分別是正弦余弦正切余切正割余割

1、 分別就是 竝 金弦 翅 余切 正割 余割 角e得所有三角函數(shù) (見:函數(shù)圖形曲線) 在平而直角坐標(biāo)系xOy中，從點0引岀一條射線0P,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為e,設(shè)OP=r,P點 得坐標(biāo)為(x,y)有 正弦函數(shù)sinGy/r 余弦函數(shù)cos6=x/r 正切函數(shù)tan6=y/x 余切函數(shù)cote二x/v 正割函數(shù)secO=r/x 余割函數(shù) csc0=r/y (斜邊為r,對邊為y,鄰邊為X。) 以及兩個不常用，已趨于被淘汰得函數(shù): 匚矢函數(shù) versine =1-cos6 余矢函數(shù) covers。=1-sinB 正弦(sin):角a得對邊比上斜邊 余弦(cos):角a得鄰邊比上斜邊 正切(tan):角a得對邊

2、比上鄰邊 余切(cot):角a得鄰邊比上對邊 正割(sec):角a得斜邊比上鄰邊 余割(esc):角a得斜邊比上對邊 編輯本段1 同角三角函數(shù)間得基本關(guān)系式: 平方關(guān)系： sinA2a + cosA2a = 1 1 +tanA2a = secA2a 1 +cotA2a=cscA2a 積得關(guān)系： sina=tanaxcosa cosa=cotaxsina tan asinaxseca cota二cosaxcsca seca=ta naxcsca csca=secaxcota 倒數(shù)關(guān)系： tana cota = 1 sina csca=1 cosa seca = 1 商得關(guān)系： sina/cosa

3、 = tana = seca/csca cosa/si na = cota = csca/seca 直角三角形ABC中， 角A得正弦值就等于角A得對邊比斜邊， 余弦等于角A得鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊， 三角函數(shù)恒等變形公式 兩角與與差得三角函數(shù)： cos(a+p)=cosa cosp-sina sinp cos(aB)二cosa cos0+sina sinp sin(ap)=sina cospcosa sinp tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tanatanp) tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tanatanp) 三角與得三角函數(shù)： sin(a+p+Y)二

4、sina cosp cosy+cosci sinp cosy+cosa cosp siny-sina sinp-siny cos(a+p+Y)=cosa cosp cosY-cosa sinp siny-sina-cosp sinYsina sinp-cosy tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tancrtanp tanY)/(1tana tan0tan0 tanytany tan a) 輔助角公式： Asina+Bcosa 二(A+B)A(1/2)sin(a+arctan(B/A),其中 sint=B/(A+B)A(1/2) cost=A/(A+B+B)八(1/2)cos

5、(crt),tant=A/B 倍角公式： sin(2a)=2sina cosa二2/(tana+cota) cos(2a)=cos(a)sin(a)=2cos(a)1=12sin(a) tan(2a)=2tana/1 -tan(a) 三倍角公式： sin(3a)=3sina-4sin(a)=4sina sin(60+a)sin(60-a) cos(3a)=4cos(a)-3cosa=4cosacos(60+a)cos(6 0a) tan(3a)=tan a - tan(n/3+a)- tan(TT/3-a) 半角公式： sin(a/2)=/(1 -cosa)/2) cos(a/2)=(1 +c

6、osa)/2) tan(a/2)=,，(1 -cosa)/(1 +cosa)=si na/(1 +cosa)二(1 cosa)/sina 降顯公式 sin(a)=(1-cos(2a)/2=versin(2a)/2 cos(a)=(1+cos(2a)/2=covers(2a)/2 tan(a)=(1 -cos(2a)/(1 +cos(2a) 萬能公式： sina=2tan(a/2)/1+tan(a/2) cosa=1-tan(a/2)/1+tan(a/2) tana=2tan(a/2)/1-tan(a/2) 積化與差公式： sina-cosp=(1/2)sin(a+p)+sin(a-p) cos

7、asinp=(1/2)sin(a+p)-sin(a-p) cosa cosp=(1/2)cos(a+p)+cos(a-p) sinasinp=-(1/2)cos(a+p)-cos(a-p) 與差化積公式： sina+sinp=2sin(a+p)/2cos(a-p)/2 sina-sinp=2cos(a+p)/2sin(a-p)/2 cosa+cosp 二 2cos(a+0) cos(ap)/2 cosa-cosp=-2sin(a+3)/2sin(a-p)/2 推導(dǎo)公式 tan a+cota 二 2/si n2a tan a-cota=-2cot2a 1+cos2a=2cosa 1 cos2a

8、二 2si na 1 +sina 二(sina/2+cosa/2) 其她： sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2TT*2/n)+sin(a+2nw3/n)+sina+2n*(n-1)/n=0 cosa+cos(a+2TT/n)+cos(a+2nw2/n)+cos(a+2TT*3/n)+cosa+2n*(n-1 )/n=0 以及 sin(a)+sin(a-2n/3)+sin(a+2TT/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O cosx+cos2x+、+cosnx= sin(n+1)x+sinnxsinx/2sinx 證明： 左邊=2s

