高考物理力學(xué)求極值的常用方法[復(fù)習(xí)知識(shí)]

1、中學(xué)物理力學(xué)求極值的常用方法一、知識(shí)要點(diǎn)1極值問(wèn)題：指極小值和極大值。注：極值不一定是最值。2求極值問(wèn)題的兩個(gè)途徑：物理過(guò)程或物理狀態(tài)的極值通常與某一臨界值有關(guān)，巧妙地建立一個(gè)含極值條件的物理模型，則可快捷地解決問(wèn)題。（1）物理方法：從物理過(guò)程的分析著手求解極值問(wèn)題。（2）數(shù)學(xué)方法：從數(shù)學(xué)方法角度思考，借助于代數(shù)、函數(shù)或函數(shù)圖像知識(shí)求解極值問(wèn)題。二、應(yīng)試策略1用二次函數(shù)求極值的方法求極值一元二次函數(shù)y=ax2bxc（a0），當(dāng)x=-時(shí)，y有極小值y極=，用a0時(shí)y有極小值，aM時(shí)，圓環(huán)能升起。證明：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力如圖（a），由牛頓第二定律，得mgcosN=由動(dòng)能定理得 mgR（1cos

2、）mv2由此二式得 N=2mg3mgcos上式中，N0，即 cosM為升起條件。3利用三角函數(shù)求極值用三角函數(shù)求極值，實(shí)際上是應(yīng)用了正、余弦函數(shù)的有界性。利用倍角公式將yAsin轉(zhuǎn)化為yAsin2的形式，當(dāng)45時(shí)，y有極大值。將三角函數(shù)yasin+bcos，轉(zhuǎn)化成的形式，再利用其有界性求解。例3質(zhì)量為m的物體，在與水平方向成斜向上拉力F牽引沿水平地面上勻速直線運(yùn)動(dòng)。已知物體與地面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為，求力F的最小值及角。解析。物體受力情況如圖，根據(jù)牛頓第二定律得FNGfFFcosf0 FNFsinmg=0 fN解得：F可寫成，其中則時(shí)，F(xiàn)有最小值，此時(shí)，答案：；點(diǎn)評(píng)：利用三角函數(shù)的有界性求極值，

3、是中學(xué)物理常用的解題方法。4利用圖象法求極值通過(guò)對(duì)物理過(guò)程的分析和所遵守的物理規(guī)律，找出相關(guān)變量之間的函數(shù)關(guān)系，作出物理圖象，由圖象再求得極值。通常要用到圖象斜率、面積、截距、交點(diǎn)的物理意義等。例4甲、已兩光滑斜面高度相同，乙斜面的總長(zhǎng)度和甲斜面的總長(zhǎng)度相同，只是由兩部分組成如圖所示，將兩個(gè)相同的小球從兩斜面的頂端同時(shí)釋放，不計(jì)在拐角處的能量損失，則哪一個(gè)小球先滑到底端？ 解析：小球沿甲斜面OB做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a1，小球沿乙斜面OD段、DE段分別做勻加速運(yùn)VVtt1t2BEDOa22a3a1動(dòng)，設(shè)其加速度大小分別為a2和a3,由圖象和a=gsin可知a3ala2 由機(jī)械能守恒定律

4、可知，兩小球到達(dá)斜面底端時(shí)的速率大小相等，且通過(guò)的路程（即斜面的總長(zhǎng)度）相等可用速率 時(shí)間圖象求解。作兩小球分別沿甲、乙兩斜面運(yùn)動(dòng)的速率一時(shí)間圖象如圖所示。因?yàn)樗俾室粫r(shí)間圖線的斜率表示小球加速度的大小，圖線與時(shí)間軸所圍成的面積表示小球所通過(guò)的路程，則四邊形ODEt乙與三角形0Bt甲面積相等時(shí)，顯然有t乙t甲。即沿乙斜面的小球先滑到底端。答案：沿乙斜面的小球先滑到底端。點(diǎn)評(píng)：本題抓住兩球的路程相等，利用v-t圖斜率和面積的物理意義解決了時(shí)間的最小值問(wèn)題。5利用作圖法求極值把復(fù)雜的物理過(guò)程或各物理量間的關(guān)系用幾何圖形表示，將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決。例5有一小船位于60m寬的河邊，從這里起在

