(011)2009高考全國(guó)Ⅰ理科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 一、選擇題（一、選擇題（5 5 分分*12=60*12=60 分）分） (1)設(shè)集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，則集合（ab）中的元素共有（ u ） （a）3 個(gè) （b）4 個(gè) （c）5 個(gè) （d）6 個(gè) （2）已知=2+i,則復(fù)數(shù) z=（ ） （a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i 1i z (3) 不等式1 的解集為（ ） 1 1 x x （a） x (b) （c） (d) 011xx x 01xx 10 xx 0 x x (4)設(shè)雙曲線（a0,b0）

2、的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于（ ） 22 22 1 xy ab （a） （b）2 （c） （d）356 (5) 甲組有 5 名同學(xué)，3 名女同學(xué)；乙組有 6 名男同學(xué)、2 名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學(xué)， 則選出的 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法共有（ ） （a）150 種 （b）180 種 （c）300 種 (d)345 種 （6）設(shè)、是單位向量，且0，則的最小值為（ ）abcab acbc （a）（b） （c） (d)222112 （7）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異 111 abcabc 1 aabcb

3、c 面直線與所成的角的余弦值為（ ）ab 1 cc （a）（b） （c） (d) 3 4 5 4 7 4 3 4 （8）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（ ）cos 2yx3 4 3 ，0 （a） （b） （c） (d) 6 4 3 2 (9) 已知直線 y=x+1 與曲線相切，則 的值為（ ） (a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2yln()xa （10）已知二面角 -l- 為 600 ，動(dòng)點(diǎn) p、q 分別在面 、 內(nèi)，p 到 的距離為，q 到 的距3 離為，則 p、q 兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ ）2 3 (a) (b)2 (c) (d)422 3 2009 年普通高等學(xué)校

4、招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 2 第 18 題 圖 （11）函數(shù)的定義域?yàn)?r，若與都是奇函數(shù)，則（ ）( )f x(1)f x(1)f x (a) 是偶函數(shù) (b) 是奇函數(shù) (c) (d) 是奇函數(shù)( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x （12）已知橢圓 c: 的又焦點(diǎn)為 f，右準(zhǔn)線為 l，點(diǎn),線段 af 交 c 與點(diǎn) b。若 2 2 1 2 x yal ,則= （ ） (a) (b)2 (c) (d)33fafb af 23 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分分 (13) 的展

5、開(kāi)式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于 . 10 ()xy 73 x y 37 x y (14)設(shè)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為.若=72,則= . n a n s 9 s 249 aaa (15)直三棱柱-各頂點(diǎn)都在同一球面上.若abc 111 abc 1 2,abacaa =，則此球的表面積等于 .bac120 (16)若,則函數(shù)的最大值為 . 42 x 3 tan2 tanyxx 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 17 （本小題滿分 10 分） 在abc 中，內(nèi)角 a、b、c 的對(duì)邊長(zhǎng)

6、分別為 a、b、c ，已知 ，且，求 b. 22 2acbsincos3cossinacac 18 （本小題滿分 12 分） 如圖，四棱錐 sabcd 中，底面 abcd 為矩形，sd底面 abcd，ad=，dc=sd=2.點(diǎn) m 在側(cè)棱 sc 上，abm=60 .2 0 ()證明：m 是側(cè)棱 sc 的中點(diǎn)； （）求二面角 samb 的大小。 (19)(本小題滿分 12 分) 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲 獲勝的概率為 0.6，乙獲勝的概率為 0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立。已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局。 （1）求甲獲得這次

7、比賽勝利的概率； （2）設(shè) 表示從第 3 局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。 （20） （本小題 滿分 12 分） 在數(shù)列中，. n a n nn n a n aa 2 1 ) 1 1 (, 1 11 設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； n n a b n n b 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 3 求數(shù)列的前項(xiàng)和. n an n s 21 （本小題滿分 12 分） 如圖，已知拋物線與圓相交于四個(gè)點(diǎn)。 2 :e yx 222 :(4)mxyr(r0）abcd、 （i）求的取值范圍： r (ii)當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線abcd 的交

