幻方（二）教師版

1、5-1-4-2.幻方（二）教學目標1. 會用羅伯法填奇數階幻方2. 了解偶數階幻方相關知識點3. 深入學習三階幻方知識點撥一、幻方起源也叫縱橫圖，也就是把數字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方幻方起源于我國，古人還為它編撰了一些神話傳說在大禹治水的年代，陜西的洛水經常大肆泛濫，無論怎樣祭祀河神都無濟于事，每年人們擺好祭品之后，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數字，可是誰也弄不清這些小點點是什么意思一次，大烏龜又從河里爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結果都等于十五

2、！”于是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再泛濫了這個神奇的圖案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個相等的和叫做“幻和”“洛書”就是幻和為15的三階幻方如下圖： 我國北周時期的數學家甄鸞在算數記遺里有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央”這段文字說明了九個數字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團圓”幻方的種類還很多，這節(jié)課我們將學習認識了解它們二、幻方定義幻方是指橫行、豎列、對角線上數的和都相等的數的方陣，具有

3、這一性質的的數陣稱作三階幻方，的數陣稱作四階幻方，的稱作五階幻方如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣， 三、解決這幻方常用的方法適用于所有奇數階幻方的填法有羅伯法口訣是：一居上行正中央，后數依次右上連上出框時往下填，右出框時往左填排重便在下格填，右上排重一個樣 適用于三階幻方的三大法則有：求幻和： 所有數的和行數（或列數）求中心數：我們把幻方中對角線交點的數叫“中心數”，中心數幻和3角上的數=與它不同行、不同列、不同對角線的兩數和2四、數獨數獨簡介：（日語：數獨）是一種源自18世紀末的瑞士，后在美國發(fā)展、并在日本得以發(fā)揚光大的數學智力拼圖游戲。如今數獨的雛型首先于1970年代由美國的一家數學邏輯

4、游戲雜志發(fā)表，當時名為Number Place?，F今流行的數獨于1984年由日本游戲雜志通信發(fā)表并得了現時的名稱。數獨本是“獨立的數字”的省略，因為每一個方格都填上一個個位數。 數獨可以簡單的數為：讓行與列及單元格的數字成規(guī)律性變換的一類數字謎問題解題技巧：數獨游戲中最常規(guī)的辦法就是利用每一個空格所在的三個單元中已經出現的數字（大小數獨一個空格只位于兩個單元之內，但是同時多了一個大小關系作為限制條件）來縮小可選數字的范圍?？偨Y4個小技巧：1、 巧選突破口：數獨中未知的空格數目很多，如何尋找突破口呢？首先我們要通過規(guī)則的限制來分析每一個空格的可選數字的個數，然后選擇可選數字最少的方格開始，一般來

5、說，我們會選擇所在行、所在列和所在九宮格中已知數字比較多的方格開始，盡可能確定方格中的數字；而大小數獨中已知的數字往往非常少，這個時候大小關系更加重要，我們除了利用已知數字之外更加需要考慮大小關系的限制。2、 相對不確定法：有的時候我們不能確定2個方格中的數字，卻可以確定同一單元其他方格中肯定不會出現什么數字，這個就是我們說的相對不確定法。舉例說明，A1可以填入1或者2，A2也可以填入1或者2，那么我們可以確定，1和2必定出現在A1和A2兩者之中，A行其他位置不可能出現1或者2.3、 相對排除法：某一單元中出現好幾個空格無法確定，但是我們可以通過比較這幾個空格的可選數字進行對比分析來確定它們中

6、的某一個或者幾個空格。舉例說明，A行中已經確定5個數字，還有4個數字（我們假設是1、2、3、4）沒有填入，通過這4個空格所在的其他單元我們知道A1可以填入1、2、3、4，A2可以填入1、3，A3可以填入1、2、3，A4可以填入1、3，這個時候我們可以分析，數字4只能填入A1中，所以A1可以確定填入4，我們就可以不用考慮A1，這樣就可以發(fā)現2只能填入A3中，所以A3也能確定，A2和A4可以通過其他辦法進行確定。4、 假設法：如果找不到能夠確定的空格，我們不妨進行假設，當然，假設也是原則的，我們不能進行無意義的假設，假設的原則是：如果通過假設一個空格的數字，可以確定和這個空格處在同一個單元內的其它

