弧長(zhǎng)及扇形的面積應(yīng)用

1、精品資源 3.7 弧長(zhǎng)及扇形的面積一一應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)：1、進(jìn)一步理解弧長(zhǎng)及扇形面積的計(jì)算公式并能正確應(yīng)用；2、利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；3、經(jīng)歷對(duì)物體翻滾過程的體驗(yàn)，逐步發(fā)展學(xué)生的空間觀念；二、教學(xué)重點(diǎn)：弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式的應(yīng)用，對(duì)物體翻轉(zhuǎn)過程的想象。三、教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)物體翻滾過程的想象，并將其抽象成數(shù)學(xué)問題加以解決。四、教學(xué)過程：（一） 復(fù)習(xí)與回顧：上一節(jié)課我們討論了弧長(zhǎng)及扇形面積的計(jì)算公式。今天，請(qǐng)同學(xué)們先完成以下問題:1801、在半徑為r的圓中，n用勺圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為：1=口里。3602、如果扇形的半徑為r,圓心角為n，那么扇形面積的計(jì)算公式為：

2、s = %r3、扇形的弧長(zhǎng)l與扇形的面積s之間的關(guān)系為：s=-lr2接下來，我們通過幾個(gè)具體問題來看看弧長(zhǎng)及扇形面積的應(yīng)用。（二）典型題探討：1、課本習(xí)題變式探討：如圖1,折線aobc是一段圍墻，一根5米長(zhǎng)的繩子的一端拴在 。點(diǎn)處的柱子上，另 一端拴著一只小羊。請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出小羊的最大活動(dòng)區(qū)域。按鈕2；按鈕3.按包4 |.搜出5搜出6首先，讓學(xué)生快速回憶以前解決過的原問題， 并通過依次點(diǎn)擊按鈕1按鈕5來展示小羊活動(dòng)的最大區(qū)域及其形成過程，如圖 2中由曲線dt ft gt bt ot d所圍成的 區(qū)域。然后，點(diǎn)擊尸口按鈕,顯示以下 變式問題：如果o七6米，o氏3米，bc= 5米，/ ao由90

3、, o obc 120 ,則小羊活動(dòng)的最大區(qū)域的面積為 o解析:根據(jù)最大區(qū)域的形成過程知該區(qū)域的面積分成了扇形dof和扇形fbg兩部分 因此，小羊的最大活動(dòng)區(qū)域的面積應(yīng)為：90 二 52 60 二 22 83 /業(yè) 2、+= n （米）36036012此時(shí)，點(diǎn)擊按鈕6顯示答案。評(píng)注:該問題中小羊活動(dòng)的路徑為兩段圓弧，而最大活動(dòng)區(qū)域?qū)嶋H上分別是線段 od、bf繞著點(diǎn)o、b旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過的圖形面積之和。2、典型問題賞析:問題1、將以邊長(zhǎng)為1的等邊三角形木板沿水平線翻滾（如圖3所示），那么點(diǎn)b從開 始至結(jié)束所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)度為歡下載解析:讓學(xué)生動(dòng)手操作，去體會(huì)點(diǎn) b的運(yùn)動(dòng)路徑并將其在圖形中畫出來，然后加

4、以計(jì)算。在大多數(shù)學(xué)生獲得結(jié)果時(shí)依次點(diǎn)擊按鈕1、按鈕2、按鈕1,幫助學(xué)生進(jìn)步想象物體的運(yùn)動(dòng)以及點(diǎn)b的路徑。至于計(jì)算，有圖3易知兩段弧相等，各弧的圓心角為120 ,半徑為1,故可求得答案為bo此時(shí)，點(diǎn)擊按鈕3顯示答案。問題2、邊長(zhǎng)為2的正方形木塊在水平地面上翻滾兩周（如圖4所示）后,頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)為,a點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所掃過的面積為a按鈕1段鈕2按鈕3按鈕4按鈕5按鈕6d 圖 4 da點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)解析:讓學(xué)生組成兩人學(xué)習(xí)互助組，共同協(xié)作動(dòng)手操作，去尋找并體會(huì) 路徑并在圖形中畫出來;適時(shí)指點(diǎn)遇到障礙的學(xué)習(xí)小組，給予必要的提示。點(diǎn)擊按鈕1、按鈕2、按鈕1,讓學(xué)生驗(yàn)證自己的想象以及操作結(jié)果，使學(xué)生從