5、下游80m處河流變成瀑布。假設(shè)河水流速為5m/s，為了使小船能安全渡河，船相對(duì)于靜水的速度不能小于多少？V合OAV水60m80mV船解析：設(shè)水速為V水，船速為V船，船對(duì)岸的實(shí)際速度為V合。為使小船到達(dá)對(duì)岸而不至滑過(guò)瀑布A處，過(guò)O作船合速度的方向OA和水速V水，如圖所示，由幾何關(guān)系可知V水與V合垂直時(shí)，V船最小，V船方向與岸夾角應(yīng)為。由幾何關(guān)系得 ，53答案：3m/s，方向與岸成53角斜向上游。點(diǎn)評(píng)：本例巧妙利用作圖法解決了渡河問(wèn)題中的極值問(wèn)題，也是V船V水時(shí)航程最小的解決辦法，其思路緣于力的分解。作圖法的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，便于定性分析和定量計(jì)算。6利用基本不等式求極值設(shè)a、b均為正數(shù)，則ddO若

6、ab= C（常數(shù)），當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，即a+b有極小值；若a+b=C（常數(shù)），當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，即ab有極大值。例6（2010年高考重慶卷，24）小明站在水平地面上，手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩突然斷掉，球飛行水平距離d后落地，如題圖所示。已知握繩的手離地面高度為d，手與球之間的繩長(zhǎng)為d，重力加速度為g，忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力。（1）求繩斷時(shí)球的速度大小V1和球落地時(shí)的速度大小V2。（2）向繩能承受的最大拉力多大？（3）改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)，若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大

7、，繩長(zhǎng)應(yīng)是多少？最大水平距離為多少？解析：（1）設(shè)繩段后球飛行時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有豎直方向，水平方向得由機(jī)械能守恒定律，有 ，得（2）設(shè)繩能承受的最大拉力大小為T，這也是球受到繩的最大拉力大小。球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為，由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式，有 ，得（3）設(shè)繩長(zhǎng)尾l，繩斷時(shí)球的速度大小為，繩承受的最大推力不變，有 得繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為，水平位移為x，時(shí)間為，有 得 當(dāng)時(shí)，有極大值，答案：（1），；（2）（3）當(dāng)時(shí)，有極大值，。例7（2010年高考江蘇卷，14）(16分)在游樂(lè)節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽(yáng)觀看后對(duì)此進(jìn)行了討論。如圖所示，他們將選

8、手簡(jiǎn)化為質(zhì)量m=60kg的指點(diǎn)， 選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，此事繩與豎直方向夾角30，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深。取中立加速度 g10m/s2，sin530.8，cos530.6（1）求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩拉力的大小F；（2）若繩長(zhǎng)l=2m, 選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時(shí)松手落入手中。設(shè)水對(duì)選手的平均浮力f1800N，平均阻力f2700N，求選手落入水中的深度d；（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手， 小明認(rèn)為繩越長(zhǎng)，在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽(yáng)認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，請(qǐng)通過(guò)推算說(shuō)明你的觀點(diǎn)。解析（1）動(dòng)能定理 ，圓周運(yùn)動(dòng)Fmgm解得F（3

9、2cos）mg人對(duì)繩的拉力 FF，則 F1080N（2）動(dòng)能定理 mg（Hlcosd）（f1f2）d0 ，則d=，解得 d=1.2m(3)選手從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)x=vt，H-l=解得當(dāng)時(shí)，x有最大值，解得l=1.5m因此，兩人的看法均不正確。當(dāng)繩長(zhǎng)鉞接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)。答案：（1）1080N；（2）1.2m；（3）當(dāng)時(shí)，有極大值1.5m，兩人的看法均不正確。三、對(duì)應(yīng)練習(xí)750FO1（2010屆福建省泉州市高三四校聯(lián)考）如圖所示，一小球用輕繩懸于O點(diǎn)，用力F拉住小球，使懸線保持偏離豎直方向750角，且小球始終處于平衡狀態(tài)。為了使F有最小值，F(xiàn)與豎直方向的夾角應(yīng)該是A900 B45

