第六章樣本與抽樣分布

1、第六章樣本與抽樣分布$.1數(shù)理統(tǒng)計的基本概念.數(shù)理統(tǒng)計研究的對象 例：有一批燈泡，要從使用壽命這個 數(shù)量指標來看其質(zhì)量，設(shè)壽命用X表 示。(1) 若規(guī)定壽命低于1000小時的產(chǎn)品 為次品。此問題是求P(X 1000)=F(10000),求 F(x)?(2) 從平均壽命、使用時數(shù)長短差異來看其質(zhì)量，即求E( x)?、D( x)?。要解決二個問題1.試驗設(shè)計抽樣方法。2.數(shù)據(jù)處理或統(tǒng)計推斷。方法具有“從局部推斷總體”的特點。二.總體（母體）和個體1.所研究對象的全體稱為總體，把組 成總體的每一個對象成員（基本單 元）稱為個體。說明：（1）對總體我們關(guān)心的是研究對象的 某一項或某幾項數(shù)量指標（或?qū)傩?/p>

2、 指標）以及他們在整體中的分布。所 以總體是個體的數(shù)量指標的全體。（2）為研究方便將總體與一個R.V X 對應(yīng)（等同）。a總體中不同的數(shù)量指標的全體， 即是R.V.X的全部取值。b. R.V X的分布即是總體的分布 情況。例：一批產(chǎn)品是100個燈泡，經(jīng)測試其壽命是：50個1000小時1100小時1200小時20個30個X100011001200P20/10030/10050/100(設(shè)X表示燈泡的壽命)可知R.V.X的 分布律，就是總體壽命的分布，反之亦然。常稱總體X，若R.VXF(X)，有時 也用F( x)表示一個總體。(3)我們對每一個研究對象可能要觀 測兩個或多個數(shù)量指標，則可用多維 隨

3、機向量(X,Y,Z,)去描述總體。2總體的分類有限總體無限總體簡單隨機樣本.1定義61 :從總體中抽得的一部分 個體組成的集合稱為子樣（樣本） 取得的個體叫樣品，樣本中樣品的 個數(shù)稱為樣本容量（也叫樣本量） 每個樣品的測試值叫觀察值。取得子樣的過程叫抽樣。樣本的雙重含義：隨機性：用（X1, X2,Xn） n維隨機向量表 示。Xi表示第i個被抽到的個體，是隨機變量。（i=1,2，n）(2)確定性：(Xi,X2,Xn)表示n個實數(shù)，即是每個樣品Xi觀測值Xi(i=1,2，n)。2定義6.2:設(shè)總體為X，若Xi,X2X n相互獨立且與 X同分布，則稱(X 1 ,X 2X n )為來自總體X的容量 為

4、n的簡單隨機樣本(簡稱樣本)。3已知總體的分布寫出子樣的分布 (1)已知總體 XF( X),則樣品XiF( Xi)i=1,2 n 樣本(X i ,X 2 X ”)的聯(lián)合分布為：F(Xi,X2Xn)=P(X、匚 X ,X/ X2X / Xn )=:P(X Xi)=：F( Xi)若總體Xf( X),樣品Xif( Xi) i=1,2n樣本(X 1 ,X 2X n )的聯(lián)合密度是：f( X 1, X 2Xn )= : f( Xi )例：總體XN(2)，寫出該總體樣本(X 1 ,X 2X n)的聯(lián)合密度。(2) 若總體X是離散型隨機變量，一般 給出分布律：P(X= x k)= Pk.k=1,2要寫出概率

5、函數(shù) f( x )即f( x )=P(X= x k)= Pkki =1,2 .i = 1,2,., n例：總體X()寫出該總體樣本(Xl,X2，Xn)的聯(lián)合概率函數(shù)例：總體XB(1,p),0 p 1寫出其樣本(X1 ,X2,X)的聯(lián)合概率 函數(shù)。四經(jīng)驗分布函數(shù)與直方圖1.樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)定義：設(shè)(X1, X2,Xn)是來自總體X的一組樣本值。將它們按由小到 大排序為：州沖州HiX廠X 2 X i X n對任意的實數(shù)X,定義函數(shù)：Fn(x)=0X Xk= 1,2,.n 一 1k屮*Xk 蘭X卄n1xX則稱F n ( X )為總體X的經(jīng)驗分布函 數(shù)。(2)格列文科定理：設(shè)總體X的分布函數(shù)、經(jīng)驗分

