數(shù)列復(fù)習(xí)1答案

1、數(shù)列模擬診斷、核心構(gòu)架一一該模塊是本單元每個(gè)學(xué)生必須掌握的知識(shí)，得分率理論上應(yīng)該達(dá)到100%，可以幫助學(xué)生落實(shí)基礎(chǔ)、重構(gòu)知識(shí)體系.例如,1. （ 12分）我們知道“確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列問(wèn)題的重點(diǎn)”111 1已知一個(gè)數(shù)列 a-,-,-,|2 6 12 20（1）首先我們可以猜測(cè) 曲的一個(gè)通項(xiàng)公式：an二，其中n u *命題意圖：考查利用歸納思想求通項(xiàng)公式.解析：a（2）借助（1 ）問(wèn)的結(jié)論，我們可以很方便地得到數(shù)列的一些特征性質(zhì):我們可以確定它的任意一項(xiàng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a1二命題意圖：考查利用通項(xiàng)公式求數(shù)列具體的項(xiàng).1解析：a1 = 2，a2121 22462判斷某個(gè)數(shù)是否是faj的一項(xiàng)：請(qǐng)

2、判斷并說(shuō)明1面是否是該數(shù)列的項(xiàng)?110 呢？命題意圖:考查判斷某個(gè)數(shù)是否是數(shù)列的項(xiàng).解析：由1以及12 1315610 111101 1，可知a156可以研究出這個(gè)數(shù)列的單調(diào)性：請(qǐng)確定該數(shù)列的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性判 斷該數(shù)列是否存在最大和最小項(xiàng)，若存在，請(qǐng)求出;命題意圖：考查數(shù)列的單調(diào)性與最大（?。╉?xiàng).解析:n1n2 nn1 nn1n 2：0,所以數(shù)列an是單調(diào)遞減的.質(zhì)）（或由畧二丄丄鼻an1，也可以得到正項(xiàng)數(shù)列an單調(diào)遞減的性因此，該數(shù)列的第一項(xiàng)a,即為最大項(xiàng)，不存在最小項(xiàng).可以求出數(shù)列的前n項(xiàng)的和：設(shè)Sn是laj的前n項(xiàng)和，求S。命題意圖：考查數(shù)列求和公式的概念以及裂項(xiàng)方法解析:Soo1

3、 1 1+ + . +1 22 3100 10111111=1 -2 2 3100 101,1100-1 _101101可以得到這個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)an和an 1的關(guān)系: 中 nw命題意圖：考查數(shù)列遞推公式的概念解析：n 2 an 1 =nan2. （ 12分）“數(shù)列的遞推公式也是數(shù)列的一種重要表示方式.”例如，等差數(shù)列和等比數(shù)列bj的定義就是由遞推公式給出的，有了遞推公式，再給出初始條件，則數(shù)列就被唯一確定了 （1）從等差數(shù)列 玄!的定義出發(fā)，試推導(dǎo) Sn?的通項(xiàng)公式；命題意圖：利用疊加思想，考察由遞推公式求通項(xiàng)公式.解析：設(shè)公差為d，則由等差數(shù)列定義可知，an - an 4 - d ，將上面各

4、式相加可得,an P 二 n T d，所以有（2）已知*滿足a2，乩=2，an求a10和數(shù)列前n項(xiàng)和Tn ；.根據(jù)數(shù)列的前解析：an伽-56n 一2n =1命題意圖：利用疊乘思想，考察由遞推公式求通項(xiàng)公式，以及進(jìn)一步求前 n項(xiàng)和公式.解析：有定義可知 * 為等比數(shù)列，且q = 2，印=1，故通項(xiàng)公式為an =2貝U氐冷=5121 2nTn 眾一11-2(3) 若數(shù)列3n f滿足遞推關(guān)系an-an n，n LI *，若4=1，則a5從定4. (12分)等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩類重要的數(shù)列，它們有很豐富的性質(zhì) 義出發(fā)解決問(wèn)題是根本之道，而利用性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題則會(huì)事半功倍：(1 )在等比數(shù)列 G 中，

