正弦定理第一課時(shí)-教學(xué)案例(通山一中-徐子龍)

1、高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例正弦定理（第一課時(shí)）咸寧市通山一中 徐子龍一、創(chuàng)設(shè)情境：問題1、如圖1所示，為了測河兩岸b、c處 一 廠、廠一一、c、的距離，可在一岸邊選定a點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物c,三三己幺祭:三節(jié)二w二測得cab 350, cba 750,ab 120m,你能測：右乏主三主三:算出b、c的距離嗎？這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題？圖1引出：解三角形一一已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程。設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問題出發(fā)，雖然此題簡單，但是意義重大，屬于“不過河求兩岸距離問題”，引入數(shù)學(xué)課題.師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，同學(xué)們對(duì)三角形中的邊角知識(shí)知多少？生：“兩邊之和大于第三邊”，“內(nèi)角和等于1

2、800 ”，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角”，師:設(shè)定在 abc中，角a,b,c的對(duì)邊分別為a,b,c,即“a b c a b c”, 這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從 定量的角度來研究 三角形中的邊角關(guān)系呢？引出課題：“正弦定理”設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對(duì)于過去的知 識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí) 結(jié)構(gòu).二、猜想、實(shí)驗(yàn)：-1 -高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例邊角關(guān)系，猜想可能1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的存在哪些關(guān)系?學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)c”，可能出現(xiàn)以下答案情形。如：亙 ，a b c s

3、inasin bsinccosacos b cosca b c室室tan a tanb tanc.-7 -.等腰直角）的邊角關(guān)系，提煉出osin a sin b sinc設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形，特殊直角三角形（300,600,900和3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢?請(qǐng)學(xué)生以量角器、刻度尺、計(jì)算器為工具，對(duì)一般三角形的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，教師用幾何畫板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有osin a sin b sinc設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)學(xué)從特殊到一般研究方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的探究意識(shí)

4、和動(dòng)手實(shí)踐能力.三、證明探究：對(duì)此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？1、特殊入手，探究證明：在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在rtabc中，設(shè)bc a, ac b, ab c, c 900,根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有a sin a, b sinb,又sinc 1 c,c cc則c , 從而在 rt abc 中， sin a sin b sinca b cosin a sin b sinc2、推廣拓展，探究證明：問題2:在銳角 abc中，如何構(gòu)造、表示“ a與sin

5、a、b與sin b”的關(guān)系呢?探究1:能否構(gòu)造直角三角形，將問題化歸為已知問題?學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能通過以下三種方法構(gòu)造直角三角形。方法1:過c作bc邊上的垂線cd交ba的延長線于d,得到rt dbc方法2:過a作bc邊上的高線ad,化歸為兩個(gè)直角三角形問題。方法3:分別過b、c作ab ac邊上的垂線，交于d,連接ad,也得到兩個(gè)直角三角形經(jīng)過師生討論指出：方法 2,簡單明了，容易得到“ c與sinc、b與sinb 的關(guān)系式。知識(shí)鏈接：化歸是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問題是一次很好的演練。而方法3可將問題延伸到四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等，易得

6、一上上 2r,此問題點(diǎn)到 sin a sin b sinc為止，讓學(xué)生下去研究.探究2:能否引入向量，歸結(jié)為向量運(yùn)算？(1)在 abc中蘊(yùn)涵哪些向量關(guān)系式？學(xué)生探究，師生、生生之間交流討論，得ab bc ac,ab bc ca 0,bc ac ab, (這三個(gè)式子本質(zhì)上是相同的)。(2)在方法2中有，ad bc,如何轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算？生：由 ad bc 0,可得 ad bc ad (ac ab) 0設(shè)計(jì)意圖：利用向量的數(shù)量積是把向量抽象關(guān)系變?yōu)槊鞔_數(shù)量關(guān)系的唯一算法，垂直問題若利用向量數(shù)量積得到的數(shù)量關(guān)系就更加簡潔，雖然數(shù)量積運(yùn)算產(chǎn)生余弦，但垂直可實(shí)現(xiàn)余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。這既體現(xiàn)了三角與向量的聯(lián)