7、某一個或者某幾個空格的數字，那么我們就以選擇這樣的空格來假設為佳。舉例說明，B3可以填入1或者2，A3可以填入2或者3，B4可以填入1或者2，這個時候我們就應該假設B3填入2，這樣就可以確定A3填入3，B4填入1，然后以這個為基礎進行推理，如果推出違反規(guī)則的情況出現，那么這個假設就是錯誤的，我們回到假設點重新開始。例題精講數獨【例 1】 在下圖的每個方格中填入一個數字，使得每行、每列以及每條對角線上的方格中的四個數字都是1，2，3，4【考點】數獨 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 如中間圖所示，受列及對角線的限制，處只能填1，從而處填3；進而推知處填4，處填3，處填4，右上圖為填好后的數陣

8、圖【答案】【例 2】 在圖的55的方格表中填入四個字母，要求：每行每列中四個字母都恰出現一次：如果菜行的左邊標有字母，則它表示這行中第一個出現的字母；如果某行的右邊標有字母，則它表示這行中最后一個出現的字母；類似地，如果某列的上邊(或者下邊)標有字母，則它表示該列的第一個(或者最后一個)出現的字母那么在第二行從左到右出現的次序是 【考點】數獨 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，復賽，7題【解析】 在第二行從左到右出現的次序是【答案】【鞏固】 在左下圖的55方格表的空白處填入15中的數，使得每行、每列、每條對角線上的數各不相同?！究键c】數獨 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】

9、走美杯，4年級，決賽，第11題，12分【解析】【答案】【例 3】 請你在六階拉丁幻方中的空白方格內填入相應數字，使得每一行、每一列及兩條對角線上恰好出現1、2、3、4、5、6 【考點】數獨 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，初賽，第8題【解析】 這也是一道邏輯推理問題，它雷同于風靡一時的數獨游戲在這個拉丁幻方中，從右上到左下的對角線上已給出4個數字，還少了數字4和5，而4在第三列中已經出現了，所以4只能填入第一列，5則自然而然的出現在第三列如圖10所示再看自上而下的第六行，還少了數字3、4和5，而4、5在第六列出現，所以只能填3同理5在第四列中已經出現了，所以5只能填入第二列

10、，4則自然而然的出現在第四列如圖11所示再看自上而下的第三行，還少了數字1，2，3和6，而3在第三、五、六列中已經出現了，所以3只能填入第二列，1在第三、五列中已經出現了，所以1只能填入第六列，6在第五列中已經出現了，所以6只能填入第三列，2則自然而然的出現在第五列如圖12所示再看第六列，可確定第四行填6，第五行填2再往下填就容易多了，請同學們自己完成【答案】【鞏固】 如下圖，6個32的小方格表拼成了66的大方格表。請在空白處填入16中的數，使得每行、每列中的數各不相同，并且原來6個32的小方格表中的數也各不相同?！究键c】數獨 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第10題

11、，10分【解析】 三種填法如下： 提示：第一步可得出下頁左上圖圓圈中的數，其中第二行第一列的數是因為第一行不能再填5. 第二步可得出右上圖圓圈中的數。其中第一行后兩數是因為第二行不能再填2，6；左下角的數是因為第五行不能再填6.第三步可得出左下圖圓圈中的數，其中第三行第三列的數是因為第四行不能再填5. 第四步可得出右上圖圓圈中的數。第五步可依次得到下圖中的a=4，b=1，c=1，d=5，e=3，f=5.剩下的空格不能確定，依次假設可能取值，可得三種填法.【答案】【例 4】 請在如右圖的每個空格內填入1至8中的一個數字，使每行、每列、每條對角線上8個數字都互不相同【考點】 【難度】星 【題型】填