8、點(diǎn)的坐標(biāo)。abcd、p 22 （本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且 32 ( )33f xxbxcx 21,x x2 , 1 ,0 , 1 21 xx （）求 b、c 滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫(huà)出滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）和區(qū)域； ()證明： 1 10 2 2 f (x )- 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)答案解析理科數(shù)學(xué)答案解析 高.考.資.一、選擇題一、選擇題 (1)設(shè)集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，則集合中的元素共有() u ab i （a） （a）3 個(gè) （b）4 個(gè) （c）5 個(gè)

9、（d）6 個(gè) 解：，故選故選 a a。也可用摩根律：。也可用摩根律：3,4,5,7,8,9ab 4,7,9()3,5,8 u abcab ()()() uuu cabc ac b （2）已知=2+i,則復(fù)數(shù) z=（b ） 1i z （a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i 解：解： 故選故選 b b。 (1) (2)1 3 ,1 3ziiizi (3) 不等式1 的解集為（ d ） 1 1 x x （a） x (b) 011xx x 01xx （c） (d) 10 xx 0 x x 解：驗(yàn) x=-1 即可。 (4)設(shè)雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切

10、，則該雙曲線的離心率等于( c ) 22 22 1 xy ab （a） （b）2 （c） （d） 356 解：設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為.由題意有又 00 (,)p xy 0 0 |2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得: . 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa (5) 甲組有 5 名男同學(xué)，3 名女同學(xué)；乙組有 6 名男同學(xué)、2 名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同 學(xué)，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法共有( d ) （a）150 種 （b）180 種 （c）300 種 (d)345 種 解: 分兩類(lèi)(1) 甲組中選出一名女生有種選

11、法; 112 536 225ccc (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有 345 種選法.選 d 211 562 120ccc 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)答案解析理科數(shù)學(xué)答案解析 5 （6）設(shè)、是單位向量，且0，則的最小值為 ( d )abcab acbc （a） （b） （c） (d)222112 解: 是單位向量 , ,a b c 2 ()acbca bab cc 故選 d.| | | 12cos,121 |abcab c （7）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面 111 abcabc 1 a 上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的

12、余弦值abcbcab 1 cc 為（ d ） （a） （b） （c） (d) 3 4 5 4 7 4 3 4 解：設(shè)的中點(diǎn)為 d，連結(jié)d，ad，易知即為異面直線與所成的角,由三角余bc 1 a 1 a ab ab 1 cc 弦定理，易知.故選 d 1 1 3 cocs 4 oscos ad ad a addab a a ab （8）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（c） （a） cos 2yx3 4 3 ，0| 6 （b） （c） (d) 4 3 2 解: 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故選 c 4 2 3 k 4 2() 3 kkz min

13、| 3 (9) 已知直線 y=x+1 與曲線相切，則 的值為( b ) yln()xa (a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2 解:設(shè)切點(diǎn)，則,又 00 (,)p xy 0000 ln1,()yxayx 0 0 1 |1 x x y xa .故答案選 b 000 10,12xayxa （10）已知二面角 -l- 為 ，動(dòng)點(diǎn) p、q 分別在面 、 內(nèi)，p 到 的距離為，q 到 的距60o3 離為，則 p、q 兩點(diǎn)之間距離的最小值為（ c ）2 3 b c b c a1 1 1 a d 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)答案解析理科數(shù)學(xué)答案解析 6 (a)

14、 (b)2 (c) (d)4 2 3 解:如圖分別作 ,qaa aclc pbb于于于 ，連pdld 于,60 ,cq bdacqpbd 則 ，2 3,3aqbp2acpd 又 222 122 3pqaqapap 當(dāng)且僅當(dāng)，即重合時(shí)取最小值。故答案選 c。 0ap ap點(diǎn)與點(diǎn) （11）函數(shù)的定義域?yàn)?r，若與都是奇函數(shù)，則( d ) ( )f x(1)f x(1)f x (a) 是偶函數(shù) (b) 是奇函數(shù) (c) (d) 是奇函數(shù)( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x 解: 與都是奇函數(shù)，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，

