數(shù)值分析課件數(shù)值微積分

1、第五章數(shù)值微積分數(shù)值積分newton-leibniz 公式r bf (x)dx = f (b) 尸().實際問題中的局限性：1)f(x)非常復雜2)沒有初等函數(shù)形式的f(x)匚二 數(shù)值積分3)函數(shù)由離散數(shù)據(jù)組成5.1數(shù)值求積公式的基本思想由定積分的定義，其中,a = x0xl.xn=b,/ci =xi-xi_1.bfmdx =a幾f(x)dx = a,./(斗)+ r-i=0機械求積法：節(jié)點處函數(shù)值的線性組合作為積分近似值兩個問題：1）求積系數(shù)如何選取？2）若求積節(jié)點可以自由選取，取哪些節(jié)點好?求積公式的代數(shù)精度定義:若求積公式對一切 不高于m次的多項式都準確成步，而對于至少一 個m+1次多項

2、式等號不成分，則稱此公式的代數(shù) 精度為m.代數(shù)精度的求法:/（x）=i,x,x2,x3,.,驗證求積公式是 黑藕鬻一個不成立的等式是x%則其代例1：確定如下求積公式的待定系數(shù)a。、aj a2,使其代數(shù)精度盡可能高。j xdx aof (1) + f (0) + a?/。).解:4=1/3 a1=4 / 3 . 4=1/3取 f(x)=1, x, x2,有ao + a +- 2jl an += 0vzan + a? =2/3u乙則 p f(x)dx = /(-1) + 4x f(0)+ f (l)/3.取撿曰3,左=右二。，但 f（x）=x4時，左二j/x4dx=2/5 w 右=2/3, 所以求

3、積公式具有3次代數(shù)精度。例2：選擇常數(shù)a,使如下求積公式代數(shù)精度盡量高:johf(x)dx = hf(o) +/(h)/2 + ah2f(o)-f (h).解：f (x)=1,左=h=h (1+1) /2=右；mf(x)=x, =h2/2=h (0+h) /2=右；f(x)=x2,左=h3/3,右力(0+h2) / 2+ ah2 (-2h) = h3/2-2ah3, 令 h3/22ah3/3/3, ma =1/12.m f(x)=x3,左也/4, =h(h3)/2+h2(-3h2)/12=h4/4； m f(x)=x4, *=h5/5, =h5/2+h2(-4h3)/12=h5/6,左。右，所

4、以a=1/12時，求積公式有3次代數(shù)精度。5.2 newton-cotes求積公式1、插值型求積公式給定一組節(jié)點 =/ % 0 (t - 2)dt =,c=(2)& = jc產(chǎn)=/o=(-l)d14 b+a 1sf=(b- * f(a)+-八彳)+: /. oo2oy=l2(x)y=f(x)0 x0xix2例3：計算1 =j1 x解：由newton-leibniz公式得2 1i= -/x = ln2-0.69314718.ji x由梯形公式,i - -( + -) = 0.752 2 11 1 1 1由simpson公式，7 -(- + 4 + -) = 0.6944,1111由 newton

5、 公式，/ 小 + 377t+3竺 75, o4/ 3 3/3 2由 cotes 公式，7-0.693175.3、nc公式的截斷誤差和代數(shù)精度梯形公式%(7) =1/(、)辦-7b 于必)(x - a)(x - b)dxu 2!b(x-a)(x-b)dx (積分中值定理)=-彳。兵(jlsimpson 公式構造三次hermite插值多項式h(x),滿足a + b 八 a + b ，a + b八 a + bh3(-) = /(丁),2(亍)=尸(亍r br brs(f) = kf)-sf = f(x)dx- h3(x)dx4!/(x a) x a + bt2x b)dx4!1 ( b-a5ai

