概率與數(shù)理統(tǒng)計第章一維隨機變量習(xí)題及答案

1、.填空題: 第2章一維隨機變量習(xí)題2 1.設(shè)離 散型 隨 機 變 量 的 分 布函 數(shù) 是F P X。 。 解: F X0 F X00 2.設(shè)隨 機變 量 的 分 布 函 數(shù) 為 F x - 1 4 2 P 0 1= 。 解: P 0 0, 解: arctgx F(0) 知P =2 = P -3 3.375e。 的分布律是 0,1,2, 解： K 隨機變 6若定 K C 0 k! 分布律是 0.8 。 k! Ce 16 16 15 A1 1,234 “A 16 16 1 15 2 0.8 數(shù)F(x)是某一隨 F ( x ) 單調(diào)不減， 函數(shù) F (x)右連續(xù)， 且F (_) = 0， F (

2、+ 2 / 14 7. 隨機變量N (a, 2)，記g( ) P a , 貝U隨著的增大，g()之值保持不變 8. 設(shè) N ( 1 , 1 )，記 的概率密度為(x )，分布函數(shù)為F ( x )，則 P 1 P 10.5。 9、分別用隨機變量表示下列事件 (1) 觀察某電話總機每分鐘內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，試用隨機變量表示事件 6 .“收到呼喚3次” X 3“收到呼喚次數(shù)不多于 6次” X 6 X k k 0 (2) 抽查一批產(chǎn)品，任取一件檢查其長度，試用隨機變量表示事件 “長度等于 10cm ”= -X 10； 長度在 10cm 到 10.1cm 之間” =10 X 10.1 (3) 檢查產(chǎn)品5件

3、，設(shè)A為至少有一件次品, B為次品不少于兩件，試用隨機變量表示事件 A,B,B,A B,AB . 解：A 沒有次品 X 0 B 次品少于兩件 X 2 B 次品不少于兩件 X 2 至少有一件次品 X 1 AB 次品數(shù)不到兩件 X 2 10、一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取 3只，以x表示取出的3只球中的最 大號碼，則X的分布律為 X 3 4 5 Pk 丄 _6 10 10 10 二.計算題： k n 2 a n 丄 aN 丄 1 k 1 N k 1NN PX 1、將一顆骰子拋擲兩次，以 X!表示兩次所得點數(shù)之和，以 X2表示兩次中得到的小的點數(shù)，試 分別寫出X!,X2的分

4、布律 X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Pk 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 2、設(shè)在15只同類型的零件中有 2只次品，在其中取 3次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X 表示取出次品的只數(shù)求X的分布律; X 0 1 2 Pk 22 12 1 35 35 35 3、(1)設(shè)隨機變量X的分布律為： PX k k aQ k 0,1,2, 0為常數(shù)，試確定常數(shù) a k k 解：因 PX k a a 1ae 1,故a e k 0 k 0 k! k 0 k! (2)設(shè)隨機變量 :X的分布律為: :PX a

5、k ,k 1,2, ,N，試確定常數(shù)a . N N 4、飛機上載有3枚對空導(dǎo)彈，若每枚導(dǎo)彈命中率為0.6,發(fā)射一枚導(dǎo)彈如果擊中敵機則停止，如 果未擊中則再發(fā)射第二枚，再未擊中再發(fā)射第三枚，求發(fā)射導(dǎo)彈數(shù)的分布律 2 / 14 X143 Pk0.60.240.16 5、汽車需要通過有4盞紅綠信號燈的道路才能到達(dá)目的地。設(shè)汽車在每盞紅綠燈前通過(即遇到 x表示x可取值為0,1,2,3,4， 綠燈)的概率都是0.6；停止前進(jìn)(即遇到紅燈)的概率為0.4,求汽車首次停止前進(jìn)(即遇到紅燈， 或到達(dá)目的地)時，已通過的信號燈的分布律. 解：汽車在停止前進(jìn)時已通過的信號燈數(shù)是一個隨機變量，用 又設(shè)A的表示事件

