第五章測(cè)量誤差及測(cè)量平差

1、第五章測(cè)量誤差及測(cè)量平差 5.1測(cè)量誤差概述一、測(cè)量誤差的概念某量的各測(cè)量值相互之間或觀測(cè)值與理論值之間的往往存在著某些差 異，說明觀測(cè)中存在誤差。觀測(cè)值與真值之差稱為測(cè)量誤差，也叫真誤差。冷-X（i=1、2、n） X為真值。二、研究測(cè)量誤差的目的分析測(cè)量誤差的產(chǎn)生原因、性質(zhì)和積累規(guī)律；正確地處理測(cè)量成果，求 出最可靠值；評(píng)定測(cè)量結(jié)果的精度；為選擇合理的測(cè)量方法提供理論依據(jù)。三、測(cè)量誤差產(chǎn)生的原因1測(cè)量?jī)x器因素2觀測(cè)者的因素3外界條件的因素測(cè)量觀測(cè)條件一一測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)人員和外界條件這三方面的因素綜合 起來稱為測(cè)量觀測(cè)條件。等精度觀測(cè)一一測(cè)量觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)。非等精度觀測(cè)一

2、一測(cè)量觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)稱為非等精度觀測(cè)。四、測(cè)量誤差的分類1. 系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量作一系列觀測(cè)，如果誤差的大小、符號(hào)表現(xiàn) 出系統(tǒng)性，或按一定的規(guī)律變化，或保持不變，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。其特點(diǎn)：具有累積性，但可以采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法或加改正數(shù)來消除或 減弱其影響。2. 偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量作一系列觀測(cè)， 如果誤差的大小和符號(hào)不定, 表面上沒有規(guī)律性，但實(shí)際上服從于一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這種誤差稱為偶然 誤差。偶然誤差單個(gè)的出現(xiàn)上沒有規(guī)律性，不能采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法或加改正 數(shù)來消除或減弱其影響。因此，觀測(cè)結(jié)果中偶然誤差占據(jù)了主要地位，是偶 然誤差影響了觀測(cè)結(jié)果的精確性

3、。五、減少測(cè)量誤差的措施對(duì)系統(tǒng)誤差，通常采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法或加改正數(shù)來消除或減弱其影響。 對(duì)偶然誤差，通常采用多余觀測(cè)來減少誤差，提高觀測(cè)成果的質(zhì)量。 5.2偶然誤差的特性一、精度的含義1準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度是指在對(duì)某一個(gè)量的多次觀測(cè)中，觀測(cè)值對(duì)該量真值的偏離程度。2精密度精密度是指在對(duì)某一個(gè)量的多次觀測(cè)中，各觀測(cè)值之間的離散程度。3精度精度也就是精確度，是評(píng)價(jià)觀測(cè)成果優(yōu)劣的準(zhǔn)確度與精密度的總稱，表 示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差與偶然誤差的綜合影響的程度。由于系統(tǒng)誤差總是可以采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法或加改正數(shù)來消除或減弱其 影響，我們認(rèn)為觀測(cè)結(jié)果中的誤差主要是偶然誤差。實(shí)際測(cè)量中通常真值是 不知道的，所以測(cè)量中所講

4、的精度，通常指的是精密度。測(cè)量學(xué)上研究的誤差是偶然誤差。二、偶然誤差的特性通過對(duì)偶然誤差統(tǒng)計(jì)規(guī)律的分析，來找出其具有的特性。本例以對(duì)一三 角形內(nèi)角和觀測(cè)結(jié)果（獨(dú)立觀測(cè)162次）來說明。真誤差一一觀測(cè)值與真值的差值。 i= li-X ,i=1,2,162將162個(gè)真誤差先進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，取誤差區(qū)間d為0.2，各誤差區(qū)間 的個(gè)數(shù)為k，相對(duì)個(gè)數(shù)為k/n，n為總個(gè)數(shù)，見表5-1。從表5-1中可以看 出一些規(guī)律。為了更直觀表示誤差的分布情況，可用直方圖的形式來表示。其方程式為：式中：x= ，f（X）=（T =m（中誤差），即標(biāo)準(zhǔn)偏差根據(jù)以上分析，偶然誤差有以下特性:1. 在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)