5、耳=2，= -4，則公比q =;d +血 +L +總| = 命題意圖：考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式. 解析：q - -2 ;fa.是公比為2的等比數(shù)列；丫）/ 1耳十 a? +L 十 a. = 2=2n -.1-2 2（2）數(shù)列a.是等差數(shù)列，且印 +a4 +a? =9 , aaa =15，則 a?。=命題意圖：考察等差數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式.解析：有等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可知，3a4 =9，3a5=15,故a3,a5，可得 an =2n -5，故 a2。=75.（3）已知數(shù)列 為等比數(shù)列，且a3a9=2a；， a? = 2，則a, =命題意圖：考察等比數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式.解析：由等比數(shù)

6、列中項(xiàng)的性質(zhì)可知，af -2af，因此有q2 =2，故q =占2，可得，a2.（4） 已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積等于第二個(gè)數(shù)的5倍， 第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之和為第一個(gè)數(shù)的 8倍，求這三個(gè)數(shù).命題意圖：考察利用基本量思想求等差數(shù)列的項(xiàng).解析：可設(shè)這三個(gè)數(shù)為x -d， x， x d，故有x2 _ d2 = 5x2x d =8 x -d解得或者心q =0 q =6所以，這三個(gè)數(shù)為0,0,0或者3,9,15.二、核心節(jié)點(diǎn)一一核心節(jié)點(diǎn)是本單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的核心模塊，有別于具體的知 識(shí)細(xì)目，該模塊關(guān)注學(xué)生基本能力提升和后續(xù)發(fā)展點(diǎn)）（每題3分，共30分）（遞推與通項(xiàng)）1 已知數(shù)列式和b訥通項(xiàng)公

7、式分別為an =3n 5,0 = 2n 4，貝尼們的公共 項(xiàng)按從小到大的順序組成的新數(shù)列 Q 的通項(xiàng)公式為命題意圖：考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：Cn =6n 2.2 在數(shù)列 &匚中，已知a 2a2 3a3亠亠nan=2 n-3 nN ，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是命題意圖：考察前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.-1 n =1答案：an =2.n _ 23 設(shè)Q 是首項(xiàng)為2的正項(xiàng)數(shù)列，且（n 1總.12- na.2 a.禺=0 （nN ）則數(shù)列的通項(xiàng)公式為命題意圖：利用代數(shù)變形（因式分解），考察由遞推公式求通項(xiàng)公式2答案：an .n4 設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為S滿足3=1, （5n -8）5 1 - （5n

8、- 2）S -20n - 8，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為命題意圖：利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，考察由遞推公式求通項(xiàng)公式.答案：an =5 n-4.（前n項(xiàng)和）5 已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn =s 3n - t（n N*, s,t為常數(shù)），則s t命題意圖：考察等比數(shù)列求和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 答案：0.6在等比數(shù)列 * 中，a2，前n項(xiàng)和為S.，若數(shù)列G 也是等比數(shù)列,則Sn等于 命題意圖：考察等比數(shù)列的概念以及前n項(xiàng)和.答案：2n 命題意圖：考察數(shù)列的裂項(xiàng)求和.7 .已知an4n 2+1(2n -1)(2n 1)則該數(shù)列的前n項(xiàng)和為1答案：n T 一2n+18 設(shè)等差數(shù)列 X、的前n項(xiàng)和分別為Sn

9、、Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有主二牡3，則的值為T(mén)n 4n - 3b5 b? b8 b4命題意圖：綜合考察等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.19答案：蘭41(數(shù)列的性質(zhì))9 在等比數(shù)列Bn 沖，若aa?, , a8都是正數(shù)，則a a$與a a的大小關(guān)系為命題意圖：綜合考察等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與不等式的做差法.答案：a3 a8 a5 a610 已知數(shù)列Sn 1是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的正整數(shù) n ,均有a.二n2n恒成立，則實(shí)數(shù)九的取值范圍為命題意圖：考察用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列問(wèn)題.答案：(-3, V)(典型數(shù)列：等差數(shù)列)11. (6分)已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S12，且