6、：汽車將通過時第i盞信號燈開綠燈，n 1,2,3,4 由題意 P(An)0.6, P(An)0.4_ x 0表示已通過的信號燈數(shù)是0(即第一盞信號燈是紅燈),故Px 0 P(Ai 0.4 x 1表示已通過的信號燈數(shù)是1(即第一盞信號燈是綠燈，而第二盞是紅燈),故 Px 1P(AA2)P(A,)P(A2) 0.6 0.4. 同理 Px 2P(AAA3) P(AjP(A2)P(A3) 0.62 0.4 Px 3 P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) 0.63 0.4 Px 4卩(4宀民人4) P(A1)P(A2)P(A3)P(AJ 0.64 0.6k 0.4, k 0,1

7、,2,3 于是x的分布律為Px k4 0.64 , k 4 x 0 1 2 k Pk p (1 p)p (1 P)2P (1 P)kp 6、自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的機率為 次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律 . 即 x 0 1 2 3 4 Pk 0.4 0.24 0.144 0.0864 0.1296 P，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進(jìn)行調(diào)整，求兩 7、一大樓內(nèi)裝有5個同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備被使用的概率為0.1， 問在同一時刻： 恰有兩個設(shè)備被使用的概率是多少？Px 2 Cf(0.1)2(0.9)30.0729 (2) 至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？ Px 3C；

8、(0.1)3(0.9)2 Cs(0.1)40.9 Cf(0.1)5(0.9)00.00856 (3) 至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？ Px 3)1 Px 3 1 C54(0.1)40.9 C5(0.1)50.99954 (4) 至少有1個設(shè)備被使用的概率是多少？ Px 11 C0(0.1)(0.9)50.40951 8、設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號， (1) 進(jìn)行了 5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率 (2) 進(jìn)行7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率. 3324455 解：(1)P5 次獨立試驗，指示燈發(fā)出信號=C5(0.3) (0.7)

9、C5(0.3) 0.7 C5(0.3)0.163 (2) P7次獨立試驗，指示燈發(fā)出信號 00716225 1 C7(0.3) (0.7)C70.3(0.6)C7 (0.3) (0.7)0.353 3 1 9、 設(shè)某批電子管正品率為，次品率為一，現(xiàn)對這批電子管進(jìn)行測試，只要測得一個正品，管 4 4 子就不再繼續(xù)測試，試求測試次數(shù)的分布律 解: 解:設(shè)測試次數(shù)為x,則隨機變量x的可能取值為：1,2,3,，當(dāng)x k時，相當(dāng)于前k 1 次測得的都是次品管子，而第k次測得的是正品管子的事件， 1 k 1 3 PX k (;)-，(k 1,2,) 44 10、 每次射擊命中率為0.2，必須進(jìn)行多少次獨立

10、射擊，才能使至少擊中一次的命中率， (1)不小于0.9?(2)不小于0.99 ？ 解：已知n次獨立射擊中至少擊中一次的概率為P 1 (1 0.2)n 1 (0.8)n ； (1)要使P 1(0.8)n 0.9，必須n lg 0.110.3，即射擊次數(shù)必須不小于n 11次. lg 0.8 (2)要使P 1 (0.8)n 0.99 ,必須n lg 0.0120.64 ,即射擊次數(shù)必須不小于 n 21次 lg0.8 11、電話站為300個用戶服務(wù)，在一小時內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，試用泊松定 理近似計算，在一小時內(nèi)有4個用戶使用電話的概率 解：由二項分布得 PX k cn；pkqn