12、空【關鍵詞】迎春杯，高年級，初賽，第10題【解析】 1276384563547128478523162537468151486273381254678623175474618532從兩條對角線上的方格為突破口，因為它們同時涉及三條線，所受的限制最嚴，所能填的數的空間也就最小副對角線上面已經填了2，3，8，6四個數，剩下1，4，5和7，這是突破口觀察這四個格，發(fā)現左下角的格所在的行已經有5，所在的列已經有1和4，所以只能填7然后，第六行第三列的格所在的行已經有5，所在的列已經有4，所以只能填1第四行第五列的格所在的行和列都已經有5，所以只能填4，剩下右上角填5再看主對角線，已經填了1和2，依次觀

13、察剩余的6個方格，發(fā)現第四行第四列的方格只能填7，因為第四行和第四列已經有了5，4，6，8，3再看第五行第五列，已經有了4，8，3，5，所以只能填6此時似乎無法繼續(xù)填主對角線的格子，但是，可觀察空格較少的行列，例如第四列已經填了5個數，只剩下1，2，5，則很明顯第六格填2，第八格填1，第三格填5此時可以填主對角線的格子了，第三行第三列填8，第二行第二列填3，第六行第六列填4，第七行第七列填5繼續(xù)依次分析空格較少的行和列（例如第五列）可得出結果【答案】1276384563547128478523162537468151486273381254678623175474618532【例 5】 如圖，

14、請將1個1，2個2，3個3，7個7，8個8填入66的表格中，使得相同的數所在的方格都連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）；現在已經給出了其中8個方格中的數，并且知道A,B,C,D,E,F各不相同；那么，六位數是 【考點】 【難度】星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，四年級，初賽，第9題）【解析】 方格當中填的格子只有個且連在一起，所以、當中不可能有格子中填，也不可能填，所以、只能是、，通過嘗試可得到【答案】【例 6】 將1到9填入下圖的空白方塊中，每個方塊只能填一個數字，任何一行，一列或一個區(qū)塊都是一個單元。每個單元都必須包含全部但不重復的數字?！究键c】數獨 【難度】5星 【題型】填空 【解析

15、】 這道題是一個標準的數獨游戲，我們從把這個方塊如右圖編號：1、 我們首先從條件最多的第1列和第9列入手：第1列中已有，缺167，我們觀察發(fā)現G行有1346，所以G1既不能填，也不能填1346，所以只能填7；2、 類似的我們可以繼續(xù)分析第9列中的每個空白，我們會發(fā)現C9只能填4，H9只能填9，G9只能填8；3、 我們再考慮已知比較多的第4列和I行，同時考慮空白方塊所在的九宮格，我們可以發(fā)現I4填4，I2填1，G2填2，G7填5，G5填9，I7填7，I6填5，H8填3，H3填5，H2填4；這個時候我們發(fā)現比較難找到唯一確定的，我們不妨使用假設法，如果推出結果矛盾，那么我們回到假設點再來。我們發(fā)現

16、右上角的九宮格中，A8可以填178，B7可以填189，B8可以填189，C8可以填17，我們發(fā)現假設B8為1，則可以進而唯一確定C8為7，A8為8，B7為9，我們就這么假設吧！我們根據這個假設繼續(xù)分析下去：A6填7，H6填2，H5填7，C3填3，B2填8，A3填2，A4填1，C5填6，C1填1，E8填5，F8填2，D8填9，D3填8，E3填1，F2填7，E5填3，D5填2，F5填1，E2填6，D2填3，D6填6，F6填8，F7填3，E7填8，B1填6，B4填2，B5填4.整個數獨完成，沒有產生沖突，所以假設成立.【答案】【鞏固】 如右下圖，9個3的小方格表合并成一個9的大方格表，每個格子中填入

17、1-9中的一個數，每個數在每一行、每一列中都只出現一次，并且在原來的每個33的小方格表中也只出現一次，10個“”處所填數的總和是 ?！究键c】數獨 【難度】5星 【題型】填空 【關鍵詞】走美杯，3年級，初賽【解析】 本題是9宮格的題目經過嘗試得到10個“”處所填數的總和是46【答案】【鞏固】 “九宮圖”是一個99的方陣，它是由九個33的“九宮格”（圖中黑實線圍住的方陣）組成。請你在上圖中將數字1、2、3、4、5、6、7、8、9分別填入空格內，使得每行、每列及9個“九宮圖”中數字19均恰好出現一次。當填寫完后，位于第4行第4列的數字式_。（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【考點】數獨 【難度】

