原子物理學(xué)答案VIP

1、原子物理學(xué)習(xí)題解答劉富義編臨沂師范學(xué)院物理系理論物理教研室第一章原子的基本狀況1.1若盧瑟福散射用的a粒子是放射性物質(zhì)鐳 c放射的，其動(dòng)能為7.68x106電子伏特。散射物質(zhì)是原子序數(shù)z =79的金箔。試問散射角 1 =150口所對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離b多大?解：根據(jù)盧瑟福散射公式:,m m mvk .ctg /=4； 0 2 b = 4； 0 三 b2 zezeze2ctg 24 二。k：得到：一一一 15=3.97 乂10 米79 (1.60 1019)2ctg 150 二_ _z_126z19(4 二 8.85 10) (7.68 106 10)式中k0t = 1mv2是a粒子的功能。1.2已知

2、散射角為日的a粒子與散射核的最短距離為rm =(2 ze 24 二；二(1-)mvsin-2-，試問上題a粒子與散射的金原子核之間的最短距離rm多大?解：將1.1題中各量代入rm的表達(dá)式，得:min4二；0) 需(1sin192八 .94 79(1.6010)2=9 1096布7.68 101.60 10(1高）_ _14=3.02 父10 米1.3若用動(dòng)能為1兆電子伏特的質(zhì)子射向金箔。問質(zhì)子與金箔。問質(zhì)子與金箔原子核可能達(dá)到的最小距離多大？又問如果用同樣能量的笊核（笊核帶一個(gè)+e電荷而質(zhì)量是質(zhì)子的兩倍，是氫的一種同位素的原子核）代替質(zhì)子，其與金箔原子核的最小距離多大？解：當(dāng)入射粒子與靶核對(duì)心

3、碰撞時(shí),散射角為180口。當(dāng)入射粒子的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為兩粒子間的勢(shì)能時(shí)，兩粒子間的作用距離最小。根據(jù)上面的分析可得：z 2,故有:4 - 0 r minr minze9=9 10 979(1.6010 一19)210 61.6010 一19=1.14尺10 t米由上式看出：rmin與入射粒子的質(zhì)量無關(guān)，所以當(dāng)用相同能量質(zhì)量和相同電量得到核代替質(zhì)子時(shí),其與靶核的作用的最小距離仍為1.14父10 平米。1.4 針放射的一種ot粒子的速度為1.597父107米/秒，正面垂直入射于厚度為10，米、密度為1.932父104公斤/米3的金箔。試求所有散射在9 90cl的a粒子占全部入射粒子數(shù)的百分比。已知金

4、的原子量為197。dn解：散射角在dq +de之間的a粒子數(shù)dn與入射到箔上的總粒子數(shù) n的比是:ntd其中單位體積中的金原子數(shù)：n = ：；/mau = ：n0/aau而散射角大于900的粒子數(shù)為：dn =dn = nnt $do所以有:dnnt(j：n 0aau1t ( 4二；02 ze 2 2 ( mu 2 )180 :- 90sinecos 一等式右邊的積分:8cos 900；dsin 一29 d sin_ o 180 ：-2一 2 90 ?. 3 1sin 一2dnjiaau4二；(消mu)28.5 10=8.510一4 .%即速度為1.597父107米/秒的口粒子在金箔上散射，散射

5、角大于90。以上的粒子數(shù)大約是8.50%。1.5 粒子散射實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)在散射角很?。ㄔ?00 的散射。但是在盧瑟福的原子有核模型的情況下，當(dāng) 豆粒子無限靠近原子核時(shí)，會(huì)受到原子核的無限大 的排斥力，所以可以產(chǎn)生 9 900的散射，甚至?xí)a(chǎn)生e定1800的散射，這與實(shí)驗(yàn)相符合。因此，原子的湯姆遜模型是不成立的。第二章 原子的能級(jí)和輻射2.1 試計(jì)算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率、線速度和加速度。解：電子在第一玻爾軌道上即年 n=1o根據(jù)量子化條件，hp 二 mvr n 2 二v nh h可得：頻率 =二 =二 2 =二 22 二 a12 二 ma12 二 ma1=6.58父1015赫茲速