5、中獲得 成就感。a點(diǎn)路徑的計(jì)算可以分別計(jì)算弧 ac、弧ca的長(zhǎng)，然后相加即可。依次點(diǎn)擊按鈕 3顯 示輔助線和a點(diǎn)路徑長(zhǎng)的答案;點(diǎn)擊按鈕5顯示a點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所掃過的圖形為兩個(gè)扇形， 點(diǎn)擊按鈕6顯示a點(diǎn) 與旋轉(zhuǎn)中心連線所掃過的圖形的面積。評(píng)注:在該問題中，a點(diǎn)在兩次翻滾時(shí)所繞的旋轉(zhuǎn)中心發(fā)生了變化， 因此旋轉(zhuǎn)半徑也 發(fā)生了變化。這一點(diǎn)，應(yīng)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)，并與課本變式題進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生體會(huì)問題之關(guān)鍵 所在。問題 3、在 abc中，/ c= 90 , /a= 60 , ac= v3 ,將 ab%點(diǎn) b 旋轉(zhuǎn)至 bde 的位置，且使點(diǎn)a b、d在同一條直線上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出ac邊掃過的面積，并求這個(gè)面積。i

6、wti解析:本題也是考慮一條線段掃過的圖形面積，那么它與課本變式題和問題2中的 問題是否一樣呢？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試，想一想，也可以將你的想法和同伴進(jìn)行交流。適時(shí)地指點(diǎn)和給出必要的提示： 線段與兩個(gè)端點(diǎn)之間的關(guān)系，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑能找出來 嗎？線段的中點(diǎn)的路徑又如何呢？試著再找找線段上其它點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，你能發(fā)現(xiàn)什么呢？點(diǎn)擊按鈕1顯示圖5中的陰影部分，此即為線段 ac掃過的圖形。方法一、利用“陰影部分面積=總面積空白部分面積”，即陰影部分面積=（扇形abe 的面積+ bde的面積）一（4abc的面積+扇形 cbd的面積）=扇形abe的面積一扇形 cbd的面積；方法二、圖5中陰影部分的面積可以利用圖6或

7、圖7的方法將其轉(zhuǎn)化為扇環(huán)的問題進(jìn)行求解；點(diǎn)擊按鈕2可得圖6,點(diǎn)擊按鈕3可得圖7;方法三、扇環(huán)是圓環(huán)的一部分，那么能否將方法二中的扇環(huán)與圓環(huán)聯(lián)系起來呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍鴮?abc繼續(xù)繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再依次轉(zhuǎn)過兩個(gè)120。，看看能得到什么圖形？ 從中你能得到什么啟示？在學(xué)生有了初步認(rèn)識(shí)后，點(diǎn)擊按鈕 4可得圖8。利用圖8,我們不又t得到圖5中陰影 部分的面積為兀。評(píng)注:在該問題中，線段ac掃過的圖形盡管不是規(guī)則圖形，但我們可以通過對(duì)圖形的組拼將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。這正是求解不規(guī)則圖形面積的常用方法。五、課時(shí)小結(jié)：1、弧長(zhǎng)與扇形面積的計(jì)算關(guān)鍵是找準(zhǔn)扇形的半徑和圓心角的大??；2、翻滾問題關(guān)鍵是搞清物體在翻滾

8、時(shí)是圍繞那一個(gè)點(diǎn)翻滾的，翻滾的角度是多大;3、求解不規(guī)則圖形的面積要注意觀察圖形的特征，抓住特征進(jìn)行簡(jiǎn)單的圖形組拼。六、課后鞏固練習(xí):的位置（如圖9所示），a 5n b 、 5冗 c 36辿n d 、逋八362、如圖10,矩形abcd勺長(zhǎng)和寬分別為2和1, ab在直線m上。依次以b、c1、d1為1、在4abc中，/c= 90 , /a= 60 , ac=虱,將4ab微點(diǎn) b旋轉(zhuǎn)至 a b c 且使點(diǎn)a b c在同一條直線上，則點(diǎn)a經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為中心將矩形abcdi順時(shí)車+旋轉(zhuǎn)90 ,這樣點(diǎn)a按曲線at a1ta2t a3移動(dòng)，其中弧aa 與邊cd交于點(diǎn)p、求a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑at at a2t a3的長(zhǎng)度；（2）、求圖中陰影部分的面積；（3）、求a點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑at at a2t a3與直線m所圍圖形的面積3、在4abc中，如果/ a= 45 , / b=