2014高考數(shù)學全面突破 最新一輪復習必考題型鞏固提升學案：8.8立體幾何中的向量方法(二

1、8.8立體幾何中的向量方法(二)考情分析考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角的大小基礎(chǔ)知識1空間的角(1)異面直線所成的角如圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb.則把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)(2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0的角(3)二面角的平面角如圖在二面角l的棱上任取一點O，以點O為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則AOB叫做二面角的平面角2空間向量與空間角

2、的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角滿足cos |cosm1，m2|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面的夾角滿足sin |cosm，n|.(3)求二面角的大小()如圖，AB、CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，()如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos cosn1，n2或cosn1，n2注意事項1.(1)異面直線所成的角的范圍是；(2)直線與平面所成角的范圍是；(3)二面角的范圍是0，2.利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面、的法向量n1，n2時

3、，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點題型一求異面直線所成的角【例1】已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，高AA12，求(1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值；解(1)如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)1xyz，由已知條件：B(1,0,2)，D(0,1,2)，A(0,0,2)，B1(1,0,0)則(1,1,0)，(1,0，2)設(shè)異面直線BD與AB1所成角為，cos |cos，|.(2)VAB1D1CVABCDA1B1C1D14VCB1C1D1.【變式1】已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E

4、為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_解析如圖建立直角坐標系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，C(0,1,0)，(1,0,0)設(shè)異面直線AE與BC所成角為.cos |cos，|.答案題型二利用向量求直線與平面所成的角【例2】如圖所示，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上，PDA60.(1)求DP與CC所成角的大?。?2)求DP與平面AADD所成角的大小解如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標系Dxyz.則(1,0,0)，(0,0,1)連接BD，BD.在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設(shè)(m，m,1)(m0)，由已

5、知，60，即|cos，可得2m.解得m，所以.(1)因為cos，所以，45，即DP與CC所成的角為45.(2)平面AADD的一個法向量是(0,1,0)因為cos，所以，60，可得DP與平面AADD所成的角為30.【變式2】已知三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N為AB上一點，AB4AN，M，S分別為PB，BC的中點(1)證明：CMSN；(2)求SN與平面CMN所成角的大小解：設(shè)PA1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.(1)證明：(1，1，)，因為00，所以CM

6、SN.(2)，設(shè)a(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，則取x2，得a(2,1，2)因為|cosa，|，所以SN與平面CMN所成角為45.題型三利用向量求二面角【例3】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值 (1)證明因為DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.從而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.又ADPDD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)解如圖，以D為坐標原點，AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxy

7、z，則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則即因此可取n(，1，)設(shè)平面PBC的法向量為m，則可取m(0，1，)，則cosm，n.故二面角APBC的余弦值為.【變式3】 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(1)證明：PC平面BEF；(2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小(1)證明如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)PAB2，BCAD2，四邊形ABCD是矩形，A，B

8、，C，D，P的坐標為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，E(0，0)，F(xiàn)(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)2420，2020.，PCBF，PCEF.又BFEFF，PC平面BEF.(2)解由(1)知平面BEF的一個法向量n1(2,2，2)，平面BAP的一個法向量n2(0,2，0)，n1n28.設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為，則cos |cosn1，n2|，45.平面BEF與平面BAP的夾角為45.重難點突破【例4】如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證

9、明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角Q BPC的余弦值解析(1)略 (2)依題意有B(1,0,1)，(1,0,0)，(1,2，1)設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即因此可取n(0，1，2)設(shè)m是平面PBQ的法向量，則可取m(1,1,1)，所以cosm，n.故二面角QBPC的余弦值為.鞏固提高1.在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB1，D在棱BB1上，且BD1，則AD與平面AA1C1C所成的角的正弦值為()A. B. C. D. 答案：A解析：取AC中點E，連接BE，則BEAC，如圖，建立空間直角坐標系Bxyz，則A(，0)，D(0,0,1)，則A(，1)平面ABC平面AA1C

10、1C，BEAC，BE平面AA1C1C.B(，0,0)為平面AA1C1C的一個法向量，cosA，B，設(shè)AD與平面AA1C1C所成的角為，sin|cos|A，B|，故選A.2.在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA90，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，BCCACC1，則BD1與AF1所成的角的余弦值是()A. B. C. D. 答案：A解析：建立如圖所示的坐標系，設(shè)BC1，則A(1,0,0)，F(xiàn)1(，0,1)，B(0，1,0)，D1(，1)，即(，0,1)，(，1)cos，.3.如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，M為底面AB

11、CD內(nèi)的一個動點，且滿足MPMC，則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為()答案：A解析：以D為原點，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖：設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長為a，則P(，0，a)，C(0，a,0)，則|MC|，|MP|.由|MP|MC|得x2y，所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線yx的一部分4.已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是_答案：解析：如圖建立空間直角坐標系Dxyz，則A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，(2,0,4)，(0,2,4)，(0,0,4)，設(shè)平面AB1D1的法向量為n(x，y，z)，則即解得x2z且y2z，不妨設(shè)n(2，2,1)，設(shè)點A1到平面AB1D1的距離為d，則d.5.已知在幾何體ABCED中，ACB90，CE平面ABC，平面BCED為梯形，且ACCEBC4，DB1.(1)求異面直線DE與AB所成角的余弦值；(2)試探究在DE上是否存在點Q，使得AQBQ，并說明理由解：(1)由題知，CA，CB，CE兩兩垂直，以C為原點，以CA，CB，CE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系則A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,1)，E(0,0,4)，(0，4,3)