11、k Px 4 c3oo(O.O1)4(O.99)296 現(xiàn)用 泊松定理近似計算，n 300, p 0.01np3 ,故 Px 4 34e3 0.168 4! 12、某一繁忙的汽車站， 每天有大量汽車通過，設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為 0.0001，在某天的該段時間內(nèi)有 1000輛汽車通過，問出事故的次數(shù)不小于 2的概率是多少? (利用泊松定理計算) 解：設(shè)x為發(fā)生事故的次數(shù)，則 用泊松定理計算，np 1000 Px 21 Px 0 Px kC10oo(O.OOO1)k(O.9999)1000 k 0.0001 Px 1 0.1 1 e0.1 01 0.1e .0.00468 13

12、設(shè)X服從泊松分布，且已知 PX 1 PX 2，求 PX 4 解：Px k k! 由Px 1 Px e 2，得e 2 e 2T， 2, 0(舍去 0,因為 0) Px 4 24e2 4! 0.0903 14、.求離散 型隨機變 量 的分布 k ,(k = 1 ,2,)，的 充分必 要條件。 8 / 14 解：由1 且 P k 1 b b k b 1 b k 1 b k 1k 1k 0 11 b 1b 15設(shè)服從參數(shù) =1的指數(shù)分布 ,求方程 4x2 + 4 x + 2 = 0無實根的概率 解：16 216(2)0 知 2 x 故 P 12 e xdx 0 16.已知連續(xù)型隨機變量 的概 1 2

13、1 e 2 Ax B 1 x 3 率密 度 為 (x)且知 0 O 2 )內(nèi)取值的概率的二倍， 概率是在區(qū)間(1， 試確定常數(shù)A , B。 解: 由條 件 P 2 3 3 2 即 Ax B dx 2 Ax 2 1 又 由 x dx 1 解 1 A 2 B 0 得 A = 4A 2B 1 在區(qū) 間(2，3 )內(nèi)取值的 2p12 1 B dx 知有一A B 0 2 3 即 Ax B dx 4A 2B 1 1 1 6 17、設(shè)有函數(shù) F(x) sin x , 0 0 , x 其它 試說明F(x)能否是某隨機變量的分布函數(shù) 解：不 臺匕 冃匕 ，(x ) = sin x 0 3 2 10 / 14 3

14、 故在 0, 上， (x ) = sin x 不是非負(fù)。 2 18、設(shè)某人計算一連續(xù)型隨機變量x的分布函數(shù)為： 0 , x 0 sinx, 0 x 4 F (x)試問他的計算結(jié)果是否正確？答：不正確 x , x 1 4 1 , x 1 19、在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點，以 X表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)，這個質(zhì)點落在 0,a中任意 14 / 14 小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求x的分布函數(shù) 0 x 0 x 解：P 0 x = cx ； F x0 x a a 1 a x 20、設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)為 、 A Be x , x 0/ F(x) c( 0) 0 ,x 0 求(1)

15、常數(shù)A,B (2) P X 2, PX 3 2 概率密度f(x) 解：(1)A 1, B 1 f(x) 21、某種型號的電子管壽命 X(以小時計)，具有如下概率密度: f(x) x2 ,x 1000 現(xiàn)有一大批此種電子管(設(shè)各電子管損壞與否相互獨立)，任取5 0,其它 只，問其中至少有 2只壽命大于1500小時的概率是多少？并求 F(x). 解：設(shè)使用壽命為 x小時 Px 150C1 Px 15001 150010001000、1500 1000dx 1 (丁)11000 Px 15001，所求事件的概率: P C；P(x 1500)2 P(x 1500)3 c53P(x 1500)3P(x

16、1500)2 C；P(x 1500)4P(x 1500) C5P(X 1500)5 10 (3)2 再求F(x) (1)3 10 x f (x)dx (|)3G)25 x學(xué)x 1 1000 x2 (|)4 3 (|)5 1000 232 243 F(x) 1 1000 ,x 1000 x 0,其它 22、設(shè)隨機變量 X具有對稱的概率密度 f (x)，即f(X)為偶函數(shù), f( x) f (x)，證明：對任 意 a 0 有: (1)F( a) 1 a F(a) 20 f (x)dx ；(2) P| X | a 21 F(a) P| a 2F(a)1 證明: (1)F( a) f (x)dx，令