6、度：v = 2-1 = h/ma = 2.188父 106米/秒加速度：w = v2/r =v2/a1 = 9.046父 1022米/秒22.2 試由氫原子的里德伯常數(shù)計(jì)算基態(tài)氫原子的電離電勢(shì)和第一激發(fā)電勢(shì)。解：電離能為ei =丈_ e1,把氫原子的能級(jí)公式 en = rhc/n2代入，得：ei = rh hc(g - -) = rhc=i3.60 電子伏特。1e：電離電勢(shì)：vi =13.60伏特e11、 33 ,第一激發(fā)能：ei = rh hc(j -怔)=: rhc =:父 13.60 = 10.20電子伏特1244第一激發(fā)電勢(shì)：v = e1 =10.20伏特e2.3 用能量為12.5電子

7、伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問受激發(fā)的氫原子向低能基躍遷時(shí)，會(huì)出現(xiàn) 那些波長的光譜線？解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你n=2,3,4等能級(jí)上去所需要的能量是：11e =hcrh (-)其中 hcrh =13.6電子伏特1 n1，e1 =13.6m(1 可)=10.2電子伏特22_ 1 、e2 =13.6父(1 -) =12.1 電子伏特321，e3 =13.6x(1 -) =12.8 電子伏特4其中e1和e2小于12.5電子伏特，e3大于12.5電子伏特?？梢?，具有 12.5電子伏特能量的電子不足以把基態(tài)氫原子激發(fā)到 n至4的能級(jí)上去，所以只能出現(xiàn)n m3的能級(jí)間的躍遷。躍遷時(shí)可能發(fā)出的光譜線的波長

8、為：= 5rh /361117 rh（好一 3o-1 =6565a二 rh（；o4rh-2 =1215a32）=9rh11一二 rhq,313 =1025a2.4試估算一次電離的氮離子he+、二次電離的鋰離子 li+的第一玻爾軌道半徑、電離電勢(shì)、第一激發(fā)電勢(shì)和賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。解：在估算時(shí)，不考慮原子核的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，即把原子核視為不動(dòng)，這樣簡(jiǎn)單些。a) 氫原子和類氫離子的軌道半徑:2 24二；0h nr 二22 = a14 二 mze2nz,n =1,2,3其中ai4 二二0h22 24 二 me= 0.529177x10,米，是氫原子的玻爾第一軌道半徑

9、;z是核電荷數(shù)，對(duì)于h,z=1;又t于h,z=2;對(duì)于li +卜，z=3;因此，玻爾第一軌道半徑之比是rhezh 1rlizh 1b)氫和類氫離子的能量公式:c 2422二 me z(4二;0)2n2h2二 eiz2其中ei2二 me2 2(4二；) h電離能之比:0 - e he0 - ehc)d)rhzhe-2rhzli 3,n n= 1,2,3電-13.6電子伏特，是氫原子的 基態(tài)能量。z；z24,+0 - e lizli0 - ehzh第一激發(fā)能之比:ehe -ehe221 22eh -ehe2i - elieh -eheieiei12,22321222-ei7-二 42-eif氫原子

10、和類氫離子的廣義巴耳末公式:二 z2r凸-nin二1,2,3.n2 =(7 1),(12)2 二2me4(4二 0)2h3是里德伯常數(shù)。氫原子賴曼系第一條譜線的波數(shù)為:相應(yīng)地，對(duì)類氫離子有: he 門211、1v1(f 一，)下 li211、_1v1-3 r(72 一力) 一lt121因此，he -11h- 11li 一 112.5試問二次電離的鋰離子l*從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子，是否有可能使處于基態(tài)的一次電離的氨粒子 he的電子電離掉？解：li*由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子的能量為:he+的電離能量為：11 、vhe = 4hcrhe（- - -）= 4hcrhe1hvli