6、(x _ ct) x j aia-vb22(x-b)dxf (5 = _()：2880-4)(j. & 力)902 )梯形公式的代數(shù)精度次代數(shù)精度當/(x)二用xdx = -x22b =-(b2-aa 2tf=彳x/() + /s)=(u + /?) j f (x)dx)/(%)二產(chǎn)， f (x)dx = j：ddx = f ： = g(03 一3),t/ = (/w + /(b)=彳(儲 + 廿)打j3此lj22simpson公式的代數(shù)精度三次代數(shù)精度當 /。）=乂心rb 1a f (x)dx = xdx = (b2-a2sf = i-(f(a) + 4/() + /s)_ b a a +

7、b 7、1)0=丁( + 4亍+力)=”).t(x) hb a、2 、a + b，2 2j (42+4( )+b) 6 zn -(242 + 4ab + 2b2) l(b3 i 6 3rbx2dx =；(/-/),當 /(x)= x3,bf (x)dx = asf=?(/(。) + 4/(9)+ f(b)o2b-a z 3“4 + 匕、37 3、=(成+縱+)o2b cl 7179022-6+(fl3 + 3ab + 3 ab + /) + 分)-(a3 +a2b + ab2 +z73)=(z74 -6 24定理：含有n個求積節(jié)點的插值型求 積公式至少具有n1次代數(shù)精度。定理：對于nc公式，當

8、n為奇數(shù)時 至少具有n次代數(shù)精度，當n為偶數(shù) 時至少有n+1次代數(shù)精度。注：實際計算中一般只用低階nc公式 （高階不穩(wěn)定）3 -例5.用n=2和n=3的nc公式近似計算 e 2dx.解：n=2時，c ;1gl23r 3 /i e 2dx -(e 2+4e 22) = 0.766575505,n=3 時，2e 2小。區(qū)(e 2+3e 6+3 e+e 2)= 0.766916279,3 -( e，仆 0.7668010.)5.3復化求積公式從余項的形式可以看到，積分區(qū)間越小，求積公式的截斷誤差越小。因此，可以把積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低次求積公式（梯形公式或拋物線公式）計算積分

9、,然后相加得到整個區(qū)間上的積分近似值，這就是復化求積的基本思想。1、復化梯形公式h - a把區(qū)間(a,b) n等分， h =.xi = a + ih,i = 0.-,n.n x，3+7(x)=-(f(xz)+f(x/+1)-f (g也 212pbt f h力3.a /(x)dx = j (/a ) + /(+1)-/()l (-1/(0+2z/a)+/s)2 iz=l7 i=0 1，=，(/)+叫.，一1 卜 3i3h h用.=25 f &)=-* f 切= f ”1=0 1/1/1/38時,20, rt (/)0, t”)ti. 1定義：若某求積公式的誤差滿足當u一,且c/0,稱該公式是p階

10、收斂的。2、復化simpson公式n等分(a,b) ,h = -jxi=a + ih,i = 0,n 1f(x)dx=vf(x)dxjai=0t hh5= 75(2+4/(備舊)+/(%)詆/)i=o b2zoou和3)+2|+4鄉(xiāng)”同一篇=sk)+rssf)rs 二一h52880一1i=0(b-a)28808).r 14例6：計算 = j -dx.j o 1 + x解：/(%) = ; 41 + x213kr8 f(0) + 2/(-) +/(1)= 3.138988494,1。lk=io_54= /(。)+ 2於)+4/(!)+ /leven 3 0dd x_-3.141592502.運算

11、量基本相同，但simpson公式精度更高.例7.對于定積分/ = fnxdx,分別用復化梯形 jo公式和復化simpson公式計算，要使得截斷誤差不超過jxlo-5試問劃分數(shù)n至少取多少？ 2解：r r(，)1 2 匯、兀 / 2 / tc / 2、2 / . ”匕、71卬川=/ ()=-()(sm j), 1212 n0|號,川|, 兀1 a-57 shi24 (2療 80.卬篇小丘一端心jr1n rsf,h /24 /i 型 2- - 5.1, 0.31/. n6.總結: 梯形求積公式和拋物線求積公式是低精度方法，但 對于光滑性較差的函數(shù)有時比用高精度方法能得到 更好的效果。復化梯形公式和