15、及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4t ，即是奇函數(shù)。故選 d(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x 12.已知橢圓的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線為 ，點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，若, 2 2 :1 2 x cyflalafcb3fafb 則=|af (a). (b). 2 (c). (d). 3 23 解:過(guò)點(diǎn) b 作于 m,并設(shè)右準(zhǔn)線 與 x 軸的交點(diǎn)為 n，易知 fn=1.由題意,故.bmll3fafb 2 | 3 bm 又由橢圓的第二定義,得.故選 a 2 22 | 233 bf |2af 第第 iiii 卷卷 二、填空題：二

16、、填空題： 13. 的展開(kāi)式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于 。 10 xy 73 x y 37 x y 解: 373 101010 ()2240ccc 14. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 。 n an n s 9 72s 249 aaa 解: 是等差數(shù)列,由,得 n a 9 72s 59 9,sa 5 8a 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)答案解析理科數(shù)學(xué)答案解析 7 . 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa 15. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球 111 abcabc 1 2abacaa120bac 的表面積等于 。 解

17、:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑 r=2,設(shè)abc2abac120bac2 3bc abc 此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為 o ort obo5r . 2 420r 16. 若，則函數(shù)的最大值為 。 42 x 3 tan2 tanyxx 解:令, tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

18、 17（本小題滿分 10 分） 在中，內(nèi)角 a、b、c 的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、，已知，且abcabc 22 2acb 求 b sincos3cossin,acac 分析分析: :此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單, ,但考生反應(yīng)不知從何入手但考生反應(yīng)不知從何入手. .對(duì)已知條件對(duì)已知條件(1)(1)左側(cè)是二次的右側(cè)左側(cè)是二次的右側(cè) 22 2acb 是一次的是一次的, ,學(xué)生總感覺(jué)用余弦定理不好處理學(xué)生總感覺(jué)用余弦定理不好處理, ,而對(duì)已知條件而對(duì)已知條件(2)(2) 過(guò)多的關(guān)注兩過(guò)多的關(guān)注兩sincos3cossin,acac 角和與差的正弦公式角和與差的正弦公式, ,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不

19、再考的積化和差甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差, ,導(dǎo)致找不到突破口而失分導(dǎo)致找不到突破口而失分. . 解法一：在解法一：在中中則由正弦定理及余弦定理有則由正弦定理及余弦定理有: :abcsincos3cossin,acac 化簡(jiǎn)并整理得：化簡(jiǎn)并整理得：. .又由已知又由已知 222222 3, 22 abcbca ac abbc 222 2()acb 22 2acb . .解得解得. . 2 4bb40(bb或舍） 解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .又又, ,。 222 2cosacbbca 22 2acb0b 所以所以2 cos2bca 又又，sincos3

20、cossinacacsincoscossin4cossinacacac ，即，即sin()4cossinacacsin4cossinbac 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)答案解析理科數(shù)學(xué)答案解析 8 由正弦定理得由正弦定理得，故，故sinsin b bc c 4 cosbca 由由，解得解得。4b 評(píng)析評(píng)析: :從從 0808 年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查. .在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對(duì)問(wèn)題在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對(duì)問(wèn)題 的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)

21、的靈活運(yùn)用能力. .另外提醒：兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行，另外提醒：兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行， 不必強(qiáng)化訓(xùn)練。不必強(qiáng)化訓(xùn)練。 18 （本小題滿分 12 分） 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面， sabcdabcdsd abcd2ad ，點(diǎn) m 在側(cè)棱上，=602dcsdscabm （i）證明：m 在側(cè)棱的中點(diǎn)sc （ii）求二面角的大小。samb （i）解法一：作交于 n，作交于 e，mnsdcdneabab 連 me、nb，則面，,mn abcdmeab2nead 設(shè)，則,mnxncebx 在中，。rt meb60mbe3mex 在中由rt mne 222 menemn

