26探索勾股定理教學(xué)案例

1、感受數(shù)學(xué)的文化價值浙教版數(shù)學(xué)八上2.6探索勾股定理教學(xué)案例一、背景介紹教材分析：浙教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級上冊第2章，是講述有矢一些特殊的三角形的內(nèi)容。本節(jié)課是第2章第6節(jié)的第一課時，主要通過面積法來探索直角三角形中的勾股定理， 使學(xué)生更好地理解和掌握勾股定理的應(yīng)用與意義。勾股定理是直角三角形的重要t生質(zhì)，它把三角形有一個直角的“形”的特點，轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的尖系，它是數(shù)形結(jié)合的典 范。它可以解決許多直角三角形中的計算問題，它是直角三角形特有的性質(zhì)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容重點之一。本節(jié)課的重點是發(fā)現(xiàn)勾股定理，難點是勾股定理的證明采用了面積 法，這是 學(xué)生從未體驗過的。教學(xué)目標(biāo)

2、：(-) 教學(xué)知識點：(1) 能說勾股定理，并能用勾股定理進(jìn)行簡單的計算(2) 通過實驗，讓學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過程，發(fā)展合情推理的能力，體會數(shù)形結(jié)的思 想。(-) 能力目標(biāo)：經(jīng)歷用多種割、補(bǔ)圖形的方法驗證勾股定理的過程，發(fā)展用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界和有條理地思考能力以及語言表達(dá)能力等，感受勾股定理的文化價值。(三) 情感與價值觀(1) 培養(yǎng)學(xué)生積極參與，合作交流的意識(2) 在探索勾股定理的過程中，體驗獲得成功的快樂，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣(3) 通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思 想感情二、教學(xué)準(zhǔn)備：學(xué)生準(zhǔn)備：正方形網(wǎng)格紙若干，全等的直角三角形紙

3、片若干，直角三角尺老師準(zhǔn)備：多媒體課件，雙 面膠，三角板，正方形網(wǎng)格紙若干，彩筆，記號筆三、情境描述(一) 創(chuàng)設(shè)情境，引入探究這是1955年希臘發(fā)行的一枚紀(jì)念郵票，觀察這枚郵票圖案小方格的個數(shù)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？(多媒體顯示)郵票上的圖是根據(jù)一個著名的數(shù)學(xué)定理設(shè)計的？下面就來揭開這個密秘。(設(shè)計意圖：利用學(xué)生感興趣的知識引入勾股定理，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣創(chuàng)設(shè)問題情境，引出本節(jié)討論的內(nèi)容)正方形；再求出這兩個正方形的面積。（如圖1）師：請同學(xué)們在方格紙上三角形ABC外畫一個以AC為一邊的正方形畫一個以BC為邊的正方形；再求出這兩個正方形的面積。（如圖1）（一名學(xué)生上黑板畫圖，教師巡視、指導(dǎo)）生：以AC

4、為一邊的正方形的面積為3 X 3=9 以BC為一邊的正方形的面積為4X4二16,師：怎樣畫以AB為邊的正方形呢？（學(xué)生思考，部分學(xué)生竊竊私語）試一試！師：哪位同學(xué)愿意上來畫？（少數(shù)同學(xué)欲舉手，但還猶豫）G師：請XXX上黑板畫一下；（教師巡視中發(fā)現(xiàn)：許多同學(xué)畫“以 AB為邊的正方形”時，正方形的另外兩個頂點不 是格點，使求面積發(fā)生困難。）師：請同學(xué)們思考：以AB為邊的正方形的另兩個頂點是不是在格點上？為什么？如圖 2，作 ADE 4 BCA，貝 U AE 二 AB , AE AB，同樣可作厶 HjFA ADE，得到 EF二AE , EFAE，連結(jié)BE,四邊形AEFB就是以AB為邊的正方形，所以，