18、5星 【題型】選擇【關鍵詞】迎春杯，高年級，復試，9題【解析】 ，示：第行第列的數，根據所在行、所在列、所在九宮格判斷，只能填或。如果填，則第行第列無數可填，所以第行第列只能填。注：是否有滿足題意的填法，還要實際填一下（見下圖）?！敬鸢浮俊眷柟獭?如圖是一個未完成的“數獨”，給出數字、所在方格內應填的數字。 、 、 、 。注：所謂“數獨”即在 的方格中填入中的數字，使得每個粗線的方格中數字及的方格中每行每列數字均不重復。【考點】數獨 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第8題，10分【解析】 如圖，補充完整這個數獨后，可以知道、?！敬鸢浮俊眷柟獭?下圖是一個99的方格圖，

19、由粗線隔為9個橫豎各有3個格子的“小九宮”格，其中，有一些小方格填有1至9的數字。小青在第4列的空格中各填入了一個1至9中的自然數，使每行、每列和每個“小九宮”格內的數字都不重復，然后小青將第4列的數字從上向下寫成一個9位數，請寫出這個9位數，并且簡單說明理由.【考點】數獨 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】華杯賽，六年級，決賽，第11題【解析】 用（a，b）表示第a行第b列的方格，第4列已有數字1、2、3、4、5，第6行已有數字6、7、9，所以方格（6，4）8；第3行和第5行都有數字9，所以（7，4）9；正中的“小九宮”中已有數字7，所以只能是（3，4）7；此時，第4列中只余（5，4），這

20、一列只有數字6未填，所以（5，4）6。所以，第4列的數字從上向下寫成的9位數是：.【答案】【例 7】 將1到4填入右圖的空白方塊中，每個方塊只能填一個數字，任何一行，一列都必須包含全部但不重復的數字，并且，在有“”或者“”或者“”或者“”的對應兩個空格必須滿足對應的大小關系?！究键c】數獨 【難度】4星 【題型】填空 【解析】 這道題是一道數獨游戲的變體，我們稱之為“大小數獨”。已知數字很少，我們就要善于利用大小關系條件。1、 首先我們觀察右下角密集的大于小于關系：E4E3，E4D4，所以E4只能填入2或者3，又因為B4已經填入2，所以E4只能填入3，進而D4只能填入1（因為第4列中已經有2），

21、C4只能填入4；2、 再觀察左半部的3個大于小于關系：B2C2D2，所以C2可以填入2、3、4，又因為C3已經填入2，C4已經填入4，所以C2只能填入3，進而知道D2只能填2（D4已經填入1），C1只能填入5（1是最小的數，不能填入C1），C5填1；3、 然后觀察第5列，C5為1，E5D5，所以E5可以填入4或5，D5可以填入3或4，B5可以填入3或4，A5可以填入2、3、4，發(fā)現只有A5可以填2，所以A5必然是2，又因為B2、B3和B5都不能填1，所以B1填入1；4、 觀察第3列，C3為2，B3、E3都大于某數，故都不能填1，D3所在行已經有1，故也不能填1，那么只有A3填1；5、 觀察E行

22、，E3與E5都是填入4或5，所以4、5必然出現在E3與E5中，又因為E1所在列的B1為1，所以E1只能填2，進而知道E2填1，A2填4，B2填5，則B5不能填5，那么只有E5填5，所以E3填4，B3填3，B5填4，D5填3，D3填5，D1填4，最后A1填3.分析完畢，結果如右圖所示.【答案】【鞏固】 將1到5填入右圖的空白方塊中，每個方塊只能填一個數字，任何一行，一列都必須包含全部但不重復的數字，并且，在有“”或者“”的對應兩個空格必須滿足對應的大小關系。【考點】數獨 【難度】5星 【題型】填空 【解析】 這道題是一道數獨游戲的變體，我們稱之為“大小數獨”。已知數字很少，我們就要善于利用大小關