22、 22 32xx 解得，從而 m 為側(cè)棱的中點(diǎn) m. 1x 1 2 mnsdsc 解法二:過(guò)作的平行線.mcd 解法三:利用向量處理. 詳細(xì)可見(jiàn) 09 年高考參考答案. （ii）分析一分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。 這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。 過(guò)作交于,作交于,作mmjcdsdjshajajh 交于,則,面,面面,hkamamkjmcdjm sadsadmba 面即為所求二面角的補(bǔ)角.sh ambskh 分析二分析二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過(guò)點(diǎn)作abmb 交于點(diǎn)，則點(diǎn)為 am 的中點(diǎn)，取 sa 的中點(diǎn) g，連bfamamff

23、 gf，易證，則即為所求二面角.gfamgfb 分析三分析三：利用空間向量求。在兩個(gè)半平面內(nèi)分別與交線 am 垂直的兩個(gè)向量的夾角即可。 另外：利用射影面積或利用等體積法求點(diǎn)到面的距離等等，這些方法也能奏效。 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)答案解析理科數(shù)學(xué)答案解析 9 總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀 況。命題人在這里一定會(huì)照顧雙方的利益。 19 （本小題滿分 12 分） 甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中， 甲獲勝的概率為 0.6，乙獲勝的概率為

24、 0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局。 （i）求甲獲得這次比賽勝利的概率； （ii）設(shè)表示從第 3 局開(kāi)始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望。 分析分析：本題較常規(guī)，比 08 年的概率統(tǒng)計(jì)題要容易。 需提醒的是：認(rèn)真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導(dǎo)致失分，這是很可惜的，主 要原因在于沒(méi)讀懂題。 另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。 20 （本小題滿分 12 分） 在數(shù)列中， n a 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （i）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 n n a b n n b （ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和 n an n s

25、 分析分析：（i）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: () n b 1 1 2 2 n n b * nn （ii）由（i）知, 1 2 2 n n n an = n s 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型， 1 (2 )(1) n k kn n 1 12 n k k k 易得 = 11 1 2 4 22 n kn k kn n s(1)n n 1 2 4 2n n 評(píng)析評(píng)析：09 年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)

26、列和利用錯(cuò)位相減法求前 n 項(xiàng)和，一 改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問(wèn)題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ) 知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。 21（本小題滿分 12 分） 2009 年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)年普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)理科數(shù)學(xué)答案解析理科數(shù)學(xué)答案解析 10 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)。 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrrabcd （i）求得取值范圍；r （ii）當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)abcdacbdp 分析：分析：（i）這一問(wèn)學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程

27、聯(lián)立，消 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrr 去，整理得 （） 2 y 22 7160 xxr 拋物線與圓相交于、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是： 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrrabcd 方程（）有兩個(gè)不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來(lái) 15 (,4) 2 r 處理也可以 （ii）考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的 方法處理 本小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn) 設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、。 11 ( ,)a xx 11 ( ,)b xx 22 (,)c xx 22 (,)d xx 則由（i）根據(jù)韋達(dá)定理有， 2 121

28、2 7,16xxx xr 15 (,4) 2 r 則 21122112 1 2 |() |() 2 sxxxxxxxx 2222 12121212 ()4(2)(72 16)(415)sxxx xxxx xrr 令，則 下面求的最大值。 2 16rt 22 (72 ) (72 )stt 2 s 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問(wèn)題有時(shí)很方便。它 的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號(hào)的條件，這和二次均值類(lèi)似。 22 1 (72 ) (72 )(72 )(72 )(144 ) 2 sttttt 33 1 7272144128 ()() 2323 ttt 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。7