5、它另外 兩個頂點E、F 定 是格點.（學(xué)生遇到困難，教師及時點拔、指導(dǎo)，這是學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中不可忽缺的，也是學(xué) 生自主探究活動取得實效，教師應(yīng)做的工作。）（教師巡視，指導(dǎo)有困難的學(xué)生畫圖）師：請同學(xué)們思考：怎樣求岀圖 1中，以AB為一邊的正方形的面積？（由于不知道邊長，學(xué)生“冷場”）師：請每組前后兩桌四位同學(xué)為一小組討論，然后我們一起交流！課堂氣氛活躍、熱烈起來。約一分鐘后有學(xué)生舉手，教師和他進(jìn)行了個別交流，隨后舉手 的同學(xué)又有一些。師：請同學(xué)們來交流思路與方法。生：我用割補(bǔ)法。師：請把你的方法用圖展示一下。（教師用展示平臺投影出某學(xué)生的示意圖）（如圖3 ）。師：實際上，該同學(xué)是用橫、豎網(wǎng)格

6、線將正方形分割成四個直角三角形加中間一個小正方形（如圖3），非常漂亮。（學(xué)生贊嘆）生乙：我用補(bǔ)形法，在正方形各邊上補(bǔ)一個直角三角形在形外，變成一個大的正方形。師：請把你的 方法用圖展示一下。（教師用展示平臺投影出某學(xué)生的示意圖）（如圖4）師：實際上，該同學(xué)是用橫、豎網(wǎng)格線（過原正方形的頂點）將正方形補(bǔ)成一個大正方形（如圖4 ），原正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積的差。非常漂亮！ 師：圖3中，以AB為一邊的正方形的面積等于多少？生：等于7X7（3X4）二252師：圖1中，三個正方形的面積有什么矢系?圖3圖4（二）定理探索師:請同學(xué)們在圖5中，考察各直角三角形周圍的三個正方形

7、的面積之間的尖系。學(xué)生獨(dú)立操作， 教師巡視.圖5師:同桌的同學(xué)相互討論一下，（約半分鐘后）誰來講一講考察結(jié)果？（有許多同學(xué)舉手）請XXX同學(xué)生：大正方形減小正方形等于第三個正方形生：兩個小正方形相加等于大正方形生：兩個小正方形面積相加等于大正方形面積師：同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)了其中的尖系，由此你們能說出這些 直角三角形三邊之間的矢系嗎？生：兩邊平方和等于第三邊的平方生：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方師：你真棒！這就是在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義、非常著名的勾股定理（板書），即：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（投影）但這僅僅是在幾個直角三角形（有具體數(shù)值）中發(fā)現(xiàn)的，在任意一個直角三角形（斜邊為

8、c、兩直角邊為a、b）中是否仍成立（a2+甘二小呢？（投影）師；（簡介勾股定理的歷史及我國古代數(shù)學(xué)家對勾股定理的貢獻(xiàn)）師：請同學(xué)們用課前準(zhǔn)備好的四個全等的直角三角形在桌面上拼圖，圍成一個正方形可以嗎？（教師 巡視）師：比一比，誰的圖形漂亮？（教師繼續(xù)巡視）師：誰愿把自己拼（圍）得到的優(yōu)美圖案與大家共享？（同學(xué)們紛紛舉手）師：同學(xué)們自由上臺展示（可一起上臺）（教師拿出課前準(zhǔn)備的“雙面膠”供學(xué)生在黑板上粘貼 ）圖7師：如圖6、圖7的圖案真漂亮，圖7還是2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽呢！請同學(xué)們 計算一下圖6的大正方形面積.學(xué)生思考、演算2生：面積為c + 2ab師：介紹一下算法.生：中

9、間小正方形的面積為c2，再加四個直角三角形的面積就行了.師：還有什么不同方法呢？生：大正方形的邊長就是a + b,所以大正方形的面積就等于（ a+ b） 2師：很好！兩位同學(xué)的結(jié)果，形式不一樣但同一圖形的面積值是相等的由此你可得出什 么結(jié)果？22生：c + 2ab二（a+ b）師：能簡化嗎？生：能,結(jié)果是c2 = a2 + b2同學(xué)：哇！就是勾股定理哎。（學(xué)生的臉上流露出欣喜、愉悅的表情這就是成就感！是教師課堂教學(xué)的最大成功。）師：剛才我們通過圖6的面積計算，驗證了勾股定理；能否在圖7中，通過面積計算，驗證 勾股定理？1圖7中，大正方形的面積二或4 （ab） + （ a- b）.步驟類似于圖6