23、系條件。1、 首先看E行，因為E4D3E3,再因為E5為3，所以E3只能填入1或者2，這樣，1和2就必然出現在E3和E4中，所以E1和E2只能填4和5，再根據E1E2，我們可以知道E1為5，E2為4；2、 再看A行和第5列，因為A3A4A5且A1為3，所以A5填1或者2，同理我們知道第5列中B2也只能填1或者2，于是我們可以確定1和2必然出現在A5和B5之中，那么4和5必然出現在C5和D5中，再根據D5C5，我們推知C5填4，D5填5，又根據D4大于D3，我們知道D4只能填4或者5，而5已經出現在D5中，所以D4只能填4，進而確定D3只能填3，A4只能填2，A5填1，B5填2，A2填5（E5已

24、經填入4，A2不能再填4），A3填4，E4填1，E3填2，C3填1，B4填3，B2填1，C4填5，再由于E1為5，所以B1為4，B3為5，進而C1填2，D1填1，D2填2，C2填3.分析完畢，答案如圖. 【答案】【鞏固】 請你在下面表格的每格中填入1，2，3，4，5中的一個，使得每行、每列、每條對角線所填的5個數各不相同，且格中的數比格中的數大，格中的數比格中的數大，格中的數比格中的數大，格中的數比格中的數大，格中的數比格中的數大。那么，第二行的5個數從左到右依次是 ?！究键c】數獨 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，中年級，復賽，第10題【解析】 本題基于日本比較流行的謎題“大小數獨

25、”，所不同的是，除了限制行列為拉丁方以外還限制了兩條大對角線也不能有重復數字。所以，和解通常的大小數獨相比，會有一些新的套路。解數獨的時候，一般是先分析必然成立的，如果分析不出來了再去假設。為描述方便，將所有沒有標出來的方格用小寫字母標出。根據已知的大小關系可知：A只能填4或5，B只能填3或4，C只能填2或3，D只能填1或2。除此之外，E和G都不能填1，F和H都不能填5。除此之外，觀察到D不能和A，B，C，j里面的任何一個數相同，所以D只能和i相同。至此似乎無法繼續(xù)分析，可以進行假設。但是，假設哪里比較好呢？注意到本題和通常的大小數獨相比，多了對角線的要求，所以中間的方格F最特殊，可以以它為突

26、破口。注意，只有和中間格成“馬步”的格才可能和中間格填相同的數，這很關鍵。(1) 假設F填1，則i和j都不能填1，這樣第一行沒有任何一格能填1，矛盾；(2) 假設F填2，則D填1，i填1。第一行的2只能填在C，從而第五行的2只能填在v。第三行的1只能填在p，這樣第四、五兩行的1只能填在H和w，此時副對角線出現了D和H兩個1，與題意不符，矛盾；(3) 假設F填3，則B填4，A填5，i和j填1和2。第一行的3只能填在C，從而第五行的3只能填在v。G不能再填3或5，所以只能填2或4。H比G小，而且也不能填3，所以只能填1或2。但此時，副對角線上的j，D，H三格都只能填1或2，矛盾；(4) 假設F填4

27、，則B填3，C填2，D填1，i填1，E填5。第一行的4只能填在A，從而第五行的4只能填在x。第一行最后剩下j填5，第四列最后剩下s填3。之后就非常簡單了，填完之后的結果如下：所求結果為45213?！敬鸢浮?5213【例 9】 將1、2、3、4、5、6都分別填入66的方格網（如下圖所示）的36個小方格中，使得每一行每一列中的6個數1、2、3、4、5、6各出現依次，并且滿足與不等式相鄰的兩個數中小數是大數的約數，那么，第二行從左到右的第6個數是_。（左下圖是一個33的例子。）（A）5 （B）4 （C）3 （D）2【考點】數獨 【難度】5星 【題型】選擇【關鍵詞】迎春杯，高年級，復試，6題【解析】