12、simpson公及，精 度較高，計算簡單，使用非常廣泛。5.4變步長求積法實際應用中，往往事先很難估計合適的劃分數(shù)n,使結果達到預期精度。因為分點的加密會改善精度，因此可以采用 自動加密分點的方式，并利用事后估計判斷 精度是否足夠，從而停止計算。n等分區(qū)間(a,b) , h = =a + ih,i = 0,n. nij r一tn=- )+ /3) + 2z/q),2 l/=i_lj-1n-1t2n=- /()+/+2/(h)+2/限)z=li=qi=0/（/f（7）=-與萼修f（?）, 1，7若fwf有/）-氏（/）=!（耳（/）-4（/）.t事后誤差估計；（丁2co-，（/） 時可停止計算.

13、jj例：計算1 =1）分別用梯形公式和simpson公式計算并估計誤差;2）用5的復化梯形公式計算并估計誤差;3）用變步長梯形公式計算，使其誤差小于10-5-1) 7lq(0) + t(l) h i + f975.s =4()(0) + 41()+ f (1) =4(1 + 4 h) h 乎。.69444.6 2 6 3/2 2 36kshto)jln。666672k(s)h翡(tr 建八翡亍。)5 亶2008333.2）令h = = l = 02, n 5構造節(jié)點玉=0 +九（，=（m2345），有:t5w = - 2 1 + 0 0.2 rif+:c /1111、-+ 2 x （fh+）

14、+1 + 0.2 1 + 0.4 1 + 0.6 1 + 0.81 + 1- + + + + -0.695635, 0.6 0.7 0.8 0.9 23）計算（,心,卻勾工6，%，直至-乙-7； 410-5為止, 3 n 其中，丁如二夕 +b a （、 /（玉+1/2）2 i=q數(shù)值微分當函數(shù)f(x)以離散列表盛慧舞著篝蠹 f(x)過于復雜病，要求用數(shù)值的方法計算節(jié)點 處的導數(shù)值。由導數(shù)的定義：= lim206 一02/1一個自然且簡單的方法：取極限的近似值，即差商，向前差商/(%)/(%+%)/(%)由taylor展式*/(% + 用)=/(x0)+v，(x0)+-/(), x0x0+/z,

15、因此，有誤差r(x) = ju)-=_，、& =。(牡 h2!向后差商人)h由taylor展式 h2 ”“f(x0 - h) = f (x0) hf x0) + f h(), x0-hx0,因此，有誤差r(x) = zu)-=/ = 0(h).n2!中心差商/(%+用)-/(%-%)2h由taylor展式/(/+)&) +礦&)+ 尸，&)+ 尸，7 xo+kj) = /(%)礦(%)+丁尸仇)-不尸4), x0-h2126注：由誤差表達式，h越小，誤差越小，但同時 舍入誤差增大，所以，有個最佳步長.事后誤差估計：設d(h),d(h/2)分別為步長為 h,h/2的差商公式。貝！|時的步長h/2

16、就是合適的步長.例12： f(x)=exp(x).采用中心差分格式,hv (1.15)r(x)hv (1.15)r(x)0.103.1630-0.00480.053.1590-0.00080.093.1622-0.00400.043.1588-0.00060.083.1613-0.00310.033.1583-0.00010.073.1607-0.00250.023.1575-0.00070.063.1600-0.00180.013.1550-0.0032插值型微分公式：用插值函數(shù)p（x）的導數(shù)近似原函數(shù)hx）的導數(shù)f 口） = p;（x） 一般只考慮節(jié)點上f 3 口 p”口）導數(shù)的近似值誤差/f（n+d（5）-r（x） = 丁（/（幻 一-5 + 1）!-dxlrax年而兩點公式（n=1）1hh22），r（%） = v/g）2/z3i,后 /,（xi）=-（% + %，r （%）=/（3）gx2n61a2/（%）= （%-4%+3%）, -a） =