11、27rli 27 1 m/mhe = = s hvhe16rhe16 1 m/ m li由于 m he m m li，所以 1 + m/m he 1 + m/ m li ,從而有hvli十+ a hvhe+，所以能將he+的電子電離掉。2.6氫與其同位素笊（質(zhì)量數(shù)為2）混在同一放電管中，攝下兩種原子的光譜線。試問其巴耳末系的第一條（h）光譜線之間的波長差 九有多大？已知?dú)浒桌锏虏?shù)rh =1.0967758父107米笊的里德伯常數(shù) rd =1.0970742父107米。 1解：一1=rh (221、_ _2), ?uh =36/5rh 3= rd(2232),九d =36/5rd36, 1r

12、dh - d(丁 -5 rh=1.79a正電子素”。試計(jì)算正2.7 已知一對(duì)正負(fù)電子繞其共同的質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)暫時(shí)形成類似于氫原子結(jié)構(gòu)的電子素”由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷發(fā)射光譜的波長人為多少a ?_111r.-1m m-3r88 _13r- - 3 10973731米=2430 a斛：=re e _( f ) ee 12222.8 試證明氫原子中的電子從 n+1軌道躍遷到n軌道，發(fā)射光子的頻率 vn。當(dāng)n1時(shí)光子頻率即為電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。111證明：在氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的波數(shù)為：n = = r2 - 一 jn n (n 1)止ac 11, 2n 1頻率為： vn

13、= = rc7 = 5 rcn2 (n 1)2 n2(n 1)22243當(dāng)n時(shí)，有(2n+1)/n (n+1)定2n/n =2/n，所以在n1時(shí)，氫原子中電子從 n+1軌3道躍遷到n軌道所發(fā)光子的頻率為：vn = 2rc/n 。設(shè)電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為fn,則. v mvr p 2rc1.1 n _ c /2 _ _2 一 寸2 r 2 二mr2二mrn因此，在n1時(shí)，有vn = fn由上可見，當(dāng)n1時(shí)，請(qǐng)?jiān)又须娮榆S遷所發(fā)出的光子的頻率即等于電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。這說明，在n很大時(shí)，玻爾理論過渡到經(jīng)典理論，這就是對(duì)應(yīng)原理。2.9 li原子序數(shù)z=3,其光譜的主線系可用下式表示：

14、rr .v =2 -2。已知鋰原子電離成 li離子需要203.44電子伏特的功。問如把(1 0.5951) (n -0.0401)li +離子電離成li +/子，需要多少電子伏特的功？解：與氫光譜類似，堿金屬光譜亦是單電子原子光譜。鋰光譜的主線系是鋰原子的價(jià)電子由高的p能級(jí)向基態(tài)躍遷而產(chǎn)生的。 一次電離能對(duì)應(yīng)于主線系的系限能量， 所以li + 離子電離成li 離子時(shí)，有 e1 = rhc 2 - 駟一2 = 5.35fe子伏特(1 0.5951)2二 (1 0.5951)2li 是類氫離子，可用氫原子的能量公式，因此 li +*t li 時(shí)，電離能e3為：e3 =zrhc gz2rr/hc =

15、 122.4電子伏特。設(shè)li +t li +慚電離能為e2。而li t li +卜+需要的總能量是e=203.44電子伏特，所以有e2 = e - e1 - e3 = 75.7電子伏特2.10 具有磁矩的原子，在橫向均勻磁場(chǎng)和橫向非均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有什么不同？答：設(shè)原子的磁矩為磁場(chǎng)沿z方向，則原子磁矩在磁場(chǎng)方向的分量記為nz,于是具有磁矩的原子在磁場(chǎng)中所受的力為f = r z 且，其中田是磁場(chǎng)沿z方向的梯度。對(duì)均勻磁場(chǎng)， 出=0,j z；z；z原子在磁場(chǎng)中不受力，原子磁矩繞磁場(chǎng)方向做拉摩進(jìn)動(dòng)，且對(duì)磁場(chǎng)的取向服從空間量子化規(guī)則。對(duì)于 二b 一 ， ,，一非均磁場(chǎng)，00原子在磁場(chǎng)中除做上述運(yùn)動(dòng)外，