6、布函數(shù) 分別為F( x)、Fn ( x),則有：P Lnim Sup|Fn”(x)- F(X)卜 0 =1上式表明，當，概率為1的有 F n(x)均勻地趨于F( x)。2總體的概率密度的估計-直方圖(第一版)p143 例 6.3可以用 SAS 下的 interactive data analysis模塊演示。五統(tǒng)計量與樣本的數(shù)字特征1定義6.3:設(shè)Xi,X2,xn是來自總 體X的容量為n的樣本，g(x 1, x2, xn)是定義在Rn或Rn子集上的普通 函數(shù)。如果g中不含有任何未知量， 則稱g(Xi,X2,X為統(tǒng)計量。2常用的統(tǒng)計量(樣本的數(shù)字特征)定義64:設(shè)Xi,X2，,X是來自總體X的樣

7、本，則稱為樣一 1 nXXin 1匚1n本均值S- Xn - 1 1為樣本方差1,2,3).為樣nM KX iK , Kn 本k階原點矩為樣本k階中心矩3重要性質(zhì)定理6.1:設(shè)總體X不論服從什么分 布，只要其二階矩存在，即E(X戶卩、D(X)= 6 2都存在，則:(1)E( X )=E(X)=卩(2)2CTD( X戶n D(X戶n(3)E(S2)=D(X)=重要恒等2X j XX：nX6.2抽樣分布統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它是一個隨機變量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。一.三個重要分布(一)2分布1.定義6.5 :設(shè)Xi, X2,X n相互獨立，均服從N(0,1)，則稱隨機變量2 2 2X1 X2.

8、Xn2分布，記為2(n)。:服從自由度為n2 n ,即：2.定理3.8:2(n)的概率密度為n_i 上2 -2（y，n）=0,其中(x)= ox T -tt e dt定理的說明見P146 頁。3.圖形.分布函數(shù)圖:data Kf;do x=0 to 30 by 0.1 ;y= PROBCHI(x, 8)；output ;end ;run ;proc gplot data =kf;plot y*x= 1 ;symbol1 v=none i =join r =1 c=black;run;密度函數(shù)圖：n=1,5,15data kf;do y= 0 to 20 by 0.1 ;zO=(y*(-0.5

9、)*exp(-y/2)/(2* 0.5 * GAMMA( 0.5 )2)/(2*2 .5 * GAMMA(2 .5 )2)/(2*7.5* GAMMA(7.5);z1 = (y*(1.5 )*exp(-y/z2= (y*(6.5)*exp(-y/ output ;end ;run ;proc gplot data =kf;plot z0*y=1 z1*y= 1 z2*y= 1 /overlay ;symboll v=none i =join r =1 c=black;run;求概率：自由度為n=25, PX34.382的概率這樣求。data ;p=PROBCHI( 34.382, 25 );

10、put p=;run ;其它可類推。4.性質(zhì) 若2 2(n),則 E( 2 )=n ,D( 2)=2n 若2(nJ，x：2仇),且它們相互獨立,則2（m 壓）若X/2,Xn相互獨立,均服從N（卩,/），貝9n2x2 = -T (Xj )2 (n)a 1總體X服從參數(shù)為入的指數(shù)分 布；Xl,X2,Xn是來自該總體的樣本. 則：n_2（ X i廠 2 n X 2 （2 ni（二）.t分布定義6.6:設(shè)Xn(0,1),丫 2(n)且 它們相互獨立，則稱隨機變量 Tn= X陽/n服從自由度為n的t分布, 記為 t(n),即 Tn t(n)。定理3.9: Tn的概率密度為T(t, n)(1OC t45時

