沿著某一條直線折疊后。直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸.師我們是用什么方法研究了軸對稱圖形 ？生折疊.師今天我們繼續(xù)用前面的方法來研究圓的對稱性.n.講授新課師同學們想一想：圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對 稱軸？生圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，有無數(shù)條對稱軸.師是嗎？你是用什么方法解決上述問題的 ？大家互相討論一下.生我們可以利用折疊的方法， 解決上述問題.把一個圓對折以后，圓的兩半部分重合, 折痕是一條過圓心的直線，由于過圓心可以作無數(shù)條直線，這樣便可知圓有無數(shù)條對稱軸.師很好.教師板書：圓是軸對稱圖形圖形，

4、對稱軸是任意一條過圓心的直線.下面我們來認識一下弧、弦、直徑這些與圓有關(guān)的概念.1 .圓?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧 (arc).2 .弦:連接圓上任意兩點的線段叫做弦(chord).3 .直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑 (diameter).如右圖。以a、b為端點的弧記作 ab,瀆作“圓弧ab或“弧ab”; 線段ab是。的一條弦，弧 cd是。o的一條直徑.注息：1 .弧包括優(yōu)弧(major arc)和劣弧(minor are),大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.如上圖中，以a、d為端點的弧有兩條：優(yōu)弧acdg己彳acd),劣弧abd己作ad).半圓，圓的任意一條直徑的兩個端點

5、分圓成兩條弧，每一條弧叫半圓弧， 簡稱半圓.半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧.2 .直徑是弦，但弦不-一定是直徑.下面我們一起來做一做：(出示投影片 3. 2. 1 a)按下面的步驟做一做：1 .在一張紙上任意畫一個。 0,沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的 兩半部分重合.2 .得到一條折痕cd3 .在。o上任取一點a,過點a作c所痕的垂線，得到新的折痕，其中, 點m是兩條折痕的交點，即垂足.4 .將紙打開，新的折痕與圓交于另一點b,如上圖師老師和大家一起動手.(教師敘述步驟，師生共同操作 )師通過第一步，我們可以得到什么 ？生齊聲可以知道：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線

6、是它的對稱軸.師很好.在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧？ 生我發(fā)現(xiàn)了，amh bm弧ac或bc哪ad bd.師為什么呢？生因為折痕am與bm互相重合，a點與d點重合.師還可以怎么說呢？能不能利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系？師生共析如右圖示，連接 oa ob得到等腰4 oab即oa= ob因cdl ab,故 oamobmtb是rta,又omk/公共邊，所以兩個直角三角形全等，則amhbm又o o關(guān)于直徑cd對稱，所以 a點和b點關(guān)于cd對稱，當圓?&著直徑 cd 對折時，點a與點b重合，弧ac與弧bc重合.因此am=bm弧ac或bc瓠ad= 弧bd.師在上述操作過程中，

7、你會得出什么結(jié)論生垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.師同學們總結(jié)得很好.這就是利用圓的軸對稱性得到的與圓相關(guān)的一個重要性質(zhì)一 垂徑定理.在這里注意：條件中的“弦”可以是直徑.結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所 對的劣弧、優(yōu)弦.下面，我們一起看一下定理的證明：（教師邊板書，邊敘述）如上圖，連結(jié) oa or則oa= ob在 rta oamfd rtaobm,oa=ob om= omrtoa陣 rtaobm. a隹 bm，點a和點墨關(guān)于 cd對稱.oo關(guān)于直徑cd對稱，當圓沿著直徑 cd對折時，點a與點b重合，弧a*弧bc重合，弧ad與弧bd重合. ac=a bc,弧 ad與弧 bd重合師為了

8、運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，易于記憶，可將原定理敘述為：一條直線若滿足：（1） 過圓心；（2）垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧，平分弦所對的劣 弧.即垂徑定理的條件有兩項，結(jié)論有三項.用符號語言可表述為：如圖37,在o。中，am=bm,cd是直徑 y 弧 ad哪 bd,cdl ab于 mjac= 弧 bc.下面，我們通過求解例1,來熟悉垂徑定理：例1如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧 （即圖中弧cq點。是弧cd的圓心）, 其中cd=600m e為弧cd上一點，且。且cd，垂足為f, ef=90 m.求這段彎路的半徑.師生共析要求彎路的半徑，連結(jié) oc只要求出oc的長便可以了.因