5、值不會(huì)超過一定的限值2. 絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多。3. 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等。4. 偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測(cè)次數(shù)的無限增加而趨向于零，即:.lim 0“匸n 5.3衡量測(cè)量精度的指標(biāo)精度一一誤差分布的密集或離散程度 衡量測(cè)量精度的指標(biāo)主要有中誤差、相對(duì)中誤差和極限誤差。一、中誤差各個(gè)真誤差的平方的平均值的平方根，稱為中誤差，用m表示。式中：戶 12+ 22+ + n2 m值越大，精度越低，m值越小，精度越高。二、相對(duì)中誤差評(píng)價(jià)測(cè)距精度時(shí)，用以上絕對(duì)的誤差值是不能反映實(shí)際精度的高低, 而應(yīng)用相對(duì)中誤差來評(píng)價(jià)。相對(duì)中誤差是觀測(cè)值中誤差的絕對(duì)值與觀測(cè)值之比，

6、通常化成分子 為1的分?jǐn)?shù)式。m 1 T =一 =丄l MT值越小，表示精度越高，即 M越大，精度越高。三、極限誤差極限誤差也稱為容許誤差或限差。根據(jù)偶然誤差的特性，在一定的 觀測(cè)條件下偶然誤差不會(huì)超過一定的限度，這個(gè)限值即為極限誤差。統(tǒng)計(jì)表明， m的概率為32% 2m的概率為5% 3m的概率為0.3%因此,通常取三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，即容二 3m要求嚴(yán)格時(shí)，也常取二倍中誤差作為極限誤差，即容=2m 5.4誤差傳播定律有些未知量是不能直接測(cè)定的，而是要通過觀測(cè)值按一定的函數(shù)關(guān) 系計(jì)算而得，那么，函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差的關(guān)系如何呢？ 誤差傳播定律：闡述函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差之間的關(guān)系

7、。、觀測(cè)值一般函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z = f(X1 ,X2,xn)對(duì)函數(shù)取全微分得：dXndz 二耳 dXi耳 dX2VX1x2xn令觀測(cè)值X1, X2,Xn的真誤差為 X1,X2, Xn,函數(shù)Z的真誤差為 Z,由于真誤差一般都很小，故上式可寫成：A 拼丄吋丄吋AXXiX2Xn.X1X2Xn當(dāng)函數(shù)關(guān)系確定時(shí)，偏導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，則令：.Xi二 ki,工二 k2,二 kn&2GXn Z=k1 X1+ k2 x2+ + knA Xn設(shè)對(duì)觀測(cè)值Xi, X2,Xn進(jìn)行了 n次等精度觀測(cè)，則有 Z=kl X11+ k2 X21+ + kn Xn1 Z=k 1 X12+ k2 X22+ + kn Xn2 Z=k

8、1 X1n+ k2 X2n+ kn Xnn把上式兩邊平方，相加后再除以 n得：2 2 2凹*2亠k22J .汀山nnnn2k1k2XX 2k2k3XX31 .nn根據(jù)偶然誤差的特性4，上式寫成：2 2 2 凹十/亠k22亠 V亠 nnnn根據(jù)中誤差的定義，有：2,2 2 , 2 2 , 2 2mz =k1 mX1 + k2 mX2 + + kn mkn 即：I cf 2 2_2 2_2 2mz 二、()m1( ) m2( ) mnV CX-!CX2CXn例：量得一球體的直徑為 10.5cm,已知其量測(cè)中誤差為土 0.5mm,求 該球的體積及其中誤差。解：函數(shù)關(guān)系為：V =4 二R3二(D)3