16、還受到力的作用，原子射束的路徑要發(fā)生偏轉(zhuǎn)。遼2.11 史特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)中，處于基態(tài)的窄銀原子束通過不均勻橫向磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的梯度為b = 103；z2特斯拉/米，磁極縱向范圍li=0.04米（見圖2-2）,從磁極到屏距離 l2=0.10米，原子的速度v=5m10米/秒。在屏上兩束分開的距離 d =0.002米。試確定原子磁矩在磁場(chǎng)方向上投影n的大?。ㄔO(shè)磁場(chǎng)邊緣的影響可忽略不計(jì)）。解：銀原子在非均勻磁場(chǎng)中受到垂直于入射方向的磁場(chǎng)力作用。其軌道為拋物線；在12區(qū)域粒子不受力作慣性運(yùn)動(dòng)。經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)域l1后向外射出時(shí)粒子的速度為v ,出射萬向與入射萬向間的夾角為日。日與速度間的關(guān)系為：tg8 =v，v粒子

17、經(jīng)過磁場(chǎng) l出射時(shí)偏離入射方向的距離 s為:(1)將上式中用已知量表示出來變可以求出z 一c _ f _汨一八, v - at, a -, t l1 / v- m m fzz汨li . v 二一m ：:z vs = l2tg -=z汨l1l2m：:zv2z ：b l1l2m ：z v2把s代入（1）式中，得:d jz ；:b l1l2 人史上2 m :z v2 2m ：:z v2 整理，得：tlbl2(li . 2l2) =d2m 遼 v2由此得：4 =0.93x10*焦耳/特2.12 觀察高真空玻璃管中由激發(fā)原子束所發(fā)光譜線的強(qiáng)度沿原子射線束的減弱情況，可以測(cè)定各激發(fā)態(tài)的平均壽命。若已知原子

18、束中原子速度 v = 103米/秒，在沿粒子束方向上相距 1.5毫米其共振光譜 線強(qiáng)度減少到1/3.32。試計(jì)算這種原子在共振激發(fā)態(tài)的平均壽命。解：設(shè)沿粒子束上某點(diǎn) a和距這點(diǎn)的距離s=1.5毫米的b點(diǎn)，共振譜線強(qiáng)度分別為i0和i1,并設(shè)粒子束在a點(diǎn)的時(shí)刻為零時(shí)刻，且此時(shí)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為n20，原子束經(jīng)過t時(shí)間間隔從a到達(dá)b點(diǎn)，在b點(diǎn)處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為n2。光譜線的強(qiáng)度與處于激發(fā)態(tài)的原子數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)的躍遷幾率成正比。設(shè)發(fā)射共振譜線的躍遷幾率上i1a21n2n2為a21,則有 g=10a21n 20n20適當(dāng)選取單位，使 l=_n二=1/3.32, i 0 n 20并注意到 n2 = n

19、20e21t,bt = s/v ,則有：_na =e&1t =1/3.32 n 20由此求得：1va21(in 3.32 -ln1) = ln3.32tsx 1 s 1.5 10，t =3a21vln3.32 103 ln3.32= 1.25x10 上秒第三章量子力學(xué)初步3.1 波長為1 a的x光光子的動(dòng)量和能量各為多少？解：根據(jù)德布羅意關(guān)系式，得:34動(dòng)量為: p = =-10= 6.63父10-24千克 米 秒10能量為：e=hv = hc/=6.63父10,4 m 3m108/10, =1.986父10,5焦耳。3.2 經(jīng)過10000伏特電勢(shì)差加速的電子束白德布羅意波長 ? = ?用上述

20、電壓加速的質(zhì)子束的德布 羅意波長是多少？解：德布羅意波長與加速電壓之間有如下關(guān)系：九=h/j2mev 對(duì)于電子：m = 9.11父10口公斤，e = 1.60父109庫侖把上述二量及h的值代入波長的表示式，可得：12.25 -12.25 ,a a = 0.1225an 10000對(duì)于質(zhì)子，m =1.67父102公斤，e =1.60父10,9庫侖，代入波長的表示式，得: 34= 2.862 10da6.626 1012.25 -a的電子德布羅意波長2 1.67 10 47 1.60 10 “9 100003.3 電子被加速后的速度很大，必須考慮相對(duì)論修正。因而原來與加速電壓的關(guān)系式應(yīng)改為：122

