橢圓2016新編知識(shí)點(diǎn)完美總結(jié)解析

1、第5講：橢圓、橢圓及其方程1、橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)FF2的距離之和等于常數(shù)(大于 F1F2 )的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中：這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)；兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距 (記為2注意：若(PR | + PF2 |= F1F2 )，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段RF2 ；若(PFj + PF2F1F2)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無(wú)圖形.2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(a b 0)(1) 只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; 在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a b 0和c2 =a2 -b2; 已知方程判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看 x2， y2的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)

2、坐標(biāo)軸上 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，(-c,0)；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)，(0,-c)3、求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：(1) 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確 定方程中的參數(shù)a,b,c的值。即：主要步驟是 先定位，再定量;注：焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置不確定時(shí)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程要分兩種情形；為了計(jì)算方便，有時(shí)也可設(shè)方程為2 2mx+ny =1(m0，n0，n)。(2) 定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。例2 .已知橢圓mx2 3y2-6m =0的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，2)求m =.

3、分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由c=2，根據(jù)關(guān)系ab2 c2可求出m的值.2 2解：方程變形為=1 .因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以2m 6，解得m 3 .6 2m又 c=2，所以 2m-6=22， m = 5 適合.故 m = 5 .例3已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) P3,0，a=3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況.根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)a和b (或a2和b2)的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)其方程為篤爲(wèi)=1a b 0 .2入9，故橢圓的方程為才宀1 .a b由橢圓過(guò)點(diǎn)P 3,0，知訂 2 =1 .又a =3b，代

4、入得b2 =1 ,a b當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為90由橢圓過(guò)點(diǎn)P3,0，知=1 .a b又a =3b，聯(lián)立解得a2 =81，b2 =9，故橢圓的方程為2y812x1 .9例4求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò) A(.3,-2)和B(-2.3,1)兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見，可設(shè)其方程為mx2 ny2 =1(m 0， n 0)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程.解：設(shè)所求橢圓方程為mx2 ny1(m 0，n - 0).由A(.3,-2)和B(-2. 3,1)兩點(diǎn)在橢圓上可得m Q3)2 + n (2)2=1t-

5、 22m (-23) +n 1 =1,即3m+4nT，J2m + n =1,所以m115，1n二-.故所求的橢圓方程為52 2x y155-1 .2 2例5.已知方程y1表示橢圓，求k的取值范圍.k53kk -5 ：0, 解:由3kc0, 得3ckc5,且k式4 .二滿足條件的k的取值范圍是3ckc5,且k式4 ._ 5 式 3 _ k,說(shuō)明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由 0,得3vkc5，故k的取值范圍是3ckv5 .3kb0這個(gè)條件，當(dāng)a = b時(shí)，并不表示橢圓.例6 ABC的底邊BC =16 , AC和AB兩邊上中線長(zhǎng)之和為30,求此三角形重心G的軌跡和頂點(diǎn)A的軌 跡.分析：(1)由已知可得|

6、GC +GB =20，再利用橢圓定義求解.(2) 由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求 A的軌跡方程.解：(1 )以BC所在的直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為x, y，由GC+GB=20，知G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn).因a = 10, c=8，有b = 6 ,2 2故其方程為1 y = 0 .10036,2 ,2設(shè)AX，y，GX，y，則蓋話C .H xX = ，223代入，得A的軌跡方程為- y 1 y=0，其軌跡是橢圓（除去x軸上兩點(diǎn)）.” y900 324八亍例7.已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A -3,0，且在定圓B: x-32 y2 =64的內(nèi)部與

7、其相內(nèi) 切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式.解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M .動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)， 即定點(diǎn)A -3,0和定圓圓心B 3,距離之和恰好等于定圓半徑，即 PA + PB= PM+PB=BM=8 .點(diǎn)P的軌跡是以A，B為兩焦點(diǎn),i 2 2半長(zhǎng)軸為4,半短軸長(zhǎng)為b42 -3 . 7的橢圓的方程：=1 .167求軌跡的方程這是求說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 軌跡方程的一種重要思想方法.2 2例& 橢圓二+厶=1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2, N為MR的中點(diǎn)，貝U ON259（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為（）A.

