高考物理力學求極值的常用方法[復習知識]

1、中學物理力學求極值的常用方法一、知識要點1極值問題：指極小值和極大值。注：極值不一定是最值。2求極值問題的兩個途徑：物理過程或物理狀態(tài)的極值通常與某一臨界值有關，巧妙地建立一個含極值條件的物理模型，則可快捷地解決問題。（1）物理方法：從物理過程的分析著手求解極值問題。（2）數學方法：從數學方法角度思考，借助于代數、函數或函數圖像知識求解極值問題。二、應試策略1用二次函數求極值的方法求極值一元二次函數y=ax2bxc（a0），當x=-時，y有極小值y極=，用a0時y有極小值，aM時，圓環(huán)能升起。證明：取小球為研究對象，受力如圖（a），由牛頓第二定律，得mgcosN=由動能定理得 mgR（1cos

2、）mv2由此二式得 N=2mg3mgcos上式中，N0，即 cosM為升起條件。3利用三角函數求極值用三角函數求極值，實際上是應用了正、余弦函數的有界性。利用倍角公式將yAsin轉化為yAsin2的形式，當45時，y有極大值。將三角函數yasin+bcos，轉化成的形式，再利用其有界性求解。例3質量為m的物體，在與水平方向成斜向上拉力F牽引沿水平地面上勻速直線運動。已知物體與地面間的滑動摩擦系數為，求力F的最小值及角。解析。物體受力情況如圖，根據牛頓第二定律得FNGfFFcosf0 FNFsinmg=0 fN解得：F可寫成，其中則時，F有最小值，此時，答案：；點評：利用三角函數的有界性求極值，

3、是中學物理常用的解題方法。4利用圖象法求極值通過對物理過程的分析和所遵守的物理規(guī)律，找出相關變量之間的函數關系，作出物理圖象，由圖象再求得極值。通常要用到圖象斜率、面積、截距、交點的物理意義等。例4甲、已兩光滑斜面高度相同，乙斜面的總長度和甲斜面的總長度相同，只是由兩部分組成如圖所示，將兩個相同的小球從兩斜面的頂端同時釋放，不計在拐角處的能量損失，則哪一個小球先滑到底端？ 解析：小球沿甲斜面OB做勻加速運動，設其加速度大小為a1，小球沿乙斜面OD段、DE段分別做勻加速運VVtt1t2BEDOa22a3a1動，設其加速度大小分別為a2和a3,由圖象和a=gsin可知a3ala2 由機械能守恒定律

4、可知，兩小球到達斜面底端時的速率大小相等，且通過的路程（即斜面的總長度）相等可用速率 時間圖象求解。作兩小球分別沿甲、乙兩斜面運動的速率一時間圖象如圖所示。因為速率一時間圖線的斜率表示小球加速度的大小，圖線與時間軸所圍成的面積表示小球所通過的路程，則四邊形ODEt乙與三角形0Bt甲面積相等時，顯然有t乙t甲。即沿乙斜面的小球先滑到底端。答案：沿乙斜面的小球先滑到底端。點評：本題抓住兩球的路程相等，利用v-t圖斜率和面積的物理意義解決了時間的最小值問題。5利用作圖法求極值把復雜的物理過程或各物理量間的關系用幾何圖形表示，將物理問題轉化為幾何問題加以解決。例5有一小船位于60m寬的河邊，從這里起在

5、下游80m處河流變成瀑布。假設河水流速為5m/s，為了使小船能安全渡河，船相對于靜水的速度不能小于多少？V合OAV水60m80mV船解析：設水速為V水，船速為V船，船對岸的實際速度為V合。為使小船到達對岸而不至滑過瀑布A處，過O作船合速度的方向OA和水速V水，如圖所示，由幾何關系可知V水與V合垂直時，V船最小，V船方向與岸夾角應為。由幾何關系得 ，53答案：3m/s，方向與岸成53角斜向上游。點評：本例巧妙利用作圖法解決了渡河問題中的極值問題，也是V船V水時航程最小的解決辦法，其思路緣于力的分解。作圖法的優(yōu)點是直觀形象，便于定性分析和定量計算。6利用基本不等式求極值設a、b均為正數，則ddO若

6、ab= C（常數），當a=b時取等號，即a+b有極小值；若a+b=C（常數），當a=b時取等號，即ab有極大值。例6（2010年高考重慶卷，24）小明站在水平地面上，手握不可伸長的輕繩一端，繩的另一端系有質量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內做圓周運動。當球某次運動到最低點時，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如題圖所示。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長為d，重力加速度為g，忽略手的運動半徑和空氣阻力。（1）求繩斷時球的速度大小V1和球落地時的速度大小V2。（2）向繩能承受的最大拉力多大？（3）改變繩長，使球重復上述運動，若繩仍在球運動到最低點時斷掉，要使球拋出的水平距離最大