7、系， 又復(fù)習(xí)了向量的基本計(jì)算和技巧.知識(shí)鏈接：教學(xué)參考書中，證明方法所引用的單位向量j就是與向量ad共線的單位向量。過去，學(xué)生常對(duì)此感到費(fèi)解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然.問題3:鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？(留做課后作業(yè))四、理解定理、基本應(yīng)用：1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即a b csin a sin bsinc問題4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？(1)從結(jié)構(gòu)看，各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美；是一個(gè)三式連等的式子，由一a- -b-2r得到a 2rsina ,sin a sin b sincb b csin b sin b sinc

8、蘊(yùn)含著解決這類問題的一種方法，可以用角的正弦替代對(duì)邊，具有美學(xué)價(jià)值。(2)從方程的觀點(diǎn)看，可以構(gòu)成三個(gè)方程：3sin a-a- -,每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。sin a sinc從而知正弦定理的基本作用為:已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin asin b已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如sin a sin b o b2、例題分析例 1.在 abc 中，已知 a 32.20,b 81.80,a 42.9cm,解三角形。評(píng)述：定理的直接應(yīng)用，對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2.在 abc中，已知a 20cm,b 28cm, a 400,解三角

9、形（角度精確到1,邊長精確到1cm）。評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？為什么？3、課堂練習(xí)：（1）引題（問題1）（2）在 abc 中，sin a sinb 是 a b 的 （）a,充分不必要條件b,必要不充分條件c. 充要條件 d, 既不充分也不必要條件設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)課堂練習(xí)，練習(xí)（1）目的是首尾呼應(yīng)、學(xué)以致用；a b練習(xí)（2）因?yàn)?，若sin a sinb,則a b,由大邊對(duì)大角知 a b, sin a sin b將正弦定理、簡易邏輯與平面幾何知識(shí)整合，及時(shí)鞏固定理，運(yùn)用定理 .五、課堂小結(jié)：問題5

10、:請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。生1:原來我只會(huì)解直角三角形，現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形了 師：通過本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強(qiáng)大了。生2:原來我以為正弦定理的證明，只有書上一種方法，今天我們學(xué)到了課 本以外的方法。師：我們學(xué)習(xí)過兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的 證明充分展示了它們的妙用。在同學(xué)們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)：1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方法，既有由特殊到 一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、 向量運(yùn)算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性。2、正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律 ，據(jù)此，可以用角的正弦 替

11、代對(duì)邊，具有美學(xué)價(jià)值。3、利用正弦定理解決兩類三角形問題：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和 角。設(shè)計(jì)意圖：通過師生互動(dòng)，學(xué)生可以及時(shí)回顧本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng) 學(xué)生的歸納、表達(dá)等能力，也充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，師生 合作，讓課堂小結(jié)成為點(diǎn)睛之筆.六、作業(yè)布置：1、書面作業(yè)：p10習(xí)題1.1 1 、22、研究類作業(yè)：1)在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。2)已知三角形的兩邊與其中一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問題2),根據(jù)分散難點(diǎn)，循序漸進(jìn)的原則，在例 2中初步 涉及，在課后讓學(xué)生先行思考，

12、在“正、余弦定理”第三課時(shí)中予以剖析闡述.教學(xué)反思：1、本課就新課程理念下定理教學(xué)課的課堂模式，做了一些探索。以問題解決 為中心，通過提出問題，完善問題，解決問題，拓展問題，采用實(shí)驗(yàn)探究、自主 學(xué)習(xí)的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成與證明的探究上，努力挖掘定理教 學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力。改變了定理教學(xué)中簡單直接呈現(xiàn)、 照本宣科證明的處理方式。2、“用教材教，而不是教教材”，盡管教材中對(duì)本課知識(shí)方法的要求并不高， 只介紹了通過作高將一般三角形變換為直角三角形，再將三角比變換得到等式的 化歸方法，但教學(xué)不僅是忠實(shí)執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，而且是師生共同開發(fā)課程，將教材 有機(jī)裁剪，并融入個(gè)性見解的過程。如在正弦定理的證明探究中，學(xué)生完全可能 圍繞“如何構(gòu)造直角三角形？ ，多方聯(lián)系，廣泛聯(lián)想，分別應(yīng)用平面幾何四點(diǎn)共 圓、向量的數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)方法。本課設(shè)計(jì)充分預(yù)設(shè)各種課堂生成，盡量滿