積分第一中值定理及其推廣證明備課講稿

1、學(xué)習(xí)資料僅供學(xué)習(xí)與參考2.1 積分第一中值定理證明積分第一中值定理 :如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)， g(x) 在( a, b )上不變號，并且 g(x) 在閉區(qū)間a,b上是可積的，則在a,b上至少存在一點，使得成立。證明如下：bba f (x)g(x)dx f( ) a g(x)dx, (aaab)由于 g(x) 在閉區(qū)間 a,b 上不變號，我們不妨假設(shè) g(x)0，并且記 f (x) 在閉區(qū)間a,b上的最大值和最小值為 M和m，即m f(x) M，我們將不等式兩邊同乘以g(x)可以推出，此時對于任意的x a,b都會有mg(x) f (x)g(x) Mg(x)成立。對上式在閉

2、區(qū)間a,b上進行積分，可以得到bbbm g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx 。aaa此時在 m,M 之間必存在數(shù)值 ，使得 mM ，即有bbf(x)g(x)dx g(x)dxaa成立。由于 f (x) 在區(qū)間 a,b 上是連續(xù)的，則在 a,b 上必定存在一點 ，使 f ( )成立。此時即可得到b) a g(x)dx，ba f (x)g(x)dx f (a命題得證。2.2 積分第一中值定理的推廣定理：(推廣的第一積分中值定理)若函數(shù)f(x)是閉區(qū)間a,b上為可積函數(shù),g(x)在a,b上可積且不變號，那么在開區(qū)間(a,b)上至少存在一點，使得bba f(x)g(x)dx f (

3、) a g(x)dx, (a,b)aa成立。推廣的第一積分中值定理很重要，在這里給出兩種證明方法。證法1:由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是可積的，g(x)在a,b上可積且不變號，令F(x)xxa f(t)g(t)dt，G(x) 。g(t)dt，很顯然 F(x),G(x)在a,b上連續(xù)。并且F(a)b0, F(b) f(t)g(t)dt， G(a) O,G(b)bg(t)dt，F(xiàn) ( ) f( )g()，aG( ) g(由柯西中值定理即可得到F(b) F(a) F () G(b) G(a) G (a,b)，化簡，即bf(t)g(t)dt abag(t)dtf(g()g(根據(jù)上式我們很容易得出b

4、f(t)g(t)dtabf( ) g(t)dt, (a,b)，a命題得證。證法2：由于函數(shù)g(x)在a,b上可積且不變號，我們不妨假設(shè)g(x) 0。而函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可積，我們令 m inf f (x) | x a,b，M sup f (x) | x a,b假設(shè)F(x)是f(x)在閉區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)，即F (x)f(x), x a,b。我們就可以得到下面等式bm & g(x)dxbbf (x) g(x)dx M g(x)dx (2.2.1 )aa此時由于g(x) 0，貝U會有g(shù)(x)dx 0，由于存在兩種可能性，那么下面我們a就要分兩種情況以下我們分兩種情形來進行討論:(1

5、).如果bg(x)dxb0，由等式(2.2.1 )可得出 f(x)g(x)dx 0，那么對a于 (a,b)都有bbf(x)g(x)dx 0 f( ) g(x)dxaa恒成立。bb(2).如果 g(x)dx 0，將(2.2.1 )除以 g(x)dx 可得aaf (x)g(x)dx(2.2.2 )g(x)dx我們記f (x)g(x)dx(2.2.3 )g(x)dx此時我們又分兩種情形繼續(xù)進行討論:(I)如果(2.2.2 )式中的等號不成立，即有mf (x)g(x)dxM成立,g(x)dx則此時一定就存在m M，可以使得mf(G ,f (X2)M，我們不妨假設(shè)XiX2，這其中xiX a, b。因為F

6、 (x) f (x)， x a,b，則會有F (xjf (Xi)f (X2)F (X2)。此時至少存在一點(為，X2)，使得F ()f()，即有baf (x)g(x)dxbf( ) g(ax)dx,(Xi,X2)a,b成立，從而結(jié)論成立。()如果(2.2.2 )式中僅有一個等號成立時，我們不妨假設(shè)M，因為 g(x)dx 0,此時一定存在區(qū)間印,0 (a,b)(其中a! 0 )，使得 x a1,b1， a恒有g(shù)(x) 0成立,我們可以將(2.2.3 )式進行簡化bba g(x)dx a f(x)g(x)dx，aa因為 M，貝U有bM f(x)g(x)dx 0 (2.2.4 )a而且我們已知Mf(x)g(x)0，則Xib0 M f (x)g(x)dx M f (x)dx 0。yia于是x1M f ( x)g ( x) dx 0 ( 2.2.5 )y1在式子(225 )下必定存在舊仙(a,b)，使得f ( ) M 。如果不存在一個印4 (a,b)，使得f ( ) M，則在閉區(qū)間洛,上必定有 M f(x) 0及 g(x) 0成立，從而使得 M f(x)g(x) 0。b1如果 M f(x)g(x)dx 0，由達(dá)布定理在印心上有M f(x)g(x):O,