21、5上 二=(1 -0.489 10 v)av其中v是以伏特為單位的電子加速電壓。試證明之。證明：德布羅意波長：，=h / p對(duì)高速粒子在考慮相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，其動(dòng)能k與其動(dòng)量p之間有如下關(guān)系： k2+2km0c2= p2c2而被電壓v加速的電子的動(dòng)能為:k 二 ev2(ev)2c2m0evp = . 2m0ev (ev)2/c2因此有:h.2mevev 2m0c2一般情況下，等式右邊根式中 ev/2mc2 一項(xiàng)的值都是很小的。所以，可以將上式的根式作泰勒展 開。只取前兩項(xiàng)，得：hevh6】一h (1 -evy)-h (1 -0.489 10 v)2moev4moc2m0ev12.25 二由于上式中

22、h/q2moev也一a,其中v以伏特為單位，代回原式得:12.25a 二 =(1 -0.489 10 v) a,v由此可見，隨著加速電壓逐漸升高，電子的速度增大，由于相對(duì)論效應(yīng)引起的德布羅意波長變短。3.4試證明氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波波長。上述結(jié)果不但適用于圓 軌道，同樣適用于橢圓軌道，試證明之。證明：軌道量子化條件是：pdq = nh對(duì)氫原子圓軌道來說，pr = 0, p = mr2 = mvr所以有：pd = 2二 mvr = nh一 _ hs = 2 -r = n n , n = 1,2,3 =-=m v所以，氫原子穩(wěn)定軌道上正好能容納下整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波

23、長。橢圓軌道的量子化條件是：,p d = n h:p r dr = n r h其中 pr 二 mr, p 二 mrprdr + p.#) = nh,其中 n = n +nr 而(prdr p d )二；(mrdr mr2 d )*dr2 ,d= (m r dt mr dt) dtdt2 ,二；:mv dt = mvdsh ds=, ds = hds.二n 因此，橢圓軌道也正好包含整數(shù)個(gè)德布羅意波波長。1微米。3.5 帶電粒子在威耳孫云室（一種徑跡探測(cè)器）中的軌跡是一串小霧滴，霧滴德線度約為 當(dāng)觀察能量為1000電子伏特的電子徑跡時(shí)其動(dòng)量與精典力學(xué)動(dòng)量的相對(duì)偏差不小于多少？解：由題知，電子動(dòng)能k

24、=1000電子伏特，axnl。蟲米，動(dòng)量相對(duì)偏差為 ap/p。h根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，有 ipix ,由此得：ap之 2經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)量為：p = ,2mk.2 x2mk= 3.09 10)電子橫向動(dòng)量的不準(zhǔn)確量與經(jīng)典力學(xué)動(dòng)量之比如此之小，足見電子的徑跡與直線不會(huì)有明顯區(qū)別。3.6 證明自由運(yùn)動(dòng)的粒子（勢(shì)能 v三0）的能量可以有連續(xù)的值。證明：自由粒子的波函數(shù)為：自由粒子的哈密頓量是:i _.h(p一日)(1)自由粒子的能量的本征方程為:匕22m(2)h = e-(3)h 2（p r -et）把（1）式和（2）式代入（3）式，得：盯ae h = e2m即：h2d2d2d21pxx pyy pzzet）

25、2a（-d-y -d-7 -dt）e he2mdxdydz2l =e;2m2e=心2m自由粒子的動(dòng)量p可以取任意連續(xù)值，所以它的能量e也可以有任意的連續(xù)值。3.7 粒子位于一維對(duì)稱勢(shì)場(chǎng)中，勢(shì)場(chǎng)形式入圖3-1 ,即0：x：l,v=0x：0,x l,v =v0(1)試推導(dǎo)粒子在 e v0情況下其總能量 e滿足的關(guān)系式。(2)試?yán)蒙鲜鲫P(guān)系式，以圖解法證明，粒子的能量只能是一些不連續(xù)的值。 解：為方便起見，將勢(shì)場(chǎng)劃分為i ?n?ni三個(gè)區(qū)域。d,(x)2n(1) 定態(tài)振幅方程為 一: +與(e -v(x)氏(x) = 0dx2h2式中n是粒子的質(zhì)量。i區(qū)：注口2甲=0其中2=當(dāng)0e)dxh波函數(shù)處處