8、4C. 8解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為 F2，由橢圓第一定義得|MF+|MF2 = 2a = 10，所以|MF2|=10-|MF,=10_2=8 ,又因?yàn)镺N為.：MFiF2的中位線，所以1|oN=2mf=4，故答案為A .2-y0 1; (2)點(diǎn) P(x,y)在橢圓上2ba2:12Xo2 a22 , 2 a（1）點(diǎn)P（xo,y）在橢圓外=4、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：（3）點(diǎn)P（X0,y。）在橢圓內(nèi)=二、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1范圍:x2a2，y2 b2，.，.|x|w a，|y|b 0） ab2 2y2 異？ =1 （a b0）ab圖形711r鋁IJ勺1y性質(zhì)焦占八、八、R（-c,0）, F2

9、（c,0）F1（0-c），F(xiàn)2（0,c）焦距| F1F2 |=2cF1F2 |=2c范圍|x，y | Mbxb，|y1對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)（士a,0）,（0, 士b）（0,士a），（土b,0）軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a，短軸長(zhǎng)=2b離心率ce = （0 ce 1） a準(zhǔn)線方程2 x=ac2 a y = c焦半徑PF1 =a +ex0，PF2 =a - e|pf1 =a+ey， PF2I = a-ey注意：橢圓篤占，爲(wèi)務(wù)=1 （a . b 0）的相同點(diǎn):形狀、大小都相同;參數(shù)間的關(guān)系都有（a . b . 0） a b a b和e =C（0 ：e J）， a2 b2 c2 ；不同點(diǎn)：兩種橢圓的

10、位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。a五、直線與橢圓1、直線與橢圓的位置關(guān)系：（1） .0：=直線與橢圓相交；（2）厶=0：=直線與橢圓相切；（3） .：0：=直線與橢圓相離。2 2例（3）直線y kx仁0與橢圓+=1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（答：1, 5） U （5,5 m+x）；消元得一元二次方程（5k2 +m）x2 +10kx + 5（1-m） = 0 ,利用A 0恒成立解得2、橢圓的切線2 2（1）橢圓X2 y2 （a b 0）上一點(diǎn)P（x0,y。）處的切線方程為： 轡馬=1 ；a ba b(2)=1相切的條件為A2a2 B2b2二C2 ；x2直線Ax+By+C=(與橢圓 p a（3

11、）過(guò)橢圓外一點(diǎn)P（x,y）引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 P、R,則直線P1P2 （切點(diǎn)弦所在的直線） 的方程為竽轡=1a2b23、弦長(zhǎng)公式：若直線l : y kx b與圓錐曲線相交與A、B兩點(diǎn)，A （yj, B（X2, y2）則 弦長(zhǎng) AB| =、：（X1 X2）2- y2）2 = W+k2|x1 X2|AB|= （1 疋川為 X2）2 -4 X2（1 ）（% 丫2）2 -4% y?例11.已知橢圓4x2 y2 =1及直線y =x m .（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？I（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 2衛(wèi)，求直線的方程.5解：（1）把直線方程y=x+m代入橢圓方程4x2+y2=1得4

12、x2+（x + mf=1，2即 5x2 2mx m2-1=0 . - = 2m -4 5 m2-1 =-16m2 20一 0，解得 - 2（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 X1，X2，由（1）得xr X2 =-細(xì)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得：1 12詈F罟解得心.方程為汗x .由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x 72 3x 36 8 =0 .設(shè)洛,他為方程兩根，所以xr x - 12 ,13(1 +k2)( X1+X2)2 -4x1X2 =18 -2AF2AF1 + F1F2 _ 2 AFF1F2 cos3所以m =尸.同理在BF1F2中，用余弦定理得n4 J3去，所以AB=m n13說(shuō)明：處理有關(guān)

13、直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題及有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別.這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，一般考慮判別式 厶；解決弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式.用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理(即根與系數(shù)的關(guān)系)，可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.例12.已知長(zhǎng)軸為12,短軸長(zhǎng)為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)Fi作傾斜解為上的直線交橢3圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng).分析：可以利用弦長(zhǎng)公式 AB =+ k2 X _x2| = J(1+k2)( Xj+x2 )2 -4皿2求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來(lái)求.解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解.AB =節(jié)1+k2 2 XiX

14、2 = 丫(1+k2)(Xi+x2)2 Ax/? 因?yàn)?a =6， b = 3，所以 c = 3V5 因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x軸上,2 2所以橢圓方程為X - y 1，左焦點(diǎn)F(-3.3,0)，從而直線方程為y3x 9 .369XjX2 =36 漢8， k = v3，從而 AB = J1 + k2 Xj x213(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解.2 2由題意可知橢圓方程為+=1，設(shè)AF1=m，BF,= n，則 AF2=12-m，BF2 =12-n在 iAF1F2 中,369(法3)利用焦半徑求解.先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程13x2 72. 3x 36 8 =0求出方程的兩根，他，它們分別是A，B的橫

