第五章測量誤差及測量平差

1、第五章測量誤差及測量平差 5.1測量誤差概述一、測量誤差的概念某量的各測量值相互之間或觀測值與理論值之間的往往存在著某些差 異，說明觀測中存在誤差。觀測值與真值之差稱為測量誤差，也叫真誤差。冷-X（i=1、2、n） X為真值。二、研究測量誤差的目的分析測量誤差的產(chǎn)生原因、性質(zhì)和積累規(guī)律；正確地處理測量成果，求 出最可靠值；評定測量結(jié)果的精度；為選擇合理的測量方法提供理論依據(jù)。三、測量誤差產(chǎn)生的原因1測量儀器因素2觀測者的因素3外界條件的因素測量觀測條件一一測量儀器、觀測人員和外界條件這三方面的因素綜合 起來稱為測量觀測條件。等精度觀測一一測量觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測。非等精度觀測一

2、一測量觀測條件不相同的各次觀測稱為非等精度觀測。四、測量誤差的分類1. 系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下對某量作一系列觀測，如果誤差的大小、符號表現(xiàn) 出系統(tǒng)性，或按一定的規(guī)律變化，或保持不變，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。其特點(diǎn)：具有累積性，但可以采用適當(dāng)?shù)挠^測方法或加改正數(shù)來消除或 減弱其影響。2. 偶然誤差在相同的觀測條件下對某量作一系列觀測， 如果誤差的大小和符號不定, 表面上沒有規(guī)律性，但實(shí)際上服從于一定的統(tǒng)計規(guī)律性，這種誤差稱為偶然 誤差。偶然誤差單個的出現(xiàn)上沒有規(guī)律性，不能采用適當(dāng)?shù)挠^測方法或加改正 數(shù)來消除或減弱其影響。因此，觀測結(jié)果中偶然誤差占據(jù)了主要地位，是偶 然誤差影響了觀測結(jié)果的精確性

3、。五、減少測量誤差的措施對系統(tǒng)誤差，通常采用適當(dāng)?shù)挠^測方法或加改正數(shù)來消除或減弱其影響。 對偶然誤差，通常采用多余觀測來減少誤差，提高觀測成果的質(zhì)量。 5.2偶然誤差的特性一、精度的含義1準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度是指在對某一個量的多次觀測中，觀測值對該量真值的偏離程度。2精密度精密度是指在對某一個量的多次觀測中，各觀測值之間的離散程度。3精度精度也就是精確度，是評價觀測成果優(yōu)劣的準(zhǔn)確度與精密度的總稱，表 示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與偶然誤差的綜合影響的程度。由于系統(tǒng)誤差總是可以采用適當(dāng)?shù)挠^測方法或加改正數(shù)來消除或減弱其 影響，我們認(rèn)為觀測結(jié)果中的誤差主要是偶然誤差。實(shí)際測量中通常真值是 不知道的，所以測量中所講

4、的精度，通常指的是精密度。測量學(xué)上研究的誤差是偶然誤差。二、偶然誤差的特性通過對偶然誤差統(tǒng)計規(guī)律的分析，來找出其具有的特性。本例以對一三 角形內(nèi)角和觀測結(jié)果（獨(dú)立觀測162次）來說明。真誤差一一觀測值與真值的差值。 i= li-X ,i=1,2,162將162個真誤差先進(jìn)行統(tǒng)計分析，取誤差區(qū)間d為0.2，各誤差區(qū)間 的個數(shù)為k，相對個數(shù)為k/n，n為總個數(shù)，見表5-1。從表5-1中可以看 出一些規(guī)律。為了更直觀表示誤差的分布情況，可用直方圖的形式來表示。其方程式為：式中：x= ，f（X）=（T =m（中誤差），即標(biāo)準(zhǔn)偏差根據(jù)以上分析，偶然誤差有以下特性:1. 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對

5、值不會超過一定的限值2. 絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多。3. 絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會均等。4. 偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測次數(shù)的無限增加而趨向于零，即:.lim 0“匸n 5.3衡量測量精度的指標(biāo)精度一一誤差分布的密集或離散程度 衡量測量精度的指標(biāo)主要有中誤差、相對中誤差和極限誤差。一、中誤差各個真誤差的平方的平均值的平方根，稱為中誤差，用m表示。式中：戶 12+ 22+ + n2 m值越大，精度越低，m值越小，精度越高。二、相對中誤差評價測距精度時，用以上絕對的誤差值是不能反映實(shí)際精度的高低, 而應(yīng)用相對中誤差來評價。相對中誤差是觀測值中誤差的絕對值與觀測值之比，

6、通常化成分子 為1的分?jǐn)?shù)式。m 1 T =一 =丄l MT值越小，表示精度越高，即 M越大，精度越高。三、極限誤差極限誤差也稱為容許誤差或限差。根據(jù)偶然誤差的特性，在一定的 觀測條件下偶然誤差不會超過一定的限度，這個限值即為極限誤差。統(tǒng)計表明， m的概率為32% 2m的概率為5% 3m的概率為0.3%因此,通常取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，即容二 3m要求嚴(yán)格時，也常取二倍中誤差作為極限誤差，即容=2m 5.4誤差傳播定律有些未知量是不能直接測定的，而是要通過觀測值按一定的函數(shù)關(guān) 系計算而得，那么，函數(shù)中誤差與觀測值中誤差的關(guān)系如何呢？ 誤差傳播定律：闡述函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系