9、inx(cosx+cos2x+.、+cosnx)/2sinx =sin2x0+sin3x-sinx+sin4xsin2x+、+ sinnxsin(n2)x+sin(n+1)x-sin(n-1) x/2sinx (積化與差) =sin(n+1 )x+sinnx-sinx/2sinx=右邊 等式得證 sinx+sin2x+. 、 、 +sinnx=cos(n+1)x+cosnxcosx1/2sinx 證明： 左邊=-2sinxsinx+sin2x+、+sinnx/(-2sinx) =cos2x-cos0+cos3xcosx+、+cosnxcos(n2)x+cos(n+1)xcos(n1)x/(2s

10、i nx) =-cos(n+1 )x+cosnx-cosx-1 /2sinx=右邊 等式得證 三倍角公式推導(dǎo) sin3a =sin (2a+a) =sin 2acosa+cos2asina =2sina(1 si na)+( 1 2si na)si na =3sina-4si na cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-si n2asina =(2cosa1 )cosa-2(1-si na)cosa =4cosa3cosa sin3a=3sina-4si na =4sina(3/4-sina) =4sina(3/2)-sina =4sina(si n60-si na) =4s

11、ina(sin60+si na)(sin60sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(600-a)/2cos(60+a)/2 =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cosa3cosa =4cosa(cosa3/4) =4cosacosa-(3/2) =4cosa(cosacos30) =4cosa(cosa+cos30 )(cosa-cos30 ) =4cosa*2cos(a+300)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+300)/2sin(a-30)/2 =-4cosasi n(a+30 )sin(a-30 ) =-4

12、cosasin90 -(60 -a)si n 卜 90+(60+a) =-4cosacos(60-a)-cos(60+a) =4cosacos(60 -a)cos(60 +a) 上述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60 -a)tan(60 +a) 編輯本段 三角函數(shù)得誘導(dǎo)公式 公式一： 設(shè)a為任意角,終邊相同得角得同一三角函數(shù)得值相等: 1對肉線的乗積為1 2空白三用形的上兩個頂點的 平方和等于下哽點的平方 3六邊形招鄰的三個頂點n b c有關(guān).系:1Cb sin(2kn+a)=sina cos(2kTT+a)=cosa tan (2kn+a)=tana cot(2kn+a)=cot

13、a 公式二： 設(shè)a為任意角,TT+a得三角函數(shù)值與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系： sin(TT+a)= sina cos(n+a)= cosa tan(n+a)=tana cot(TT+a)=cota 公式三： 任意角a與-a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系： sin(-a)= sina cos(-a)=cosa tan( a)= tana cot( a)= cota 公式四： 利用公式二與公式三可以得到iTa與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系: sin(TT a) = sina cos(n-a)= -cosa tan(na)= tana cot(TT a)= cota 公式五： 利用公式一與公式三可以得到2TT-

14、Q與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系： sin(2TT-a)= sina cos(2n-a)=cosa tan (2na)= ta na cot(2n-a)=-cota 公式六： n/2a及3tt/2士a與a得三角函數(shù)值之間得關(guān)系： sin(TT/24-a)=cosa cos(n/2 + a)= sina tan(TT/2 + a)= cota cot(TT/2+a)=ta na sin(TT/2 a)=cosa cos(tt/2 a)=si na tan(n/2 a)=cota cot(TT/2a) = tana sin(3n/2 + a)= cosa cos(3n/2 + a)=si na tan

15、 (3tt/2+a)= cota cot(3n/2 + a)= tana sin(3n/2 a)= cosa cos(3n/2 a)= - si na tan(3n/2-a)=cota cot(3n/2-a)=tana (以上keZ) 補充：6x9 = 54種誘導(dǎo)公式得表格以及推導(dǎo)方法(左名法則與泄號法則) f(BI f(P)=、 Pl sinp cosp tanp cotp seep esep 360k+a sina cosa tana cota seca csca 90-a cosa sina cota tana csca seca 90+a cosa -sina -cota -tana

16、-csca seca 180-a sina -cosa -tana -cota -seca csca 180+a -sina -cosa tana cota -seca -csca 270 -a cosa -sina cota tana -csca -seca 270+a -cosa sina -cota -tana csca -seca 360 -a -sina cosa -tana -cota seca -csca -a -sina cosa -tana -cota seca -csca 定名法則 90。得奇數(shù)倍+a得三角函數(shù)，英絕對值與a三角函數(shù)得絕對值互為余函數(shù)。90。得 偶數(shù)倍+a得