7、，繩長應是多少？最大水平距離為多少？解析：（1）設繩段后球飛行時間為t，由平拋運動規(guī)律，有豎直方向，水平方向得由機械能守恒定律，有 ，得（2）設繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小。球做圓周運動的半徑為，由圓周運動向心力公式，有 ，得（3）設繩長尾l，繩斷時球的速度大小為，繩承受的最大推力不變，有 得繩斷后球做平拋運動，豎直位移為，水平位移為x，時間為，有 得 當時，有極大值，答案：（1），；（2）（3）當時，有極大值，。例7（2010年高考江蘇卷，14）(16分)在游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論。如圖所示，他們將選

8、手簡化為質量m=60kg的指點， 選手抓住繩由靜止開始擺動，此事繩與豎直方向夾角30，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深。取中立加速度 g10m/s2，sin530.8，cos530.6（1）求選手擺到最低點時對繩拉力的大小F；（2）若繩長l=2m, 選手擺到最高點時松手落入手中。設水對選手的平均浮力f1800N，平均阻力f2700N，求選手落入水中的深度d；（3）若選手擺到最低點時松手， 小明認為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠；小陽認為繩越短，落點距岸邊越遠，請通過推算說明你的觀點。解析（1）動能定理 ，圓周運動Fmgm解得F（3

9、2cos）mg人對繩的拉力 FF，則 F1080N（2）動能定理 mg（Hlcosd）（f1f2）d0 ，則d=，解得 d=1.2m(3)選手從最低點開始做平拋運動x=vt，H-l=解得當時，x有最大值，解得l=1.5m因此，兩人的看法均不正確。當繩長鉞接近1.5m時，落點距岸邊越遠。答案：（1）1080N；（2）1.2m；（3）當時，有極大值1.5m，兩人的看法均不正確。三、對應練習750FO1（2010屆福建省泉州市高三四校聯考）如圖所示，一小球用輕繩懸于O點，用力F拉住小球，使懸線保持偏離豎直方向750角，且小球始終處于平衡狀態(tài)。為了使F有最小值，F與豎直方向的夾角應該是A900 B45

10、0 C150 D00 答案：C。HOaS2（2010年江蘇蘇錫常鎮(zhèn)高三調研, 5）如圖所示，有一光滑的半徑可變的圓形軌道處于豎直平面內，圓心O點離地高度為H。現調節(jié)軌道半徑，讓一可視為質點的小球a從與O點等高的軌道最高點由靜止沿軌道下落，使小球離開軌道后運動的水平位移S最大，則小球脫離軌道最低點時的速度大小應為A B C D解析：設圓形軌道的半徑為R，則拋出時的速度；小球做平拋運動時，解得 ，可知當RHR即R0.5H時，S有最大值，可解得V0。答案：A。3公共汽車由停車站從靜止出發(fā)以2m/s2的加速度做勻加速運動，這時一輛載重汽車從后面超過公共汽車，載重汽車以10m/s的速度勻速前進。問：經過

11、多長時間公共汽車能追上載重汽車？經過多長時間兩車相距最遠？相距最遠時兩車之間的距離是多少？解法二：解析法公共汽車作初速度為零的勻變速直線運動，則 x1at2t2載重汽車作勻速直線運動 x2Vt10txx2x110tt2（1）當x0時公共汽車追上載重汽車，得t10S或t0（舍去）（2）當t5（S）時，x有極值，即x25（m）解法二：利用運動圖象求解因為公共汽車是做初速度零、加速度2m/s2的勻加速度運動，而載重汽車是做勻速直線運動，且同時目向運動，它們的速度-時間圖象如圖示。速度時間圖線與時間軸所圍成面積表示物體通過的位移。由圖可知：當tO時，OAD的面積等于矩形OCBD的面積，故兩車所通過的位

12、移相等，即兩車相遇。當兩車速度相等，即t5s時兩車相距最遠，最遠距離是 ，解得其值為25m。答案：25m。4如圖所示，用力F拉一物體在水平地面上勻速前進，物體的質量為m，物體與地面間的動摩擦因數為，欲使F為最小，則F應與豎直方向成多大的夾角？最小的力為多大？解析：設F與豎直方向的夾角為，物體勻速前進則有即其中，當時，F有最小值答案：，四、鞏固加深m2mm2mF1（2007年高考江蘇，6）如圖所示，光滑水平面上放置質量分別為m和2m的四個木塊，其中兩個質量為m的木塊間用一不可伸長的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是mg。現用水平拉力F拉其中一個質量為2 m的木塊，使四個木塊一同一加速度運動，則輕繩