15、坐標(biāo).再根據(jù)焦半徑 AR =a+ex， BR =a+e/，從而求出 AB = AR十BR .4、點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦問(wèn)題2 2已知弦AB的中點(diǎn)Mxo, yo)，研究AB的斜率和方程AB是橢圓篤+1(ab0)的一條弦，貝U AB的斜率a bb2x為一.運(yùn)用點(diǎn)差法求AB的斜率，設(shè)A(X1, y , B(X2, y2).a y 0A B都在橢圓上,Xi2ayii,2X22y22 2 2 2 亠/口 Xi X2yi y2兩式相減得 2P 2= 0,abi,.(xiX2)(xi+X2)丄( y2)(yi+y2)_0 即yi y2bXi+ X2zb2_，a2Xi X2a2yi + y2b2x。b2x。2 . 故

16、 Kab= 一2a yoa y2例10.已知橢圓y22(1) 求過(guò)點(diǎn)皮 P平分的弦所在直線的方程；12 2丿(2) 求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3) 過(guò)A 2,引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；1(4) 橢圓上有兩點(diǎn)P、Q , O為原點(diǎn)，且有直線OP、OQ斜率滿足KopRoq-12求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.分析：此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法.解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為M Xi, yi , N X2, y2，線段MN的中點(diǎn)R x, y，則廠22X-2 +2y-2 =2,一得(x- +X2 Ix- X2 片 2(yi + yjy-y2 )= 0x| +2y； =

17、2,由題意知X-式X2，則上式兩端同除以X-X2，有為 +x2 =2x,(x- +X2 2(y- + y2 )y-y2 0 ,y +y2 =2y,捲_X2將代入得x+2y %一力-0 .論- x2(1)將x=l , y=1代入，得 =-丄，故所求直線方程為：2x 4y -3 = 0 .22XiX2211將代入橢圓方程x2 2y2得6y2-6y- =0,厶=36-4 6 - 0符合題意，2x，4y-3=0為所求.44(2) 將y- _力=2代入得所求軌跡方程為：x 4 0 .(橢圓內(nèi)部分)為x2(3) 將12二口 代入得所求軌跡方程為：x22y2-2x-2y=0 .(橢圓內(nèi)部分)X- X? x

18、22 + 2(4) 由 + 得：y-2 yf -2,，2將平方并整理得xf x； =4x2 -2皿2,，y； y/ =4y2 - 2y1y2,1再將yiy-XiX2代入式得:2 22x -x1x2 4y -21X1X22即X2 * 普=1 此即為所求軌跡方程.2將代入得：4x 2x1x2 4y 2例9已知橢圓方程 篤每=1 a b 0，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)， -2y2 =2，4當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決六、橢圓相關(guān)問(wèn)題1、共焦點(diǎn)的橢圓2 2共焦點(diǎn)：則c相同。與橢圓x2 與=1（a . b 0）共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為a b2x2a m2yb2 m=1 （mi、

19、-b2）此類問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解；2 2 2 2同離心率：與橢圓篤 每=1離心率相同的橢圓系方程是 仔占（ 0）a ba bx a cosP2、橢圓的參數(shù)方程/acos （W為參數(shù)）y =bsi n3、焦點(diǎn)三角形（橢圓的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）思路分析：與焦點(diǎn)三角形 PFF2有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、 三角形面積公式S.ff1F2二；PF|PF2 sin. F1PF2相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算解題。將有關(guān) 線段|PF1、PF2、汗2，有 關(guān)角必F1PF2 （ NF1PF2蘭NF1BF2）結(jié)合起 來(lái)，建立|PF+PF2、PR x PF2之間的關(guān)系.2 0Sm

20、ax =bc；重要結(jié)論：周長(zhǎng)為定值2（a+c）S=b tanc| yo | ；當(dāng)|y0|=b即P為短軸端點(diǎn)時(shí),由橢圓定義知：PF1 + PF2 =2a ，則2得1 故 S血|PF2 = 2 PF1PF2 Sin G2bPF1 PF2二 b2 tan .2b21 c 0 s4、焦點(diǎn)弦2 2,A , B X2, y2，弦中點(diǎn) M xo, yoAB為橢圓 冷 tr =1 a b 0的焦點(diǎn)弦(經(jīng)過(guò)焦點(diǎn))a b(1)弦長(zhǎng)：I =2a_2ex)(2)焦點(diǎn)弦中通徑最短，長(zhǎng)軸最長(zhǎng):min考向1焦點(diǎn)三角形2bmax2a焦點(diǎn)為叫用的橢岡石珂;=1上有一點(diǎn)仏若祠訴J為求砒幾的面楓【答案I*： Mh - MF2MF】丄 MFit. $占”佔(zhàn)=b1 tan ：- =24ian【制2I答案】在橢