數(shù)學(xué)分析課本(華師大三版)-習(xí)題及答案第四章

1、第四章 函數(shù)的連續(xù)性一、填空題1設(shè) ，若函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，則 ；2函數(shù) 的間斷點是 ；3函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ；4函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ；5函數(shù)的間斷點是 ；6函數(shù)的間斷點是 ；7函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是 ；8設(shè) 在點連續(xù)，則 ；9函數(shù)的間斷點是 ；10函數(shù).則處處連續(xù)的充要條件是 ；11函數(shù)，則 ，若無間斷點，則 ；12如果 ，當(dāng) 時，函數(shù)連續(xù)二、選擇填空1設(shè)和在內(nèi)有定義，為連續(xù)函數(shù)，且，有間斷點，則( )A.必有間斷點。 B.必有間斷點C.必有間斷點 D.必有間斷點2設(shè)函數(shù)，在內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)滿足( )A. B. C. D.3設(shè)，當(dāng)當(dāng)，則A 有可去間斷點。 B。有跳躍間斷點。 C 有無窮間斷點 D 連

2、續(xù)4函數(shù)A 不存在間斷點。 B 存在間斷點 C存在間斷點 D存在間斷點5設(shè)，則在點處有間斷點的函數(shù)是A B C D 6下述命題正確的是A 設(shè)與均在處不連續(xù)，則在處必不連續(xù)。B 設(shè)在處連續(xù)，則=0。C 設(shè)在的去心左鄰域內(nèi)，且=a, =b,則必有abD 設(shè)=a, =b, ab，則必存在的去心左鄰域，使。三、計算題1指出函數(shù)的間斷點及其類型：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）（7）2延拓下列函數(shù)，使在上連續(xù)：（1）； （2）； （3）3舉出定義在0，1上符合下述要求的函數(shù)：（1）在和三點不連續(xù)的函數(shù)；（2）只在和三點連續(xù)的函數(shù)；（3）只在上間斷的函數(shù)；（4）僅在x=0右連續(xù)，其它點均

3、不連續(xù)的函數(shù)。4求極限：（1）；（2）。5求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）四、證明題1按定義證明下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)：（1）； （2）2設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，常數(shù)，證明函數(shù)3證明：設(shè)f為區(qū)間I上的單調(diào)函數(shù)，且為f的間斷點，則x0必是f的第一類間斷點。4設(shè)函數(shù)f只有可去間斷點，定義，證明g為連續(xù)函數(shù)。5設(shè)f為上單調(diào)函數(shù)，定義g（x）=f（x+0），證明函數(shù)g在上每點都右連續(xù)。6該，當(dāng)時，試證f與g這兩個函數(shù)中至我有一個在x=0處連續(xù)。7設(shè)f，g在點x0連續(xù)，證明：（1） 若，則存在x0的某個鄰域使：（2）若對，有，則。8研究復(fù)合函數(shù)與的連續(xù)性。設(shè)（1）；（2）。9若f在上

4、連續(xù)，且存在，證明：f在上有界，試問f在上必有最大值與最小值嗎？10若對任給，f在上連續(xù)，是否可推出f在（a，b）連續(xù)。11證明：若f在a，b上連續(xù)，且不存在任何x使得f（x）=0，則f在a，b上恒正或恒負(fù)。12證明：任一實系數(shù)奇次方程至少有一個根。13證明：（1）函數(shù)在上一致連續(xù)。（2）在a，b上一致連續(xù)，但在上不一致連續(xù)。14若函數(shù)f（x）在區(qū)間I上滿足李普希茨條件，即存在常數(shù)L，使得對I上任意的兩點與，都有證明：f在I上一致連續(xù)。15試用一致連續(xù)的定義證明，若函數(shù)f在a，c和c，b上都一致連續(xù)，則f在a，b上也一致連續(xù)16該函數(shù)f在是連續(xù)且f（0）=f（2a）。證明：在區(qū)間0，a上存在某

5、個x，使f（x）=f（x+a）。17該f為a，b上的遞增函數(shù)，其值域為f（a），f（b），證明f在a，b上連續(xù)。18證明：若f在a，b 上連續(xù)，且則在上必存在，使得19設(shè)f（x）=Sinx， 證明復(fù)合函數(shù)f（g（x）在x=0不連續(xù)。20證明：若f（x）是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，則存在，使。21證明：在上一致連續(xù)。22設(shè)，證明：。23證明（1） 若，x為任一實數(shù)，則。（2）設(shè)x1，x2是任意兩個實數(shù)，且，若，則。24設(shè)，x為任意實數(shù)，證明五、考研復(fù)習(xí)題1設(shè)函數(shù)f在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，且f（a+0）與f（b-0）為有限值。證明f在（a，b）上有界。2證明：方程（其中，且）在與內(nèi)各有一個根。3若f

6、在a，b上連續(xù)，且，證明：（1）存在一個，使得；（2）存在一個，使得，其中m，n為正整數(shù)。4設(shè)函數(shù)f在a，b上連續(xù)，證明下述結(jié)論：（1） 若對一切a，b上的有理數(shù)r，有f（x）=0，則在a，b上有。（2） 若對a，b上任意兩個有理數(shù)，有，則f為a，b上的嚴(yán)格遞增函數(shù)。5證明：若f在a，b上連續(xù)，則函數(shù)和在 a，b上連續(xù)。6設(shè)f在a，b連續(xù)，且，證明存在，使得f（x）=x。7證明：若函數(shù)f在（a，b）連續(xù)，f（a+0）與f（b-0）都為有限值，且存在一點，使得，則f在（a，b）內(nèi)能取到最大值。8證明：若函數(shù)f在（a，b）連續(xù)，且，則f在（a，b）內(nèi)能取到最小值。9設(shè)函數(shù)f在a，b上連續(xù)，另有一組正數(shù)，滿足，證明：存在一點，使得。10已知函數(shù)f在上連續(xù)，且，設(shè)證明：（1）為收斂數(shù)列；（2）設(shè)，則；（3）若條件改為，則t=0。11證明：若函數(shù)f在0，1上連續(xù)，則對任何自然數(shù)n，存在，