13、對m的最大拉力為 A B C D 解析：將用線關聯的兩個小m和后面的2m看成一個整體，且前一個m所受靜摩擦力達到最大值時，根據牛頓第二定律得mg4ma單獨分析前面的m可得 mgTma解得 T答案：B。2火車以速率V1行駛，司機突然發(fā)現前方同一軌道上距離S處有另一輛火車沿相同方向以較小的速率V2做勻速運動。于是司機立即制動，使火車作勻減速運動，加速度大小為a要使兩車不相撞，求加速度a應滿足的條件。 解析：設經過時間t兩車相遇，則有 即 為使兩車不相撞，則上個方程應無解，即解得 答案：點評：本題也可以用臨界條件求解：當兩車速度相等時，它們之間的距離恰好為0。3如圖所示，物體靜止在光滑水平面上，受到

14、一個水平恒力F1的作用，要使物體在水平面上沿OA方向作直線運動，OA與水平方向成角，則對物體施加的這個力F2的最小值是多大？方向如何？ 解析：根據力的平行四邊形定則，物體受到的合力沿0A方向，則另一個力F2有大小、方向不同的若干個解，在這些解的當中有一個最小值，這個力的方向與合力方向垂直。如圖所示。由幾何關系可得F2=F1sin。答案：F2=F1sin，方向與合力方向垂直。HLhAB4（2010年高考浙江卷，22）在一次國際城市運動會中，要求運動員從高為H的平臺上A點由靜止出發(fā)，沿著動摩擦因數為滑的軌道向下運動到B點后水平滑出，最后落在水池中。設滑道的水平距離為L，B點的高度h可由運動員自由調

15、節(jié)（取g=10m/s2）。求：（1）運動員到達B點的速度與高度h的關系；（2）運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為多大？對應的最大水平距離SBH為多少？（3若圖中H4m，L5m，動摩擦因數0.2，則水平運動距離要達到7m，h值應為多少？解析：（1）設斜面長度為L1，斜面傾角為，根據動能定理即 ，（2）根據平拋運動公式 X=vot ，h=gt2 ，得 （3）令x=2m ,H=4m,L=5m, =0.2，可得到：h2+3h-1=0求出，答案：（1）；（2）；（3）2.62m，0.38m。附加題1DFN/Nx/m051051015（09年江蘇羅庚中學月考試題）如圖所示，在同一豎直平面內的

16、兩正對著的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離，虛線沿豎直方向，一小球能在其間運動，今在最高點A與最低點B各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來，當軌道距離變化時，測得兩點壓力差與距離x的圖像如圖，g取10 m/s2，不計空氣阻力，求：（1）小球的質量為多少？（2）若小球的最低點B的速度為20 m/s，為使小球能沿軌道運動，x的最大值為多少？解析（1）設軌道半徑為R，根據機械能守恒定律 在B點： ， 在A點：兩點壓力差： , 由圖象截距得 ，即 （2）因為圖線的斜率得在A點不脫離的條件為： ， 解得：答案：0.05Kg;17.5m。附加題2在平直公路上，有甲、乙兩輛汽車，初

17、始時甲車在前乙車在后，它們相距為x0100m，不計汽車長度。若甲車以V120m/s的初速度開始做勻加速直線運動，同時乙車以V230m/s的初速度開始做勻加速直線運動，加速度為a20.40m/s2。求加速度a1分別為何值時，甲、乙兩車不相遇或相遇一次或相遇兩次？ 解法一：設經歷時間t時甲、乙兩車相遇，則有 即 若a10.40m/s2，t10s時相遇一次；若a10.40m/s2，由二次方程的求根公式可知當a10.9m/s2時，t無實數解，不相遇。解法二：選甲車為參照物，則需要將甲車的速度和加速度都反加給乙，那么乙車相對甲車的初速為V0V2V110 m/s，加速度aa2a1(0.4 a1) m/s2得x0V0tat2，即(0.4 a1) t210t1000當a1 0.4 m/s2時，乙車相對甲車先做勻減速直線運動，后做反方向的勻加速直線運動，速度為0時兩車間距最大：當0.40m/s2 a1x0 100m，兩車相遇兩次；當a10.9m/s2n時，xx0100m，兩車相遇一次；當a10.9m/s2時，xx0100m，兩車不相遇。 答案：當a10.40m/s2或a10.9m/s2時，兩車相遇