11、,t分布與N 0,1接近。(3)當 n2 時,(證略)E(T)=0, D(T)=(三)F分布定義 6.7 :設(shè) V2(m),W2(n),且它們相互獨立，則稱隨機變量F m ,nWn服從第一自由度為m第二自由度為n的F分布，記為F(m,n)， 即Fm,n F(m,n)。定理3.10 : Fm,n為服從第一自由度為m,第二自由度為n的F分布的隨機變量，則其密度函數(shù)為11 “ m + n、r ()mm+n2“m“m、21-m、 2八()(y)2 (1y) 2y o m , n n nn(：)(；)n n nF (y,m,n)二2 20y 0圖形：給定m,n可畫出一個密度圖 形密度函數(shù)圖:data f

12、;%macro a(m,n,x);data a;0.01do y= 0 to 2 byF& x=(gamma(&m+&n)/2)*(&m/&n )*(&m/2)*y*(&m/2-1 )/(gamma(&m/2)*gamma(&n/ 2)*( 1 +(&m*y/&n)*(&m+&n)/2);output;end;data F;merge a f; |%me nd a;%a( 10 , 25 , 1);%a(10, 5,2);run ;proc gplot data =f;plot F1*y=1 F2 *y= 1 / overlay ;symbol1 v=none i =join r =1 c=b

13、lack;run;易推知：1若FF(m,n)，則；F(n,m)若Xt (n)，則X2F(1,n)練習：書上P151有證明。設(shè) xF（n1，n2），證明:1F（n2，n/|）且F（nnj-11 2 F （n2，n1）（注：xF（n,n2）表示x服從自由為 n和n2的F分布，F(xiàn)（片茲）表示F 分布的1-分位數(shù)。如：data;Q_F=FINV（0.95,12,9）; put Q_F=;Q_F=FINV（1-0.95,12,9）; put Q_F=;Ru n;二.常用概率分布的分位數(shù)定義6.8 : 設(shè)Xf （x）,對于給定 的正數(shù)（Ov： A： 二 a f（x）dx =則稱A：為X的上側(cè):分位數(shù),簡稱

14、上 分位數(shù)；若X服從某分布，稱A為 某分布的上:分位數(shù)。2 X 2（n）稱滿足PX2 x2（n）p的數(shù)x2（n）為自由度為n的2分布的上:分位數(shù)。查表P248 n 45時注意所以類的統(tǒng)計分析軟件不是這樣定義的，只有一個分位數(shù)（實際上 是下分位數(shù)的定義）書上P147-148頁,data ;q1= CINV(1- 0.005 ,10); put q1=;|q2=CINV(1- 0.01 ,10); put q2=;q3=CINV(1- .1 , 10); put q3=;q4=CINV(1- .1 ,25); put q4=; |run ;q仁25.188179572q2=23.209251159

15、q3=15.987179 仃2q4=34.381587018自由度為n=25, PX34.382的概率。data ;p=PROBCHI( 34.382, 25 ); put p=;run ;其它一些分布分位數(shù)求解如前幾章講過的，對于正態(tài)分布有結(jié)果：SAS的兩種計算公式：data ;p仁PR0BN0RM(1)-PR0BN0RM(-1);put p1=;p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2);put p2=;p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3);put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039d

16、ata ;p1= 2*PROBNORM(1 )-1;putp仁；p2= 2*PROBNORM(2)-1;putp2=;p3= 2*PROBNORM(3)-1;putp3=;run ;p仁0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以驗證數(shù)據(jù)，即以1為中心，需 要幾倍的標準差二距離所構(gòu)成的區(qū) 間，其區(qū)間內(nèi)的概率為上述所示。Data;q1二abs(probit(1- 0.6826894921)/ 2);putq1=;q2二abs(probit(1- 0.9544997361)/ 2);putq2=;q3=abs(probit(1- 0.997300203

17、9)/ 2);putq3=;run;q1=0.9999999999q2=2q3=2.9999999959dataq1=probit(1-(1- 0.6826894921)/ 2); putq1=;q2=probit(1-(1- 0.9544997361)/ 2); putq2=;q3=probit(1-(1- 0.9973002039)/ 2); putq3=;run;q仁0.9999999999 q2=2 q3=2.9999999959注意：為中心，概率為 90%,95%98% 99%勺區(qū)間，需要幾倍的標準差:距離。Data;q1二abs(probit( q2二abs(probit( q3=