7、。、觀測值一般函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z = f(X1 ,X2,xn)對函數(shù)取全微分得：dXndz 二耳 dXi耳 dX2VX1x2xn令觀測值X1, X2,Xn的真誤差為 X1,X2, Xn,函數(shù)Z的真誤差為 Z,由于真誤差一般都很小，故上式可寫成：A 拼丄吋丄吋AXXiX2Xn.X1X2Xn當(dāng)函數(shù)關(guān)系確定時，偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，則令：.Xi二 ki,工二 k2,二 kn&2GXn Z=k1 X1+ k2 x2+ + knA Xn設(shè)對觀測值Xi, X2,Xn進(jìn)行了 n次等精度觀測，則有 Z=kl X11+ k2 X21+ + kn Xn1 Z=k 1 X12+ k2 X22+ + kn Xn2 Z=k

8、1 X1n+ k2 X2n+ kn Xnn把上式兩邊平方，相加后再除以 n得：2 2 2凹*2亠k22J .汀山nnnn2k1k2XX 2k2k3XX31 .nn根據(jù)偶然誤差的特性4，上式寫成：2 2 2 凹十/亠k22亠 V亠 nnnn根據(jù)中誤差的定義，有：2,2 2 , 2 2 , 2 2mz =k1 mX1 + k2 mX2 + + kn mkn 即：I cf 2 2_2 2_2 2mz 二、()m1( ) m2( ) mnV CX-!CX2CXn例：量得一球體的直徑為 10.5cm,已知其量測中誤差為土 0.5mm,求 該球的體積及其中誤差。解：函數(shù)關(guān)系為：V =4 二R3二(D)3

9、J-：D3 =606.1cm33326/ 矽、22 eV1c r2兀小2mv = . () mDmD3 D mDD mD.:D:D623= 8659mm3= 8.659cm、求觀測值函數(shù)中誤差的基本步驟1按問題的要求，列出具體的函數(shù)關(guān)系式;2. 對各觀測值求偏導(dǎo)數(shù)；3. 寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差的關(guān)系;4. 計算相應(yīng)函數(shù)值的中誤差。三、幾種觀測值典型函數(shù)的中誤差1. 和差函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z= X1 X2 X2mz 二.m12 m22 爲(wèi)-:mn2若m1=m2=mn貝U: mz = m . n2. 倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)倍數(shù)函數(shù) Z=kx則有mz=km說明所求值與觀測值是倍數(shù)關(guān)系的話，其中誤

10、差也是倍數(shù)關(guān)系3. 線性函數(shù)的中誤差設(shè)有線性函數(shù) Z=k1X1 k2X2 土土 knXn則有：mz _ - . k12m12 k22m22 學(xué) * kn2mn2 5.6等精度觀測的直接平差、求最可靠值1.算術(shù)平均值若對某一量進(jìn)行n次等精度觀測，觀測值為11,12,ln,則這些觀測值的 算術(shù)平均值x為：h 2IX =2.等精度觀測值的最可靠值算術(shù)平均值有什么作用呢？設(shè)該量的真值為X,則有:r 1=1 1 X 2=1 2 X n=1 n X上式相加得：l1 l InXn即上丄Xn-x時，即x= x，表明當(dāng)觀測次數(shù)無限多 實(shí)際上觀測次數(shù)總是有限的，在這種情況/n，所以算術(shù)平均值是觀n n根據(jù)偶然誤差

11、的特性4,當(dāng) 時，算術(shù)平均值就是該值的真值， 下，算術(shù)平均值與真值之間只差一個微小量 測值的最可靠值 二、精度評定當(dāng)被觀測量的真值知道時，可用下式計算中誤差:* n若被觀測量的真值不知道時，則應(yīng)用下式計算中誤差:- VV1v為觀測值的改正數(shù)。1.觀測值的改正數(shù)觀測值的算術(shù)平均值與觀測值之差，稱為觀測值的改正數(shù)。當(dāng)觀測次數(shù) 為n時，有：V1= x 11V2= X12 Vn= X In將上式相加得：v= n x I =0, 即v =0,用于計算檢核。2.觀測值的中誤差在實(shí)際測量中，某量的真值往往是不知道的，因此要先求出算術(shù)平均值， 再得出改正數(shù)，按下式計算中誤差：其推導(dǎo)過程為：設(shè)對真值為X的某一量

12、進(jìn)行n次等精度觀測，則有r 1= IlX I 2= b X、 n= In X并移項(xiàng)得：廣 i = Vi (X x) 2= V2 (X X)- n= Vn (X X)式兩邊平方后再相加得：2 =vv+n(X x) +2(X x)V 即得 =vv+n(X x)2式中(X-x )是算術(shù)平均值的真誤差，無法求得，用算術(shù)平均值中誤差 M 代替，上式兩邊同除n得：二二vvm2=r n n n將m2-三代入上式,2 vv m2 m =n n整理得：m二一一黑該式即為當(dāng)真值未知時用改正數(shù)計算觀測值中誤差的計算公式。n-1為多余觀測數(shù)。例：對某距離丈量了5次，結(jié)果為：15.154m, 15.158m, 15.1

13、55m，15.156m, 15.157m。求觀測值中誤差及相對中誤差。解：先求出算術(shù)平均值：i 0412 3x1515415156mm = 15.156mn5再求改正數(shù)：2 2vi =(15156-15154)=4vv=10V22=4 ,2 人22 人V3 =1 ，V4 =0 ， V5 =1mvvn1tQ丄l 9600510- 25 = -1-58mm3.算術(shù)平均值的中誤差設(shè)對某量進(jìn)行n次等精度觀測，觀測值中誤差為 m，則算術(shù)平均值的中誤差M為：M = m，其推導(dǎo)過程如下:Pn丄.Jnnn nnv(-)2m1(-)2m2+(-)2m12nnnm,則有:M =和（丄）2m2 nY n即 M = -m.n從上式可看出，取多次觀測值的平均值可以提高