10、2a1，a?, a3 1 成等比數(shù)列，(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn =2n，求數(shù)列and的前n項(xiàng)和Sn .命題意圖：綜合考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.考查差比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.解析：(1) T 等差數(shù)列an，a a? a3 =12，A3a12，a4，又.2a1，a?，a3 1 成等比數(shù)列， a； =2印3 1)=16 = 12(4-d)(4 d 1)= d =-4或d=3，又正項(xiàng)等差數(shù)列， d =3 , Aa4 (n-2) 3=3 n-2 ;(2) 飛=2n ,.anbn =(3n-2) 2n ,Sn =1 2 4 227 23. (3n 一2) 2n， 2 得 2Sn

11、 =1 22 4 233n-5) 2n (3n 2) 2n 1 ,4(1 一2心)1-2n -1-(3n - 2) 2,-可得：_Sn =2 3(22 23 . - 2n) _(3n _2) 2n 1 =2 3=(5 -3n) 2n 1 -10,Sn =(3n5) 2n 1 10 .12. (8分)已知數(shù)列a.為等差數(shù)列，且不為常數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為& ,(1) (2分)請(qǐng)給出另一個(gè)條件使S2015 = 2015;(2) (2分)證明：5二魚(yú)尹n ；(3) (2分)若存在正整數(shù)p，且ap =q , a p，求ap ,q的值；(4) (2分)若$2空0, $3：0，求使Sn最大的n .命題意圖：

12、考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用.解析：(1 ) 6007 T(2) Sa1 a2 anj aSn= an an 4 - - - a2- a1兩式相加2S a1 an a2 an4 -a2務(wù)，印又由于對(duì)于任意的1乞k乞n ,有 ak a. 1 & = 6 k -1 d an - k d = 2 n T dp a.,故 2Sn = n a1 a.即&二孔旦n2(3) 由題意可知：a pTd=q , aqTd = p，兩式相減得p-q d=q-p，因?yàn)?p=q，故 d = 1，解得 a p q -1故 ap q = ap q -1 d = 0（4）又題意可知，勺至 0 , 乞產(chǎn)：0，即有

13、ai 11d 0 ,印 6d ： 0，所 以d 0，故有a7 ： 0.11 iai 5d aid d 0，即有 a6 0，故Sn取得最大值時(shí)，n =6.三、知識(shí)遷移一一：能夠利用本單元所學(xué)知識(shí)和方法遷移到一個(gè)新的知識(shí)情境1.定義：若數(shù)列an滿足ak廠ak.1_2ak，對(duì)k=2,3,l|l都成立，則稱aj為下凸 數(shù)列，簡(jiǎn)稱凸數(shù)列.n +1（1）（2分）以下數(shù)列2n,In n,-3n 2,中凸數(shù)列的序號(hào)為故有,n命題意圖：考察由遞推公式求具體的項(xiàng).解析：a5 =3(4) 若數(shù)列 滿足印，k* =匕空，n *，則該數(shù)列的前20GG項(xiàng)的21 -an乘積 &1a3 L 2014 = 命題意圖：利用歸納思想，考察由遞推公式求通項(xiàng)公式.3解析：a1 a2 a3 L a2014 :23. (4分)“數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也是數(shù)列的一種間接表示方式”n項(xiàng)和可以確定數(shù)列的通項(xiàng)公式：已知數(shù)列 Q，的前n項(xiàng)和S 5n* 21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an =，其中n L命題意圖：考察由前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式（2）（3分）如果數(shù)列an為凸數(shù)列.則下列命題正確的序號(hào)為對(duì)任意的 n,m N，有 a