專題檢測導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用理

1、專題檢測(七)導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用A組一一“6+ 3 + 3”考點落實練、選擇題1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足下列條件: f (x)0 時，x2; f (x)0 時，一1x0, x= Ina,代入曲線方程得y = 1 In a,所以切線方程為y (1 In a) = 2(x + In3. (2019屆高三廣州高中綜合測試a)，即 y= 2x+ ln a+ 1 = 2x + 1? a= 1.)已知函數(shù)f (x) = x3+ ax2 + bx+ a2在x= 1處的極值為10,則數(shù)對(a, b)為()A. ( 3,3)B . ( 11,4)C. (4, 11)D . ( 3,3)或(4 , 11

2、)解析：選C f (x) = 3x2 + 2ax+ b,依題意可得1 = 0,=10,3+ 2a+ b = 0,即2消去b可得1 + a+ b+ a = 10,a2 a 12 = 0,a = 一 3,解得a= 3或a= 4,故b= 3或 a= 4，b= 11.a = 3,b=3時,f (x) = 3x2 6x + 3= 3(x 1)20,這時f(x)無極值，不合題意，舍去，故選4.已知f (x) = x2+ ax+ 3ln x在(1 , +)上是增函數(shù)，則實數(shù) a的取值范圍為B. a,上，2A. ( a, 2 6C.C. - 2 .;6 ,+s)D . 5,+)232x + ax+ 3解析：選

3、C由題意得f (x) = 2x + a+ x = x 0在(1，+m)上恒成立？ g(x)z.z.=2x2 + ax + 30 在(1 ,+s)上恒成立A = a2 24W0? 2 ,：6g 10? a 2 ：6,故選 C.5. (2018 全國卷I )設(shè)函數(shù)f (x) = x3 + (a 1)x2+ ax,若f (x)為奇函數(shù)，則曲線 y = f(x)在點(0,0)處的切線方程為()A. y = 2xB . y= xC. y = 2xD . y= x解析：選 D 法一 ：t f(x) = x3+ ( a 1) x2 + ax,2 f (x) = 3x + 2(a 1)x+ a.又 f(x)為

4、奇函數(shù)， f( x) = f(x)恒成立，即一x3 + (a 1)x2 ax= x3 (a 1)x2 ax 恒成立，2- a= 1 , f (x) = 3x +1, f (0) = 1,曲線y = f (x)在點(0,0)處的切線方程為y= x.法二：易知 f (x) = x + ( a 1) x + ax=xx + (a 1)x+ a，因為 f (x)為奇函數(shù)，所以 函數(shù)g(x) =x2+(a1)x+ a為偶函數(shù)，所以a 1 = 0，解得a=1,所以f(x)=x3 + x,所以f (x) = 3x2 +1，所以f (0) = 1，所以曲線y= f (x)在點(0,0)處的切線方程為 y= x

5、.故選 D.6. 函數(shù) f (x)( x0)的導(dǎo)函數(shù)為 f (x)，若 xf (x) + f (x) = ex,且 f (1) = e,則()A. f(x)的最小值為eB . f(x)的最大值為e1 1C. f(x)的最小值為-D . f(x)的最大值為-ee解析：選 A 設(shè) g( x) = xf (x) ex,所以 g(x) = f(x) + xf (x) e = 0,所以g(x) = xf (x) ex為常數(shù)函數(shù).因為 g(1) = 1x f (1) e= 0,所以 g(x) = xf (x) ex = g(1) = 0,xx所以 f ( X)= e , f (x) = e,xx當(dāng) 0x1

6、 時，f (x)1 時，f(x)0,所以 f (x) f (1) = e.二、填空題7. (2019屆高三西安八校聯(lián)考)曲線y = 2ln x在點(e2,4)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的 三角形的面積為.2 2 2解析：因為y = -，所以曲線y= 2ln x在點(e ,4)處的切線斜率為e,所以切線方程為xe2 2 2 2y 4 = -2(x e )，即-2X y + 2 = 0.令 x = 0,貝 U y = 2;令 y = 0,貝 U x= e,所以切線與坐 ee1標(biāo)軸所圍成的三角形的面積 S= 2 Xe2X 2= e2.答案：e2&已知函數(shù)f (x) = x2 5x+ 2ln x，則函數(shù)f

7、 (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 解析：函數(shù) f(x) = x2 5x + 2ln x 的定義域是(0,+s)，令 f(x) = 2x 5 + -=x2x2 5x + 2xx 一 22x 一 111-0,解得0x2,故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 0,-x22和(2 ,+).1答案：0, 2 和(2 ,+)9若函數(shù)f(x) = x + aln x不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 a解析：由題意知f (x)的定義域為(0，+m), f(x) = 1 + -，要使函數(shù)f (x) = x+ aln xxa不是單調(diào)函數(shù)，則需方程1 + -= 0在(0,+)上有解，即x= a,. a0.x答案：(a, 0)

8、三、解答題 210. 已知f (x) = e ax ,曲線y =f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程為y= bx+ 1.(1) 求a, b的值；(2) 求f(x)在0,1上的最大值.解：(1) f( x) = ex 2ax,所以 f (1) = e 2a= b, f (1) = e a= b+1,解得 a= 1, b= e 2.(2)由(1)得 f(x) = ex x2,則 f (x) = ex 2x,令 g(x) = ex 2x, x 0,1,則 g(x) = e 2,由 g(x)0 ,得 0x0 ,得 In 2 x f (In 2) = 2 2ln 20 ,所以f(x)在0,1上單調(diào)

