弧長及扇形的面積應(yīng)用

1、精品資源 3.7 弧長及扇形的面積一一應(yīng)用一、教學(xué)目標：1、進一步理解弧長及扇形面積的計算公式并能正確應(yīng)用；2、利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識；3、經(jīng)歷對物體翻滾過程的體驗，逐步發(fā)展學(xué)生的空間觀念；二、教學(xué)重點：弧長及扇形面積計算公式的應(yīng)用，對物體翻轉(zhuǎn)過程的想象。三、教學(xué)難點：對物體翻滾過程的想象，并將其抽象成數(shù)學(xué)問題加以解決。四、教學(xué)過程：（一） 復(fù)習(xí)與回顧：上一節(jié)課我們討論了弧長及扇形面積的計算公式。今天，請同學(xué)們先完成以下問題:1801、在半徑為r的圓中，n用勺圓心角所對的弧長l的計算公式為：1=口里。3602、如果扇形的半徑為r,圓心角為n，那么扇形面積的計算公式為：

2、s = %r3、扇形的弧長l與扇形的面積s之間的關(guān)系為：s=-lr2接下來，我們通過幾個具體問題來看看弧長及扇形面積的應(yīng)用。（二）典型題探討：1、課本習(xí)題變式探討：如圖1,折線aobc是一段圍墻，一根5米長的繩子的一端拴在 。點處的柱子上，另 一端拴著一只小羊。請在圖1中畫出小羊的最大活動區(qū)域。按鈕2；按鈕3.按包4 |.搜出5搜出6首先，讓學(xué)生快速回憶以前解決過的原問題， 并通過依次點擊按鈕1按鈕5來展示小羊活動的最大區(qū)域及其形成過程，如圖 2中由曲線dt ft gt bt ot d所圍成的 區(qū)域。然后，點擊尸口按鈕,顯示以下 變式問題：如果o七6米，o氏3米，bc= 5米，/ ao由90

3、, o obc 120 ,則小羊活動的最大區(qū)域的面積為 o解析:根據(jù)最大區(qū)域的形成過程知該區(qū)域的面積分成了扇形dof和扇形fbg兩部分 因此，小羊的最大活動區(qū)域的面積應(yīng)為：90 二 52 60 二 22 83 /業(yè) 2、+= n （米）36036012此時，點擊按鈕6顯示答案。評注:該問題中小羊活動的路徑為兩段圓弧，而最大活動區(qū)域?qū)嶋H上分別是線段 od、bf繞著點o、b旋轉(zhuǎn)時掃過的圖形面積之和。2、典型問題賞析:問題1、將以邊長為1的等邊三角形木板沿水平線翻滾（如圖3所示），那么點b從開 始至結(jié)束所經(jīng)過的路徑的長度為歡下載解析:讓學(xué)生動手操作，去體會點 b的運動路徑并將其在圖形中畫出來，然后加

4、以計算。在大多數(shù)學(xué)生獲得結(jié)果時依次點擊按鈕1、按鈕2、按鈕1,幫助學(xué)生進步想象物體的運動以及點b的路徑。至于計算，有圖3易知兩段弧相等，各弧的圓心角為120 ,半徑為1,故可求得答案為bo此時，點擊按鈕3顯示答案。問題2、邊長為2的正方形木塊在水平地面上翻滾兩周（如圖4所示）后,頂點a所經(jīng)過的路徑總長為,a點與旋轉(zhuǎn)中心連線所掃過的面積為a按鈕1段鈕2按鈕3按鈕4按鈕5按鈕6d 圖 4 da點的運動解析:讓學(xué)生組成兩人學(xué)習(xí)互助組，共同協(xié)作動手操作，去尋找并體會 路徑并在圖形中畫出來;適時指點遇到障礙的學(xué)習(xí)小組，給予必要的提示。點擊按鈕1、按鈕2、按鈕1,讓學(xué)生驗證自己的想象以及操作結(jié)果，使學(xué)生從