26、為有限的解是：中1(x) = ae叱a是一任意常數(shù)。n區(qū)：弋十p紳=0其中p2 = 2e dxh處處有限的解是：w2(x) = bsin(px+)b, 是任意常數(shù)。出區(qū)：d 2 dx_豆2甲=0其中汽2 =翼0 _e) h2處處有限的解是:匕(x) =deqd是任意常數(shù)。有上面可以得到:1dx 2d1-2dx= %tgx),1一 3*3 dx有連續(xù)性條件，得:of二ctgof=函(-l )解得:tg ( l)=pp十ototk1 2-a因此得：l =n： -2tg 八)這就是總能量所滿足的關(guān)系式。(2) 有上式可得：p 一 tg(亦即-tg n=偶數(shù)，包括零(g2兒n=奇數(shù)l:l = -( l

27、)ctg l二 l = ( l)tg 令 pl = u,a l = v,則上面兩方程變?yōu)?u-utg 一(1)2=utg u(2)2另外，注意到u和v還必須滿足關(guān)系：u2+ v2 =2nvol2 /h2(3)所以方程（1）和（2）要分別與方程（3）聯(lián)立求解。3.8有一粒子，其質(zhì)量為m,在一個(gè)三維勢(shì)箱中運(yùn)動(dòng)。 勢(shì)箱的長、 勢(shì)能v =8；在勢(shì)箱內(nèi)，v = 0。式計(jì)算出粒子可能具有的能量。解：勢(shì)能分布情況，由題意知：寬、高分別為a、b、c在勢(shì)箱外,vxvyvzvxvyvz=0,0 x a;=0,0 y 三 b;=0,0 三 z 3s;3s 2p;2p 2s;3p 2s。4.5 為什么譜項(xiàng)s項(xiàng)的精細(xì)結(jié)

28、構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu)？試直接從堿金屬光譜雙線的規(guī)律和從電子自旋與軌 道相互作用的物理概念兩方面分別說明之。答：堿金屬光譜線三個(gè)線系頭四條譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)的規(guī)律性。第二輔線系每一條譜線的二成分的間隔相等，這必然是由于同一原因。第二輔線系是諸s能級(jí)到最低p能級(jí)的躍遷產(chǎn)生的。最低 p能級(jí)是這線系中諸線共同有關(guān)的，所以如果我們認(rèn)為p能級(jí)是雙層的，而 s能級(jí)是單層的，就可以得到第二輔線系的每一條譜線都是雙線，且波數(shù)差是相等的情況。主線系的每條譜線中二成分的波數(shù)差隨著波數(shù)的增加逐漸減少，足見不是同一個(gè)來源。主線系是諸 p能級(jí)躍遷到最低 s能級(jí)所產(chǎn)生的。我們同樣認(rèn)定 s能級(jí)是單層的，而推廣所有 p能級(jí)是雙層的，且這

29、雙層結(jié)構(gòu)的間隔隨主量子數(shù) n的增加而逐漸減小。這樣的推論完全符合堿金屬原子光譜雙線的規(guī)律性。 因此，肯定s項(xiàng)是單層結(jié)構(gòu)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。堿金屬能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)是由于堿金屬原子中電子的軌道磁矩與自旋磁矩相互作用產(chǎn)生附加能量的結(jié)果。s能級(jí)的軌道磁矩等于 0,不產(chǎn)生附加能量，只有一個(gè)能量值，因而s能級(jí)是單層的。4.6 計(jì)算氫原子賴曼系第一條的精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂的波長差。解：賴曼系的第一條譜線是 n=2的能級(jí)躍遷到n=1的能級(jí)產(chǎn)生的。根據(jù)選擇定則，躍遷只能發(fā)生在22pt 12s之間。而s能級(jí)是單層的，所以，賴曼系的第一條譜線之精細(xì)結(jié)構(gòu)是由p能級(jí)分裂產(chǎn)生的。氫原子能級(jí)的能量值由下式?jīng)Q定:_2rhc(z 一二)