9、遞增,所以 f(X)max= f(1) = e 1.11. (2018 濰坊統(tǒng)一考試)已知函數(shù) f (x) = ax In x, F(x) = ex + ax,其中 x0, a0,x xt a0,. f( x)0在(0，+m)上恒成立，即f (x)在(0，+m)上單調(diào)遞減，當(dāng)K a0，即F(x)在(0,+)上單調(diào)遞增，不合題意，當(dāng) a0，得 xIn( a);由 F(x)0 ,得 0x1.In x(1) 若f(x)在(1 ,+a)上單調(diào)遞減，求實數(shù) a的取值范圍;(2) 若a= 2，求函數(shù)f (x)的極小值.In x 1解：(1)f (X)= nKV+ a，由題意可得f(x) W0在(1 ,+a

10、)上恒成立,1 1 1 1 2 1In 2x In x In x 24 x (1 ,+a),In x (0，+a),111111當(dāng)辦一 2 = 0時，函數(shù)t =廠一 12-1的最小值為4，1 1二aw 4，即實數(shù)a的取值范圍為一a, -.,x 當(dāng) a= 2 時，f(x)=訂x+ 2x(x1),2(x)=-x 1 + 2ln x In 2x2令 f (X) = 0,得 2ln x+ In x 1= 0,1 1當(dāng) 1xe2 時，f(x)e2 時，f( x)0 ,1-21 1- f(x)的極小值為 f(e2) =+ 2e2 = 4e2 .2B組一一大題專攻補短練1. (2019屆高三益陽、湘潭調(diào)研

11、)已知函數(shù)f(x) = In x-ax2 + x, a R.(1) 當(dāng)a= 0時，求曲線y= f (x)在點(e , f(e)處的切線方程；(2) 討論f(x)的單調(diào)性.11解：(1)當(dāng) a= 0 時，f (x) = In x + x, f(e) = e + 1, f ( x) =-+ 1, f (e) = 1 +-, xe曲線 y= f(x)在點(e , f(e)處的切線方程為y-(e + 1) = 1 + e (x-e)，即 y= + 1 x.1 2ax2 + x+1 f(x) = - 2ax+ 1 =, x0,x7當(dāng)a0時，令ff (x)0,. f (x)在(0,+)上單調(diào)遞增；22ax

12、 + x 1(X) = 0,則一2ax2 + x+ 1= 0，易知其判別式為正,設(shè)方程的兩根分別為X1, X2(X10.小1則 X1X2 =石,二 X100.4a令 f (x)0 ,得 x (0 , X2)，令 f (x)0，得 0x2;由 f (x)0 ,得 x2,故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(g, 0)和(2 ,+). (2)設(shè)切點為(xo, yo)，a 2 Xo3由切線斜率 k= 1 =3? xo= axo+ 2a,xo,a Xo 12廠由 xo yo 1 = xo 2 1 = o? (xo a)( xo 1) = o? xo= 1, xo=a.把xo= 1

13、代入得a= 1,把xo= a代入得a= 1,把xo= a代入無解，故所求實數(shù)a的值為1.2(3)因為 g( x) = xln x x f (x) = xln x a( x 1),所以 g(x) = In x + 1 a,由 g(x)o,得 xea 1;由g(x)o,得oxea 1,故g(x)在區(qū)間(e a1,+)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(o , ea 1)上單調(diào)遞減, 當(dāng)ea 1w 1,即oawi時，g(x)在區(qū)間1 , e上單調(diào)遞增，其最小值為g(1) = o； 當(dāng) 1ea_1e,即 1ae,即a2時，g(x)在區(qū)間1 , e上單調(diào)遞減，其最小值為g(e) = e+ a ae.0, 0v aw 1

14、,故 g( x) min = a 一 e , 1a2,e + a ae, a2.3. (2019 屆高三南昌調(diào)研)設(shè)函數(shù) f (x) = ln x 2m)( n(m n R).(1)討論f(x)的單調(diào)性； 若f(x)有最大值ln 2，求m+ n的最小值.解：(1)函數(shù)f (x)的定義域為(0，+g),211 4mxf ( x) = 4mx=xx當(dāng)m0,. f(x)在(0，+g)上單調(diào)遞增；當(dāng) m0 時，令 f (x)0，得 ovx”1,令 f (x)0時，f (x)在0,壽上單調(diào)遞增，在 狷 +s上單調(diào)遞減.f(X)max= f1.n= 2ln壽=梟2m，4m n= ln 717令 h(x)

15、= In x x + 3x(x0)，則 h(x) = - 2x + 3 x3 1ln m- 2 n= ln 2，1 1 1 計 2，.討 n= ni- 2In g 2.1 1令 h(x) = x 2ln x 2(x0),則 h(x) = 1 = 2x-,2x 2xi由 h(x)0，得 0x0，得 x2, h( x)在0, 1上單調(diào)遞減,在 2,+s上單調(diào)遞增,圍.1 1h( x) min = h 2 = qln 2 ,1.m n的最小值為qin 2.4. (2018 泉州調(diào)研)設(shè)函數(shù) f (x) = ln( x + a) x.(1)若直線I : y= 3x + in 3 2是函數(shù)f(x)的圖象的一條切線，求實數(shù) a的值.2 10 當(dāng)a= 0時，關(guān)于x的方程f (x) = x x + m在區(qū)間1,3上有解，求 m的取值范3解：(1) t f (x) = ln( x + a) x, f(x)=設(shè)切點為P(xo, yo),1 2則x0+ 1 = 3， x0+ a= 3.廠2又 ln( X。+ a) x= 3X0 + In 3 x= 2 , a= 1.22-ln 3 x= 3X0 + ln 3 3,3 32 10當(dāng) a=