18、abs(probit( q3=abs(probit(1- 0.9 )/ 2); put q1=;1- 0.95 )/ 2); put q2=;1-0.98 )/ 2); put q3=;1- 0.99 )/ 2); put q3=;run;q1= 1.644853627 q2=1.9599639845 q3=2.326347874 q3=2.5758293035比如，P：1.96 X 1.96=0.95等的結(jié)論也是常用的。幾乎都成常識 了。data ;q1=exp(-1.65 * 2/ 2)/sqrt( 2*( 3.1415926); put q1=;q2=PR0BN0RM(- 1.65 );

19、 put q2=;|aa=q1/q2; put aa=;run ;FINV(p,ndf,ddf) returns a quantile from the F distributionBETAINV(p,a,b)CINV(p,dfv, nc)SAS FUNCTIONS: Qua ntile Fu ncti onsreturns a qua ntile from the beta distributi on retur ns a qua ntile from the chi-squareddistributi onGAMINV(p,a)retur ns a qua ntile from the g

20、amma distributi onPROBIT(p)returns a quantile from the standard normal distributi onTINV(p,dfv, nc)returns a qua ntile from the t distributi on近似可證明：n很大V2x2 N ( 2n 1,1)P( 2x2 - 2 n - 1) u： =變成1=Px22(u 2 n 1)2=x2(n 廠】(u 2n1)2(2)T t(n)稱滿足PTt a (n)二 的數(shù)t a (n)為t(n)上:分位數(shù)。 查表：n45 時,T N (0,1), t a (n ) = U

21、 a。注意：Tt(n)的密度是偶函數(shù)。 稱滿足PT|1 (n)八正數(shù)以n)為2 2分布的雙側(cè)：分位數(shù)。易知：以n)查表可得，且2I (n)二2t (n)同樣標準正態(tài)分布有例: n=20的t分布，求其0.1的上分位數(shù)，有data ;q=TINV( 1 - 0.1 ,5); put q=; |q=TINV( 1-0.1 ,10); put q=;q=TINV( 1 - 0.1 , 20); put q=;q=TINV( 1 - 0.1 , 50); put q=;q=TINV( 1 - 0.1 , 100 ); put q=; |q=TINV( 1 - 0.1 ,2 00); put q=; |q

22、norm=(probit(1 - 0.1 ); put qnorm二;run ;q=1.4758840488q=1.3721836411q=1.325340707q=1.2987136942q=1.2900747613q=1.285798794qnorm=1.2815515655對于概率：我們看一下當n很大時, t(n)和標準正態(tài)分布的近似性。prob_t=PROBT(1.3, 5); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 10); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 20); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 50);

23、put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 100); put prob_t=;prob_t=PROBT(1.3, 200); put prob_t=;Prob_n=PROBNORM(1.3);put Prob_n=;Run;(3) 若 FF(m ,n)稱滿足 PFFa (m,n)二的數(shù) Fa (m,n)為F分布的上:分位數(shù)。查表：表中有的可直接查表P250表中沒有的1F (m, n)二Fv： (n, m)二正態(tài)總體的X、S2的分布定理6.2 :（費歇（Fisher）定理） 設(shè)總體 XN（卩,（T 2）,Xi,X2,Xn為來自總體X的樣本，其樣本均值和樣 本方差分別記為X和S2。則有（1） X與S相互獨立。(2)2XNC ,)n(n- 1)s2證明見書Pl50隹論1 :N (0,1)例 :總體 X N(0/ 2)，問(1 Xi)2 與n 2:Xi - X是否獨立？ 2又問(1x) + 1 Xi X服從什麼分 布？X -卩推論 2: 丁=”75-1)/vn定理6.3 :設(shè)有兩個總體： XNC2),其樣本為 Xl,X2,，X n,樣本均值X ,樣本方差2S1總體YNC2, 2),其樣本為 丫1,丫2 丫巾,樣本均值為Y,樣本方差 為s2,且兩