10、中的驗證2過程.師：至此，我們已用兩種方法證明了勾股定理，從勾股定理的發(fā)現(xiàn)到今，已有了400多種證明方法，同學(xué)們課后有興趣可查閱有尖資料.（三）應(yīng)用舉例、練習(xí)例 1 已知在”ABC 中，/ C=9d, BOa,AC=b,AB=c.（1）若 a=l,b=2,求 c （2）若 a=15, c二 17,求 b（例1是鞏固勾股定理的基本訓(xùn)練，計算比較簡單，可以讓學(xué)生獨(dú)立完成。教師要強(qiáng)調(diào)解題 nH UM ! !過程的表述應(yīng)力求規(guī)范）例2如圖是一個長方形零件圖，根據(jù)所給的尺寸（單位：mm,求兩孔中心A、B之間的距離。單位：mm師：能否作出以AB為一邊的一個直角三角形？ （多媒體顯示圖8）生：過A作鉛垂線，

11、過B作水平線，交點就是直 角C師：出示圖9師：如何求AB的長度？生：勾股定理：AB2=BC+AC（教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)：構(gòu)造新圖形的過程以及主要的 推理過程都應(yīng)書寫）四、教學(xué)反思勾股定理的探索研究，是許多公開課、大型教研活動中，選取的課題傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計，都是用 四個全等的直角三角形拼圖、求面積、歸納、抽象獲得結(jié)論，這種活動是很有效的，學(xué)生動手制作全 等直角三角形、拼圖，觀察、思考、計算圖形面積（且用了兩種方法），調(diào)動了學(xué)生的各種感覺器官，學(xué)生興趣高漲，記憶深刻。本節(jié)課設(shè)計了 “在網(wǎng)格上探求以直角三角形的各邊為邊長的三個正方形面積之間矢系” 的情境，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了定理的產(chǎn)生過程，試圖充分呈現(xiàn)知識發(fā)生、發(fā)

12、展的過程，理念非常新， 一改勾股定理教學(xué)的傳統(tǒng)面孔，使人耳目一新通過教學(xué)實踐，我認(rèn)為幾個問題要處理好：1、畫圖費(fèi)時、費(fèi)力。如案例圖1中畫以AB為邊的正方形，有難度，說明另兩頂點是格點，是 本方案取得實效的矢鍵；否則，怎么獲得準(zhǔn)確面積值？近似的畫圖、度量、計算、猜想，怎么培養(yǎng)學(xué) 生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維？數(shù)學(xué)上總不能“像什么就是什么”吧，少了 “為什么”的思考就不是數(shù)學(xué)了。 不經(jīng)大腦理,性思考的猜想是瞎想，不經(jīng)大腦理性思考的發(fā)言是信口開河，而這往往在許多公開課上都 受到上課教師的表揚(yáng)，這是曲解了課堂人文尖懷的意義，在一定程度上強(qiáng)化了學(xué)生好大喜功的表現(xiàn)欲，致使現(xiàn)在一些學(xué)生內(nèi)心浮躁，思維缺乏深度，這也是為什么有些公開課場面漂亮、氣氛熱烈，課后作業(yè)卻不會做的原因所在。所以選用這種方案 就一定要舍得在畫圖方法及道理上花時間，講清楚（包括后面用割、補(bǔ)法求正方形的面積）教師要講解畫法及道理，涉及到正方形的判定，但正方形的判定還沒有學(xué)過，妥當(dāng)否？我 認(rèn)為只要講清兩邊為什么垂直且相等就行，事實上，學(xué)生有對正方形感性認(rèn)識的基礎(chǔ)，是不難理 解的。2、這種方案如此費(fèi)時費(fèi)力，意義何在？我也困惑，直接用四個全等的直角三角形拼圖、求面 積、歸納、抽象獲得結(jié)論。是否可行？我想按新課程理念，在活動中獲取知識（做中學(xué)）是對 的，在培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣上是有效的，判斷