5、中獲得 成就感。a點路徑的計算可以分別計算弧 ac、弧ca的長，然后相加即可。依次點擊按鈕 3顯 示輔助線和a點路徑長的答案;點擊按鈕5顯示a點與旋轉(zhuǎn)中心連線所掃過的圖形為兩個扇形， 點擊按鈕6顯示a點 與旋轉(zhuǎn)中心連線所掃過的圖形的面積。評注:在該問題中，a點在兩次翻滾時所繞的旋轉(zhuǎn)中心發(fā)生了變化， 因此旋轉(zhuǎn)半徑也 發(fā)生了變化。這一點，應(yīng)給學(xué)生強調(diào)，并與課本變式題進行對比，讓學(xué)生體會問題之關(guān)鍵 所在。問題 3、在 abc中，/ c= 90 , /a= 60 , ac= v3 ,將 ab%點 b 旋轉(zhuǎn)至 bde 的位置，且使點a b、d在同一條直線上，請在圖中畫出ac邊掃過的面積，并求這個面積。i

6、wti解析:本題也是考慮一條線段掃過的圖形面積，那么它與課本變式題和問題2中的 問題是否一樣呢？請同學(xué)們動手試一試，想一想，也可以將你的想法和同伴進行交流。適時地指點和給出必要的提示： 線段與兩個端點之間的關(guān)系，點的運動路徑能找出來 嗎？線段的中點的路徑又如何呢？試著再找找線段上其它點的運動路徑，你能發(fā)現(xiàn)什么呢？點擊按鈕1顯示圖5中的陰影部分，此即為線段 ac掃過的圖形。方法一、利用“陰影部分面積=總面積空白部分面積”，即陰影部分面積=（扇形abe 的面積+ bde的面積）一（4abc的面積+扇形 cbd的面積）=扇形abe的面積一扇形 cbd的面積；方法二、圖5中陰影部分的面積可以利用圖6或

7、圖7的方法將其轉(zhuǎn)化為扇環(huán)的問題進行求解；點擊按鈕2可得圖6,點擊按鈕3可得圖7;方法三、扇環(huán)是圓環(huán)的一部分，那么能否將方法二中的扇環(huán)與圓環(huán)聯(lián)系起來呢？請同學(xué)們試著將 abc繼續(xù)繞點b順時針旋轉(zhuǎn)，再依次轉(zhuǎn)過兩個120。，看看能得到什么圖形？ 從中你能得到什么啟示？在學(xué)生有了初步認識后，點擊按鈕 4可得圖8。利用圖8,我們不又t得到圖5中陰影 部分的面積為兀。評注:在該問題中，線段ac掃過的圖形盡管不是規(guī)則圖形，但我們可以通過對圖形的組拼將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。這正是求解不規(guī)則圖形面積的常用方法。五、課時小結(jié)：1、弧長與扇形面積的計算關(guān)鍵是找準扇形的半徑和圓心角的大??；2、翻滾問題關(guān)鍵是搞清物體在翻滾

8、時是圍繞那一個點翻滾的，翻滾的角度是多大;3、求解不規(guī)則圖形的面積要注意觀察圖形的特征，抓住特征進行簡單的圖形組拼。六、課后鞏固練習(xí):的位置（如圖9所示），a 5n b 、 5冗 c 36辿n d 、逋八362、如圖10,矩形abcd勺長和寬分別為2和1, ab在直線m上。依次以b、c1、d1為1、在4abc中，/c= 90 , /a= 60 , ac=虱,將4ab微點 b旋轉(zhuǎn)至 a b c 且使點a b c在同一條直線上，則點a經(jīng)過的路徑長為中心將矩形abcdi順時車+旋轉(zhuǎn)90 ,這樣點a按曲線at a1ta2t a3移動，其中弧aa 與邊cd交于點p、求a點運動的路徑at at a2t a3的長度；（2）、求圖中陰影部分的面積；（3）、求a點的運動路徑at at a2t a3與直線m所圍圖形的面積3、在4abc中，如果/ a= 45 , / b=