上海市虹口區(qū)2021屆高三下學(xué)期4月第二次模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（含答案）

1、2021屆上海市虹口區(qū)高三下學(xué)期4月第二次模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題 （時間120分鐘，滿分150分） 2021.4一填空題（16題每小題4分，712題每小題5分，本大題滿分54分）1已知集合，則 2_.3在的二項展開式中，常數(shù)項是 4某班級要從4名男生和3名女生中選取3名同學(xué)參加志愿者活動，則選出的3人中既有男生又要有女生的概率等于 5給出下列命題：若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相平行；若一條直線平行于一個平面，另一條直線與這個平面垂直，則這兩條直線互相垂直其中所有正確命題的序號為 6已知為拋物線上一點，點到拋物線的焦點的

2、距離為7，到軸的距離為5，則 7若，則的值等于 （用表示）8設(shè)函數(shù)的定義域為.若對于內(nèi)的任意,，都有，則稱函數(shù)為“Z函數(shù)”.有下列函數(shù)：；.其中“Z函數(shù)”的序號是 （寫出所有的正確序號）9已知直三棱柱的各棱長都相等，體積等于()若該三棱柱的所有頂點都在球的表面上，則球的體積等于_().10在平面直角坐標(biāo)系中，定義，兩點的折線距離.設(shè)點，若，則的取值范圍 11已知為圓的一條直徑，點的坐標(biāo)滿足不等式組，則的取值范圍是 12在數(shù)列中，對任意，當(dāng)且僅當(dāng)，若滿足，則的最小值為_. 二選擇題（每小題5分，滿分20分）13雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（ ） 14已知函數(shù)，則“”是“為偶函數(shù)”的（ ）條

3、件充分非必要條件 必要非充分條件 充要條件 既非充分也非必要條件 15復(fù)數(shù)滿足，且使得關(guān)于的方程有實根，則這樣的復(fù)數(shù)的個數(shù)為（ ） 1個 2個 3個 4個16在平面上，已知定點，動點當(dāng)在區(qū)間上變化時，動線段所形成圖形的面積為（ ） 三解答題（本大題滿分76分）17（本題滿分14分.第（1）小題7分，第（2）小題7分.）在三棱錐中，是線段的中點，是線段的中點（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的大小18（本題滿分14分.第（1）小題7分，第（2）小題7分.）設(shè)且，已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍19（本題滿分14分.第（1）小題6分，第（2）小題

4、8分.）如圖某公園有一塊直角三角形的空地，其中，長千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域建文化景觀區(qū)，其中、分別在、上設(shè).（1） 若，求的邊長； （2）當(dāng)多大時，的邊長最?。坎⑶蟪鲎钚≈?20（本題滿分16分.第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）已知橢圓的方程為.（1） 設(shè)是橢圓上的點，證明：直線與橢圓有且只有一個公共點；（2）過點作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為、，點在直線上的射影為點，求點的坐標(biāo)；（3）互相垂直的兩條直線與相交于點，且、都與橢圓只有一個公共點，求點的軌跡方程21（本題滿分18分.第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）.若數(shù)列

5、滿足“對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)” （1）判斷各項均等于的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，并說明理由；（2）若公比為的無窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，求首項的值；（3）若首項的無窮等差數(shù)列具有“性質(zhì)”，求公差的值.虹口區(qū)2020學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試高三數(shù)學(xué)試題答案1. 填空題（16題每小題4分，712題每小題5分，本大題滿分54分）1. ； 2. 1； 3. 20； 4. ； 5. ； 6. 4； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. 512； 二. 選擇題（每小題5分，滿分20分）13.； 14.； 15.； 16.；三. 解答題（本大

6、題滿分76分）17.（14分）解:（1）由，有，從而有， 且.3分又是邊長等于的等邊三角形， ， .又 ，從而有 ，.又，平面.7分（2） 過點作交于點，連.由（1）知平面，得，又，平面，是直線與平面所成的角.10分 由（1）證，從而為線段的中點，. 所以直線與平面所成的角的大小等于.14分注：用空間向量解答的相應(yīng)給分18.（14分）解：(1)，不等式可化為若，則，解得，不等式的解集為.若，則，解得，不等式的解集為.綜上所述：，的解集為；，的解集為.7分（2）.8分令，即，；.11分設(shè)， 得：，解得.14分19.（14分）解：（1）設(shè)的邊長為千米.由，得，.在中，為等邊三角，得,解得.所以的邊

7、長等于千米. 6分 （2）設(shè)的邊長為千米.，8分在中，解得，當(dāng)，時，.13分所以當(dāng)時，的邊長取得最小值為千米.14分20.（16分）解：解：（1）當(dāng)時，直線即直線，與橢圓只有一個公共點.當(dāng)時，由得，又，有，從而方程組只有一組解，直線與橢圓的有且只有一個公共點.4分（2）設(shè)，.則兩條直線為，又是它們的交點，從而有，的坐標(biāo)滿足直線方程，所以直線：.8分直線的方程為，由解得，即，10分由得，由，得，得，相應(yīng)的給分）（3）設(shè).當(dāng)直線與有一條斜率不存在時，.11分當(dāng)直線與的斜率都存在時，設(shè)為和，由得，由，整理得，和是這個方程的兩個根，有，得，所以點的軌跡方程是.16分21.（18分）解：（1）若數(shù)列具有“性質(zhì)”，由已知對于任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，所以,解得或.3分所以當(dāng)或時，常數(shù)數(shù)列滿足“性質(zhì)”的所有條件，數(shù)列具有“性質(zhì)”；當(dāng)且時，數(shù)列不具有“性質(zhì)”.4分（2）對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，即，令，則.6分當(dāng)且時，則，對任意正整數(shù)，由得,得，而是正整數(shù)，所以存在正整數(shù)使得成立,數(shù)列具有“性質(zhì)”.8分當(dāng)且時，取，則，正整數(shù)不存在，數(shù)列不具有“性質(zhì)”.綜上所述，且.10分（3）.對于任意的正整數(shù),存在整數(shù)，使得得.12分對于任意的正整數(shù),存在整數(shù)和，使得，兩式相減得.當(dāng)時，顯然不合題意.當(dāng)時，得，是整數(shù)，從而得到公差也是整數(shù).14分若時，此數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，取滿足正