28、，提示：填法如下圖?！敬鸢浮俊纠?10】 如圖44方格被分成了五塊；請你在每格中填入l、2、3、4中的一個，使得每行、每列的四個數各不相同，且每塊上所填數的和都相等。則A、B、C、D四處所填數字之和是 ?！究键c】數獨 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第11【解析】 首先16個方格的和為4（1+2+3+4）=40，所以每一塊的和位405=8，4個數和為8只有1+2+3+2和1+1+2+4兩種，3個數和為8有1+3+4、2+2+4、2+3+3兩種.其中只有1+3+4，三個加數各不相同，所以A所在的三格只能填1、3、4，所以B只能是2，B所在塊中另外兩個數只能是3+3（排除

29、）或2+4.再看C所在的塊，這能填1+2+3+1或1+1+2+4，其中C右側的數只能填重復的數 事實上以上兩個中2可以確定位置.剩下的嘗試即可得出.所以和為10.【答案】【例 11】 如圖，55方格被分成了五塊；請你在每格中填入1、2、3、4、5中的一個，使得每行、每列、每條對角線的五個數各不相同，?，F有兩個格子已分別填入1和2，請在其它格子中填上適當的數。那么，是 ?！究键c】數獨 【難度】5星 【題型】填空 【關鍵詞】2008年，迎春杯【解析】 這道題是數獨游戲的變體。、因為每行、每列、每條對角線的五個數各不相同，且每塊上所填數的和都相等;所以，如圖兩a位置的數一定相等。右下角的數如果有數相

30、同，只能是兩b位置的數相同。左上角一組第二行的數為2。、求公和=(1+2+3+4+5)55=15，所以，右下角的四個數的情況可能為：（1） 必有5,否則為154443,不成立。（2） 則可能：155541 155532，不成立155442，不成立155433，不成立，因為對角線上a必為3,則最底行有兩個3.所以，只有： 所以，a3,(3,4-斜去，5底去)，C5（斜只剩），c4（4,5豎去），b5（橫只剩），d1（1,4橫去），B4（豎只剩），e4（3橫豎去，4），f3（斜只剩），D2（豎只剩2），E3(3,1-豎去)，A1（橫只剩），14523。【答案】14523【例 12】 請將1個1，2

31、個2，3個3，8個8，9個9填入右圖的表格中，使得相同的數所在的方格都連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）現在已經給出了其中8個方格中的數，并且知道A,B,C,D,E,F,G各不相同；那么，五位數是 【考點】數獨 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，第13題【解析】 首先可以判斷、當中不可能出現和，通過嘗試可得到，所以【答案】【例 13】 請將1個1，2個2，3個3，8個8，9個9填入右圖的表格中，使得相同的數所在的方格都連在一起（相連的兩個方格必須有公共邊）；現在已經給出了其中8個方格中的數，并且知道A,B,C,D,E,F,G各不相同；那么，七位數是 【考點】數獨 【

32、難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，六年級，初賽，第10題【解析】 首先可以判斷、當中不可能出現和，通過嘗試可得到，、分別為6和7，所以【答案】【例 14】 將數字16中填入右面的66方格，使每個數字在每一行、每一列和每一個標有粗線的的“宮”中只能出現一次. 如果虛線框出的區(qū)域左上角標注的數值為該區(qū)域內所有數字之和，并且該區(qū)域內所有數字互不相同，那么，六位數是_.【考點】數獨 【難度】6星 【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第10題【解析】 每行每列中各出現次，故每行每列個數的和都是，則可以確定第行第列的數為，第行第列的數為，第行第列的數為，而第列第、行的數只能為，故第行第列為，第行第列為.由于第列第、行兩個數和為，而，而這兩個數不可能為，故只可能為和，而右上角的“宮”中個數各出現次，那么第行第、列的兩個數分別為，.由于第列的只能出現在上面?zhèn)€數中，現在第、行已經有，故第列第行的數為，且第列第、行的兩個數之和為，且都不能為，只能為，注意到第行已有，故第列第行為，第行為，則第列第行為，第行為，第行第行為，第列為.又第列第、行的數之和為，第行的數為或，如果為，則第行的數為，重復，故第