9、J-：D3 =606.1cm33326/ 矽、22 eV1c r2兀小2mv = . () mDmD3 D mDD mD.:D:D623= 8659mm3= 8.659cm、求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的基本步驟1按問題的要求，列出具體的函數(shù)關(guān)系式;2. 對(duì)各觀測(cè)值求偏導(dǎo)數(shù)；3. 寫出函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差的關(guān)系;4. 計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值的中誤差。三、幾種觀測(cè)值典型函數(shù)的中誤差1. 和差函數(shù)的中誤差設(shè)有函數(shù)Z= X1 X2 X2mz 二.m12 m22 爲(wèi)-:mn2若m1=m2=mn貝U: mz = m . n2. 倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)倍數(shù)函數(shù) Z=kx則有mz=km說明所求值與觀測(cè)值是倍數(shù)關(guān)系的話，其中誤

10、差也是倍數(shù)關(guān)系3. 線性函數(shù)的中誤差設(shè)有線性函數(shù) Z=k1X1 k2X2 土土 knXn則有：mz _ - . k12m12 k22m22 學(xué) * kn2mn2 5.6等精度觀測(cè)的直接平差、求最可靠值1.算術(shù)平均值若對(duì)某一量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值為11,12,ln,則這些觀測(cè)值的 算術(shù)平均值x為：h 2IX =2.等精度觀測(cè)值的最可靠值算術(shù)平均值有什么作用呢？設(shè)該量的真值為X,則有:r 1=1 1 X 2=1 2 X n=1 n X上式相加得：l1 l InXn即上丄Xn-x時(shí)，即x= x，表明當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限多 實(shí)際上觀測(cè)次數(shù)總是有限的，在這種情況/n，所以算術(shù)平均值是觀n n根據(jù)偶然誤差

11、的特性4,當(dāng) 時(shí)，算術(shù)平均值就是該值的真值， 下，算術(shù)平均值與真值之間只差一個(gè)微小量 測(cè)值的最可靠值 二、精度評(píng)定當(dāng)被觀測(cè)量的真值知道時(shí)，可用下式計(jì)算中誤差:* n若被觀測(cè)量的真值不知道時(shí)，則應(yīng)用下式計(jì)算中誤差:- VV1v為觀測(cè)值的改正數(shù)。1.觀測(cè)值的改正數(shù)觀測(cè)值的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值的改正數(shù)。當(dāng)觀測(cè)次數(shù) 為n時(shí)，有：V1= x 11V2= X12 Vn= X In將上式相加得：v= n x I =0, 即v =0,用于計(jì)算檢核。2.觀測(cè)值的中誤差在實(shí)際測(cè)量中，某量的真值往往是不知道的，因此要先求出算術(shù)平均值， 再得出改正數(shù)，按下式計(jì)算中誤差：其推導(dǎo)過程為：設(shè)對(duì)真值為X的某一量

12、進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，則有r 1= IlX I 2= b X、 n= In X并移項(xiàng)得：廣 i = Vi (X x) 2= V2 (X X)- n= Vn (X X)式兩邊平方后再相加得：2 =vv+n(X x) +2(X x)V 即得 =vv+n(X x)2式中(X-x )是算術(shù)平均值的真誤差，無法求得，用算術(shù)平均值中誤差 M 代替，上式兩邊同除n得：二二vvm2=r n n n將m2-三代入上式,2 vv m2 m =n n整理得：m二一一黑該式即為當(dāng)真值未知時(shí)用改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式。n-1為多余觀測(cè)數(shù)。例：對(duì)某距離丈量了5次，結(jié)果為：15.154m, 15.158m, 15.1

13、55m，15.156m, 15.157m。求觀測(cè)值中誤差及相對(duì)中誤差。解：先求出算術(shù)平均值：i 0412 3x1515415156mm = 15.156mn5再求改正數(shù)：2 2vi =(15156-15154)=4vv=10V22=4 ,2 人22 人V3 =1 ，V4 =0 ， V5 =1mvvn1tQ丄l 9600510- 25 = -1-58mm3.算術(shù)平均值的中誤差設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值中誤差為 m，則算術(shù)平均值的中誤差M為：M = m，其推導(dǎo)過程如下:Pn丄.Jnnn nnv(-)2m1(-)2m2+(-)2m12nnnm,則有:M =和（丄）2m2 nY n即 M = -m.n從上式可看出，取多次觀測(cè)值的平均值可以提高