30、_2 _ 4rhca (z - s)4n其中(z 二)=(z -s) =1_ _2_ 2_ce(22p3/2) -e(12si/2)= h 11hc- , 1 _ _2 _ z 2 e(2 ) -e(1 s1/2)_ _2 _ 2 _ce(2 p1/2) -e(1 s1/2) =h 12hc2 22ze(22pi/2)-e(12si/2)因此，有:hce(22p3/2)-e(12si/2) _2_222e(22p3/2)-e(12s/2)e(22p/2)-e(12si/2)2216 a2e(22p3/2)= - rhc642e(22p1/2)e(12s/2)16 5a2-rhc644 a2=-

31、rhc4將以上三個(gè)能量值代入 尢的表達(dá)式，得:4a2642248 11a2 48 15a2x6464644a2r (48 11a2)(48 15a2)=5.39父10上米=5.39父10，a4.7 na原子光譜中得知其3d項(xiàng)的項(xiàng)值t3d = 1.2274父106米,，試計(jì)算該譜項(xiàng)之精細(xì)結(jié)構(gòu)裂距。解：已知 t3d =1.2274父106米,rna =1.0974父107米而z = n/nra2z*4.所以有：t = ra =3.655米, n3l(l 1)4.8 原子在熱平衡條件下處在各種不同能量激發(fā)態(tài)的原子的數(shù)目是按玻爾茲曼分布的，即能量為eg-(e-eo)/kt的激發(fā)態(tài)原子數(shù)目n = n0

32、e。其中no是能量為e0的狀態(tài)的原子數(shù)，g和g0是相應(yīng)g0能量狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重，k是玻爾茲曼常數(shù)。從高溫葩原子氣體光譜中測(cè)出其共振光譜雙線oo% =8943.5 a, % =8521.1a的強(qiáng)度比i1： 12 = 2：3。試估算此氣體的溫度。已知相應(yīng)能級(jí)的統(tǒng)計(jì)權(quán)重g1 =2g =4。解：相應(yīng)于九1, %的能量分別為:e1 -hc/ 1; e2 =hc/ 2所測(cè)得的光譜線的強(qiáng)度正比于該譜線所對(duì)應(yīng)的激發(fā)態(tài)能級(jí)上的粒子數(shù)由此求得t為:niiin2ei -e22g2e2 - eikln2g23gi-2773k第五章多電子原子5.1 he原子的兩個(gè)電子處在2p3d電子組態(tài)。問可能組成哪幾種原子態(tài)?用原子態(tài)

33、的符號(hào)表示之。已知電子間是ls耦合。1斛：因?yàn)?11 =1, l2 =2,& =s2 =, 2s = 6 +s2或si -s2；l=li+l2,li+l21，；11t2s =0,1;l =3,2,1所以可以有如下12個(gè)組態(tài):l = 1, s = 0,1pil = 1, s = 1,3po,i,21l = 2,s = 0,1d 2l = 2, s = 1,3di,2,31l = 3, s = 0,1f3=3, s3f2,3,45.2已知he原子的兩個(gè)電子被分別激發(fā)到2p和3d軌道，器所構(gòu)成的原子態(tài)為3d ,問這兩電子的軌道角動(dòng)量pli與pl2之間的夾角，自旋角動(dòng)量psi與ps2之間的夾角分別為多

34、少?解：（1）已知原子態(tài)為3d,電子組態(tài)為2p3d,l =2,s =11=12 =2因此,h -pii = li (l i 1)22 二pl2 =2(121) 一 二 6一pl =jl(l 1) = . 6 -222 c12.3pl = p11p122pn p12 cosl-222、，-cosa =(pl - pi1 - pi2 )/2pnpi2 =九二106 146(2)1 s1 - s2 - t2：3p1 = p2 = . s(s 1)h =hps 二,/s(s 1)h th222ps = ps1ps22ps1 ps2 coss2221- coss =(ps - ps1 - ps2 )/2