9、為已知oel cd所以cf= 1 cd= 300 cm, of= oe-ef,此時就得到了一個 rtacfco哪位同學能口述一下如何求 2解？生連結(jié)oc,設(shè)彎路的半徑為 rm則of = （r-90）m，: oel cdcf= cd=x 600=300（m）.據(jù)勾股定理，得oc 2=cp+of,即 r2= 3002+（r-90） 2.解這個方程，得 r= 545.這段彎路的半徑為 545 m.師在上述解題過程中使用了列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問題，這種思想應在今后的解題過程中注意運用.隨堂練習：p92.1 .略下面我們來想一想（出示投影片 3. 2. 1 b）如下圖示，ab是o。的弦（不是

10、直徑），作一條平分 ab的直徑c口交ab于點 m 師右圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對稱軸是什么 ？ 生它是軸對稱圖形，其對稱軸是直徑 cd所在的直線.7 1 j師很好，你是用什么方法驗證上述結(jié)論的 ？大家互相交流討論一下，（ ）你還有什么發(fā)現(xiàn)？ 生通過折疊的方法，與剛才垂徑定理的探索方法類似，在一張紙上畫一個。0,作一條不是直徑的弦 ab,將圓對折，使點 a與點d重合，便得到一條折痕 cd與 弦ab交于點m. cd就是。0的對稱軸，a點、b點關(guān)于直徑cd對稱.由軸又稱可知， abx cd弧ac瓠bc,弧ad哪bd師大家想想還有別的方法嗎 ？互相討論一下. 生如上圖，連接 0a 0b便可得到一個

11、等腰 0ab即0a= or又amk mb即m點為 等腰 oab底邊上的中線.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知cdab,又cd是。0的對稱軸，當圓沿cd對折時，點a與點b重合，弧ac與弧bc重合，弧ad與弧bd重合.師在上述的探討中，你會得出什么結(jié)論 ？生平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧.師為什么上述條件要強調(diào)“弦不是直徑”？生因為圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的.師我們把上述結(jié)論稱為垂徑定理的一個逆定理.師同學們，你能寫出它的證明過程嗎 ？ 生如上圖，連結(jié) 0a 0b則0a= 0b.在等月0ab中， amh mb.cd!ab（等腰三角形的三線合一）.。0關(guān)

12、于直徑cd對稱.，當圓沿著直徑 cd對折時，點a與點b重合，弧ac與弧bc重合，弧ad與弧bd重合.弧ac或bc,弧ad哪bd師接下來，做隨堂練習：p922 .如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？答：相等.；理由：如右圖示，過圓心 0作垂直于弦的直徑 ef,由垂徑定理設(shè)弧af哪bf,弧cf哪df,用等量減等量差相等，得弧af-弧cf哪：bf-弧df,即弧ac或bd,故結(jié)論成立.符合條件的圖形有三種情況：（1）圓心在平行弦外，（2）在其中一條線弦上，（3）在平行弦內(nèi)，但理由相同.m.課時小結(jié)1 .本節(jié)課我們探索了圓的對稱性.2 .利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理.

13、3 .垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等 問題.w.課后作業(yè)（一）課本 p93,習題 3. 2, 1、2（ 二）1 .預習內(nèi)容：p94974 .預習提綱：(1) 圓是中心對稱圖形.(2) 圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.v.活動與探究1 .銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道.如圖所示，污水水面寬度為60 cm,水面至管道頂部距離為10 cm,問修理人員應準備內(nèi)徑多大的管道 ？過程讓學生在探究過程中，進一步把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問 題，掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理基本結(jié)構(gòu)圖，進而發(fā)展學生的 思維. 結(jié)果如右圖示，連結(jié) oa過。作ohab,垂足為e,交圓于f,則_ 1ae=ab=30cm 令o。的半徑為 r,則 oa=r oe= of-ef= r-10,在2rtmeo中,oa=ae2+oe,即 r2=302+(r-10) 2.解得 r=50 cm.修理人 員應準備內(nèi)徑為100 cm的管道.板書設(shè)計1.1.1 圓的對稱性(一)一、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直徑.二、與圓有關(guān)的概念：1 .圓弧2 .弦3 .直徑 注意：弧包括優(yōu)弧、劣弧、半圓. 三、垂徑定理：垂直干弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧. 例1 :略四、垂徑定理逆定理：平分弦 (不是直徑)的直徑垂直