17、x F( a) a f(x)dx f(x)d( x) f (x)dx f(x)dx a f (x)dx 1 F(a) 1 a 又因為： 2 1 1 1 護(hù)(1 F(a) f (x)dx 1 02 1 2 1 2 a f (x)dx a 1 2F(a) (2) P| x | a 21F(a) 證明：P| x| a 1P| x| a 1 F(a) 1 F(a)1 1 1 -F(a) F( -F(a) a) 2 2 1 丄 1 F(a) 1 P a x a 1F(a) F(a) 1 F(a) 22F(a)21 F( a) F(a) P|x| a 2F(a)1 證明：P| x| a P a x a P

18、 a x a F(a) F( a) F(a) 1F(a)2F(a)1 23、設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以小時計)服從指數(shù)分布，其概率密度為 f(x) 5e5，x 0 某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過 10分鐘，他就離開，他一個月要 o ,其它 到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù), 寫出Y的分布律，并求PY 1. 解：PY kCse2k(1 e2)5k,k0,k,1,2,3,4,5 PY 10.5166 24、設(shè) X N(3,22)，求 P2 X 5(2) P 2 X 7 P| X | 2 (4) PX 3確定 c使得 PX c PX c 解： P2 x 5 0.53

19、28 0.9710 0.6977 0.5 (5)c 3 25、一個工廠生產(chǎn)的電子管壽命X(以小時計)，服從參數(shù)160 ，的正態(tài)分布，若要求 P120 X 200 0.80，允許 最大為多少？ 解 P120 x 20C - 200 160- 120 160- 40 x -()_()-() 4040 -()2_() 1 404040 2_( ) 1 0.80_() 0.940 1.28 31.25，故允許最大為31.25 26、公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰頭的機會在0.01米以下設(shè)計的，設(shè)男子身高x服 從 170cm, 2 6cm的正態(tài)分布，即 X N (170,6 )問車門的高度應(yīng)如何確

20、定? 解：設(shè)車門高度為 hem,按設(shè)計要求 因為 x N(170,62)，故 Px h 查表得 _(2.33)0.99010.99 Px h 0.01，或 Px h 170) F(h) -( 6丿 0.99 h 170 2.33 即h 6 h 0.99， 184cm 設(shè)計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭的機會不超過 0.01。 X 0 1 2 3 4 5 H- 1 1 1 1 2 1 Pl 12 6 3 12 9 9 27、設(shè)隨機變量X的分布律為 2 2）的分布律. 求 Y 2(X 解: Y 0 2 8 18 1 1 11 1 Pi 3 4 36 9 X 丫 1的概率密度 的概率密度

21、 2X2 28、設(shè) X N(0,1)，求(1) Y e （3）求丫 | X |的概率密度 解：設(shè) x N(0.1), f (x) 1 、2 e 2 ,y ex0, x ln y 0 0 2 16 / 14 (y) 1 fl ny ,0 y y (y) (ln y)2 其它 1門 -,0 y y ,其它 2x2 1 當(dāng)y 1時, Y的分布函數(shù), FY(y) PY y P2x2 y Px2 P x y 1 2 y21 -2 2 dx 2 y 1 x 2 e 7dx , 當(dāng) y 1 時，F(xiàn)Y（y） 0，Y的概率密度 (y) FY(y) ur1) f( ),y 1 即(y)2、(y 0 y 1 e 1) Y |x|, y |x| o,當(dāng)y o時, Y的分布函數(shù) FY(y) PY y P|x| y P y x y f(x)dx x2 Tdx 2 ye c 0 o時, Fy(Y) 0 , Y的概率密度 (y) f (y) 2f(y),y 0 0 ,y 0 o時, Fy(Y) P| x| y 0, (y) 0 (y) 2 y T, y 29、設(shè)電流 I是一個隨機變量, 它均勻分布在 9安11安之間, 若此電流通過 2歐姆的電阻，在