35、ps1 ps23%二70 二 325.3鋅原子（z=30）的最外層電子有兩個(gè)，基態(tài)時(shí)的組態(tài)是4s4s。當(dāng)其中有一個(gè)被激發(fā)，考慮兩種情況：（1）那電子被激發(fā)到 5s態(tài)；（2）它被激發(fā)到4p態(tài)。試求出ls耦合情況下這兩種電子組態(tài)分別 組成的原子狀態(tài)。畫出相應(yīng)的能級(jí)圖。從（1）和（2）情況形成的激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷分別發(fā)生幾種光譜躍遷？1斛：（1）組態(tài)為 4s5s 時(shí) 11 =12 =0,s1 s2=_ ,2. l =0,s =0,1s=0時(shí)，j =l = 0,單重態(tài) 1sos=1時(shí);j =1,三重態(tài)3s根據(jù)洪特定則可畫出相應(yīng)的能級(jí)圖，有選擇定則能夠判斷出能級(jí)間可以發(fā)生的5種躍遷：1 _1_ 3 _3

36、 _5 s。 4 p1,5 s1 4 p0； 53s 4%;53sl 43p21 _1 _4 r 4 s0所以有5條光譜線。（2）外層兩個(gè)電子組態(tài)為 4s4p時(shí)：1ll = 0, 12 = 1, si = s2 =，2.l =1,s =0,1s =0時(shí)，j = l =1,單重態(tài)0s=1時(shí);j =2,1,0,三重態(tài) 3p2,1,0根據(jù)洪特定則可以畫出能級(jí)圖，根據(jù)選擇定則可以看出，只能產(chǎn)生一種躍遷，41p_, 41s0,因此只有一條光譜線。5.4試以兩個(gè)價(jià)電子i1 =2和i2 =3為例說明，不論是ls耦合還是jj耦合都給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).證明：(1)ls耦合s =0，1；l =5,4,3,2,

37、1,s = 0時(shí);j = l5個(gè)l值分別得出5個(gè)j值，即5個(gè)單重態(tài).s =1 時(shí)；j = l 1,l,l -1;代入一個(gè)l值便有一個(gè)三重態(tài).5個(gè) l值共有5乘3等于1 5個(gè)原子態(tài):33p0,1,2 ； d1,2,3；f2,3,4 ；3g3,4,5；3h4,5,6因此，ls耦合時(shí)共有2 0個(gè)可能的狀態(tài).（2） jj耦合：j =l +s 或 j =l -s； j1 =2或 3； j2 =7 或22222j = j1 + j2, j1 + j2,j1 - j2將每個(gè)jj2合成j得:57j1 =3和j2 =5,合成j =6,5,4,3,2,137.j1 =2和j2 =2,合成j =5,4,3,25 5

38、j1 = 5和j2 =5, 合成 j =5,4,3,2,1,03 一5,j1 =2和j2 =2,合成j =4,3,2,15 73 7共 2。1 狀態(tài):（一,）65 4 3 2 1, （ , 一）5 4 3 2；（2 2 2 66,5,4,3,2 27 5,4,3,z-）5,4,3,2,1,0 ；（22）4,3,2,1所以，對(duì)于相同的組態(tài)無論是ls耦合還是jj耦合，都會(huì)給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).5.5 利用ls耦合、泡利原理和洪特定責(zé)來確定碳z=6、氮z=7的原子基態(tài)。解：碳原子的兩個(gè)價(jià)電子的組態(tài)2p2p,屬于同科電子.這兩個(gè)電子可能有的m值是1,0,-1；可能有1 ，一，一 一一 .一一 .，兩個(gè)電子的主量子數(shù)和角量子數(shù)相同，根據(jù)泡利原理，它們的其余兩個(gè)量子數(shù) mi和ms21ms