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1、第四章 函數(shù)的連續(xù)性一、填空題1設(shè) ,若函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù),則 ;2函數(shù) 的間斷點是 ;3函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ;4函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ;5函數(shù)的間斷點是 ;6函數(shù)的間斷點是 ;7函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ;8設(shè) 在點連續(xù),則 ;9函數(shù)的間斷點是 ;10函數(shù).則處處連續(xù)的充要條件是 ;11函數(shù),則 ,若無間斷點,則 ;12如果 ,當(dāng) 時,函數(shù)連續(xù)二、選擇填空1設(shè)和在內(nèi)有定義,為連續(xù)函數(shù),且,有間斷點,則( )A.必有間斷點。 B.必有間斷點C.必有間斷點 D.必有間斷點2設(shè)函數(shù),在內(nèi)連續(xù),且,則常數(shù)滿足( )A. B. C. D.3設(shè),當(dāng)當(dāng),則A 有可去間斷點。 B。有跳躍間斷點。 C 有無窮間斷點 D 連
2、續(xù)4函數(shù)A 不存在間斷點。 B 存在間斷點 C存在間斷點 D存在間斷點5設(shè),則在點處有間斷點的函數(shù)是A B C D 6下述命題正確的是A 設(shè)與均在處不連續(xù),則在處必不連續(xù)。B 設(shè)在處連續(xù),則=0。C 設(shè)在的去心左鄰域內(nèi),且=a, =b,則必有abD 設(shè)=a, =b, ab,則必存在的去心左鄰域,使。三、計算題1指出函數(shù)的間斷點及其類型:(1); (2);(3); (4);(5);(6)(7)2延拓下列函數(shù),使在上連續(xù):(1); (2); (3)3舉出定義在0,1上符合下述要求的函數(shù):(1)在和三點不連續(xù)的函數(shù);(2)只在和三點連續(xù)的函數(shù);(3)只在上間斷的函數(shù);(4)僅在x=0右連續(xù),其它點均
3、不連續(xù)的函數(shù)。4求極限:(1);(2)。5求下列極限:(1);(2);(3);(4);(5);(6)四、證明題1按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù):(1); (2)2設(shè)f為連續(xù)函數(shù),常數(shù),證明函數(shù)3證明:設(shè)f為區(qū)間I上的單調(diào)函數(shù),且為f的間斷點,則x0必是f的第一類間斷點。4設(shè)函數(shù)f只有可去間斷點,定義,證明g為連續(xù)函數(shù)。5設(shè)f為上單調(diào)函數(shù),定義g(x)=f(x+0),證明函數(shù)g在上每點都右連續(xù)。6該,當(dāng)時,試證f與g這兩個函數(shù)中至我有一個在x=0處連續(xù)。7設(shè)f,g在點x0連續(xù),證明:(1) 若,則存在x0的某個鄰域使:(2)若對,有,則。8研究復(fù)合函數(shù)與的連續(xù)性。設(shè)(1);(2)。9若f在上
4、連續(xù),且存在,證明:f在上有界,試問f在上必有最大值與最小值嗎?10若對任給,f在上連續(xù),是否可推出f在(a,b)連續(xù)。11證明:若f在a,b上連續(xù),且不存在任何x使得f(x)=0,則f在a,b上恒正或恒負(fù)。12證明:任一實系數(shù)奇次方程至少有一個根。13證明:(1)函數(shù)在上一致連續(xù)。(2)在a,b上一致連續(xù),但在上不一致連續(xù)。14若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足李普希茨條件,即存在常數(shù)L,使得對I上任意的兩點與,都有證明:f在I上一致連續(xù)。15試用一致連續(xù)的定義證明,若函數(shù)f在a,c和c,b上都一致連續(xù),則f在a,b上也一致連續(xù)16該函數(shù)f在是連續(xù)且f(0)=f(2a)。證明:在區(qū)間0,a上存在某
5、個x,使f(x)=f(x+a)。17該f為a,b上的遞增函數(shù),其值域為f(a),f(b),證明f在a,b上連續(xù)。18證明:若f在a,b 上連續(xù),且則在上必存在,使得19設(shè)f(x)=Sinx, 證明復(fù)合函數(shù)f(g(x)在x=0不連續(xù)。20證明:若f(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù),則存在,使。21證明:在上一致連續(xù)。22設(shè),證明:。23證明(1) 若,x為任一實數(shù),則。(2)設(shè)x1,x2是任意兩個實數(shù),且,若,則。24設(shè),x為任意實數(shù),證明五、考研復(fù)習(xí)題1設(shè)函數(shù)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且f(a+0)與f(b-0)為有限值。證明f在(a,b)上有界。2證明:方程(其中,且)在與內(nèi)各有一個根。3若f
6、在a,b上連續(xù),且,證明:(1)存在一個,使得;(2)存在一個,使得,其中m,n為正整數(shù)。4設(shè)函數(shù)f在a,b上連續(xù),證明下述結(jié)論:(1) 若對一切a,b上的有理數(shù)r,有f(x)=0,則在a,b上有。(2) 若對a,b上任意兩個有理數(shù),有,則f為a,b上的嚴(yán)格遞增函數(shù)。5證明:若f在a,b上連續(xù),則函數(shù)和在 a,b上連續(xù)。6設(shè)f在a,b連續(xù),且,證明存在,使得f(x)=x。7證明:若函數(shù)f在(a,b)連續(xù),f(a+0)與f(b-0)都為有限值,且存在一點,使得,則f在(a,b)內(nèi)能取到最大值。8證明:若函數(shù)f在(a,b)連續(xù),且,則f在(a,b)內(nèi)能取到最小值。9設(shè)函數(shù)f在a,b上連續(xù),另有一組正數(shù),滿足,證明:存在一點,使得。10已知函數(shù)f在上連續(xù),且,設(shè)證明:(1)為收斂數(shù)列;(2)設(shè),則;(3)若條件改為,則t=0。11證明:若函數(shù)f在0,1上連續(xù),則對任何自然數(shù)n,存在,
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