高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)(選修Ⅱ)第3章導(dǎo)數(shù)(第10課時(shí))對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(二)

1、精品資源課題： 3 5 對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)教學(xué)目的：1.理解掌握指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)求導(dǎo)公式.2.在學(xué)習(xí)了函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上，應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，能求簡單的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)： 結(jié)合函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式求簡單的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)難點(diǎn)： 指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的記憶，以及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式授課類型： 新授課課時(shí)安排： 1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：c 0； ( xn )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)si

2、n x2.法則 1u( x)v(x) u ( x)v ( x) 法則 2u ( x )v (x ) u x( v)x( ) u x( ,v) cux (x) cu (x)法則 3uu v uv (v 0)vv23.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 設(shè)函數(shù) u=(x)在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù) u x= (x)，函數(shù) y=f(u)在點(diǎn) x 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) u 處有導(dǎo)數(shù) y u=f (u)，則復(fù)合函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x 處也有導(dǎo)數(shù)，且 yx yu ux 或 f x(x)= f (u) (x).4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)5.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：

3、分解求導(dǎo)相乘回代6. 對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(ln x)1(logx)1 l o g eaaxx7.引例求函數(shù) y( x1)( x2)( x3)( x100) (x100) 的導(dǎo)數(shù)分析：這里所給的函數(shù)是100 個(gè)因式的積，對(duì)于這種結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)，直歡下載精品資源接應(yīng)用乘積的導(dǎo)數(shù)法則求導(dǎo)比較繁瑣如果先對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問題簡化，但必須注意取對(duì)數(shù)時(shí)真數(shù)應(yīng)為正實(shí)數(shù)解：y( x1)( x2)( x3)( x100) 且 x 100 ， ln yln( x1)ln( x2)ln( x3)ln( x100)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得 y111213x1，yxxx100 y1121x1(x1)( x2)(

4、x3)(x100)x1xx3100我們知道指數(shù)函數(shù)yex 、 ya x 和對(duì)數(shù)函數(shù) yln x 、 ylog a x 互為反函數(shù)，根據(jù)這個(gè)關(guān)系和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們可以得到指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，不過需要用到反函數(shù)的求導(dǎo)法則，這超出了我們目前的學(xué)習(xí)范圍鑒于此，我們就直接給出指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則二、講解新課：指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(ex )ex(a x )a x ln a這兩個(gè)公式的證明需要用到反函數(shù)的求導(dǎo)法則， 這超出了目前的學(xué)習(xí)范圍，所以這里就不再證明 .只需記住它的結(jié)論，以 e 為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是它本身，以 a 為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是它的本身乘以 lna 三、講解范例：例 1 求 y e2

5、 x cos3x 的導(dǎo)數(shù)解：22xcos32x( 3sin 3 )2 x2 xyexex2ecos3x3e sin 3x例 2 求 ya 5 x 的導(dǎo)數(shù)解：ya5xaa5 xa ln 55ln例 3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y esin x ； yln(12x ) ； y(2e) 2x ；歡下載精品資源 y lne2x； y10sin 2 x ； yexln 3 e2 x1x2解： yesin x cosx ； y(12x )2xln 2；12 x12x(2 )2xln(2) 22( 2 )2 x(ln 21)；eeey y1e2 x1 2xln( e2 x1) ，ln2 x122ey12e2 x1

6、21； 2e2 x2e2 x1 e2 x211 y10sin 2 xln 102sinxcosx10sin 2 x ln 10sin 2x ； yex x2ex 2xex ( x 2)x4x3例 4 求函數(shù) y=e-2xsin3x 的導(dǎo)數(shù) .分析：先用積的求導(dǎo)法則，( uv)=u v+uv，再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)， yxyu ux解： y =(e-2x) sin3x+e-2x (sin3x) =e-2x( 2x) sin3x+e-2xcos3x(3x) = 2e-2xsin3x+3e-2xcos3x=e-2x(3cos3x2sin3x)例 5 求 y=e 2 x的導(dǎo)數(shù)sin 3x分析：先用

7、商的求導(dǎo)法則( u )u vuv，再用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)vv2解： y =(e 2x) = (e 2 x )sin3xe 2 x (sin 3x)sin 3x(sin 3x)2e 2 x ( 2) sin 3x e 2 xcos3x 3e 2 x (2sin 3x 3cos3x)sin 2 3xsin 2 3x歡下載精品資源例 6 求 y=xsinx 的導(dǎo)數(shù) .解：兩邊取對(duì)數(shù) .lny=ln xsinx=sin x lnxy1兩邊對(duì) x 求導(dǎo)=cosx lnx+sinxyx y=(cos xlnx+ sin x )y=(cosx lnx+ sin x ) xsinx.xx另解：由所給函數(shù)知x

8、 0 y xsin xeln x sin xesin x ln x y= (esin x ln x )esin x ln x (sin x ln x)esin x ln x (cos x ln xsin x )xsin x (cos x ln xsin x)xx冪指函數(shù)，可以用兩種方法求導(dǎo)，其一，是兩邊取對(duì)數(shù)后再對(duì)x 求導(dǎo)；其二，是把它化成指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合.例 7 求 y=32xlg(1 cos2x)的導(dǎo)數(shù) .解： y=3 2xlg(1 cos2x)=9 xlg(1 cos2x)y =9xln9 lg(1 cos2x)+9 xlg e1 cos2x (1 cos2x)=9xln9 lg(

9、1 cos2x)+9 xlg e1cos2x sin2x 2.=9x ln9 lg(1 cos2x)+29 xlg e 2sin x cosx2 sin 2 x=9x2ln3 lg(1 cos2x)+29xlgecotx=29x ln3lg(1 cos2x)+lg ecotx例 8 求 y=2x x 的導(dǎo)數(shù) .解法一：兩邊取對(duì)數(shù)，得lny=ln2+x ln x.兩邊對(duì) x 求導(dǎo) 1y =(1x ) lnx+ x (ln x) =y211x 2lnx+ x x歡下載精品資源111112 ln xx 22 (ln x2)xx22111x 2 (ln x2) 2xxxx y=2 (ln x 2)2解

10、法二： y2x xeln 2 xxeln 2x ln x .1x 1 )y = eln 2x ln x( x ln x)eln 2x ln x ( 1 x 2 ln x2x2x x12)x11 x 2 (ln xx2 (ln x 2)2點(diǎn)評(píng)：比較這兩種方法，是不是難易程度差不多，都只要對(duì)x lnx 求導(dǎo)就可以了 .所以碰到這類題目，兩種方法可以任選其一四、課堂練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.y=x2ex解： y =(x2ex) =2 xex+x2ex=(2+ x) xex2.y=e3x解： y =(e3 x) =e3x 3=3e3x3.y=x3+3 xn x4.y=x e5.y=exsinx6.y=exln x解： y =3x2+3x ln3.x ( 1)=( n x) xn1ex.解： y=nxn1ex+xne解： y=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)11解： y =exlnx+ex=ex(lnx+ )xx2x+1解： y =a2x+12x+1ln a7.y=alna 2=2axxxxxx8.y=2（ e2e 2）