17、三角函數(shù)與a得三角函數(shù)絕對值相同。也就就是“奇余偶同，奇變偶不變” 定號法則 將a瞧做銳角(注意就是“瞧做)，按所得得角得象限，取三角函數(shù)得符號。也就就是 象限定號,符號瞧象限” 比如】90+a。左名:90。就是90。得奇數(shù)倍，所以應(yīng)取余函數(shù);左號:將a瞧做銳角，那 么90+a就是第二象限角，第二象限角得正弦為負(fù)，余弦為正。所以sin(90+a)二cosa , cos(90+a)=-sina這個非常神奇，屢試不爽 編輯本段1 三角形與三角函數(shù) 1、正弦泄理:在三角形中,各邊與它所對得角得正弦得比相等，即a/sinA=b/sinB=c /sinC=2R .(其中R為外接圓得半徑) 2、第一余弦左

18、理:三角形中任意一邊等于貝她兩邊以及對應(yīng)角余弦得交叉乘積得 與，即 a=c cosB + b cosC 3、第二余弦左理:三角形中任何一邊得平方等于其它兩邊得平方之與減去這兩邊 與它們夾角得余弦得積得2倍，即aA2=bA2+cA2-2bc cosA 4、正切泄理(napier比擬):三角形中任意兩邊差與得比值等于對應(yīng)角半角差與得 正切比值，即(a-b)/(a+b)=tan(A-B) /2/tan(A+B”2=tan(A-B)/2/cot(C/2) 5、三角形中得恒等式： 對于任意非直角三角形中，如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證明： 已知(A+B)二

19、(tt-C) 所以 tan(A+B)二tan(TT-C) 貝 ij (tanA+tanB)/(1 -tanAtanB)=(tann-tanC)/(1 +tanntanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 類似地，我們同樣也可以求證:當(dāng)a+p+Y=nn(neZ)時，總有tana+tanp+tanytanat anptany 編輯本段 部分高等內(nèi)容 高等代數(shù)中三角函數(shù)得指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)： sinx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i) cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2 tanx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)

20、泰勒展開有無窮級數(shù),eAz=exp (z)=1+z/1! +zA2/2! +zA3/3! +zA4/4! + + zAn/n! + 此時三角函數(shù)立義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集。 三角函數(shù)作為微分方程得解： 對于微分方程組y=-y“;y=：y“,有通解Q可證明 Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。 補充:由相應(yīng)得指數(shù)表示我們可以泄義一種類似得函數(shù)一一雙曲函數(shù)，其擁有很多 與三角函數(shù)得類似得性質(zhì)，二者相映成趣。 角度 a 0 30 45 60 90 180 1、sina 0 1/2 2/2 3/2 1 0 2、cosa 1 3/2 7212 1/2 0 -1 3、tana 0 3

21、/3 1 、+cn(x-a)n+、.二cn(xa)n (n=0、8) 它們得各項都就是正整數(shù)幕得幕函數(shù)，其中CO,C1,C2,及a都就是常數(shù), 這種級數(shù)稱為幕級數(shù)、 泰勒展開式(幕級數(shù)展開法)： f(x)=f(a)+f(a)/1 !*(x-a)+fM(a)/2!e(x-a)2+x、f(n)(a)/n!w(x-a)n+、 實用幕級數(shù)： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+、+xn/n!+、 ln(1+x)= xx2/3+x3/3f .、(-1)k-Vxk/k+、(|x|1) sin x = xx3/3!+x5/5!、.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+x、(-x00) cos x

22、 = 1x2/2!+x4/4!、(-1)k*x2k/(2k)!+.、(-00 x00) arcsin x = x + 1/2収3/3 + r3/(2*4)*x5/5 +、(|x|1) arccos x = n - ( x + 1/2*x3/3 + r3/(2*4)*x5/5 +、) (|x|1) arctan x = x xA3/3 + xA5/5 、(x1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+、. . (-1)k-rx2k-1/(2k-1)!+、(-00 x00) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+、(-1)k*x2k/(2k)!+x、(-00 x00) arcsin

23、h x = x 1/X3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 .、(|x|1) arctanh x = x + xA3/3 + xA5/5 + . . . (|x|1) 在解初等三角函數(shù)時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像 結(jié)合得方法求三角函數(shù)值、三角函數(shù)不等式.而積等等。 傅立葉級數(shù)(三角級數(shù)) f(x)二a0/2+(n二0.、(ancosnx+bnsinnx) a0二、tt)(f(x)dx an二、-tt)(f(x)cosnx)dx bn二、-tt)(f(x)sinnx)dx 三角函數(shù)得數(shù)值符號 正弦 第一,二象限為正，第三，四象限為負(fù) 余弦 第一，四象限為正 第二，三象限為負(fù) 正切 第一，三象限為正 第二，四象限為負(fù) 編輯本段 三角函數(shù)定義域與值域 sin(x),cos(x)得定義域為R,值域為(-1,1) tan(x)得迫義域為x不等于TT/2+kTT,值域為R cot(x)得泄義域為x不等于ku,值域為R 編輯本段 初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù) y=si nx y