10、0 C150 D00 答案：C。HOaS2（2010年江蘇蘇錫常鎮(zhèn)高三調(diào)研, 5）如圖所示，有一光滑的半徑可變的圓形軌道處于豎直平面內(nèi)，圓心O點(diǎn)離地高度為H?，F(xiàn)調(diào)節(jié)軌道半徑，讓一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a從與O點(diǎn)等高的軌道最高點(diǎn)由靜止沿軌道下落，使小球離開軌道后運(yùn)動(dòng)的水平位移S最大，則小球脫離軌道最低點(diǎn)時(shí)的速度大小應(yīng)為A B C D解析：設(shè)圓形軌道的半徑為R，則拋出時(shí)的速度；小球做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，解得 ，可知當(dāng)RHR即R0.5H時(shí)，S有最大值，可解得V0。答案：A。3公共汽車由停車站從靜止出發(fā)以2m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，這時(shí)一輛載重汽車從后面超過(guò)公共汽車，載重汽車以10m/s的速度勻速前進(jìn)。問(wèn)：經(jīng)過(guò)

11、多長(zhǎng)時(shí)間公共汽車能追上載重汽車？經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？相距最遠(yuǎn)時(shí)兩車之間的距離是多少？解法二：解析法公共汽車作初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則 x1at2t2載重汽車作勻速直線運(yùn)動(dòng) x2Vt10txx2x110tt2（1）當(dāng)x0時(shí)公共汽車追上載重汽車，得t10S或t0（舍去）（2）當(dāng)t5（S）時(shí)，x有極值，即x25（m）解法二：利用運(yùn)動(dòng)圖象求解因?yàn)楣财囀亲龀跛俣攘?、加速?m/s2的勻加速度運(yùn)動(dòng)，而載重汽車是做勻速直線運(yùn)動(dòng)，且同時(shí)目向運(yùn)動(dòng)，它們的速度-時(shí)間圖象如圖示。速度時(shí)間圖線與時(shí)間軸所圍成面積表示物體通過(guò)的位移。由圖可知：當(dāng)tO時(shí)，OAD的面積等于矩形OCBD的面積，故兩車所通過(guò)的位

12、移相等，即兩車相遇。當(dāng)兩車速度相等，即t5s時(shí)兩車相距最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是 ，解得其值為25m。答案：25m。4如圖所示，用力F拉一物體在水平地面上勻速前進(jìn)，物體的質(zhì)量為m，物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，欲使F為最小，則F應(yīng)與豎直方向成多大的夾角？最小的力為多大？解析：設(shè)F與豎直方向的夾角為，物體勻速前進(jìn)則有即其中，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)有最小值答案：，四、鞏固加深m2mm2mF1（2007年高考江蘇，6）如圖所示，光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m和2m的四個(gè)木塊，其中兩個(gè)質(zhì)量為m的木塊間用一不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是mg?，F(xiàn)用水平拉力F拉其中一個(gè)質(zhì)量為2 m的木塊，使四個(gè)木塊一同一加速度運(yùn)動(dòng)，則輕繩

13、對(duì)m的最大拉力為 A B C D 解析：將用線關(guān)聯(lián)的兩個(gè)小m和后面的2m看成一個(gè)整體，且前一個(gè)m所受靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得mg4ma單獨(dú)分析前面的m可得 mgTma解得 T答案：B。2火車以速率V1行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方同一軌道上距離S處有另一輛火車沿相同方向以較小的速率V2做勻速運(yùn)動(dòng)。于是司機(jī)立即制動(dòng)，使火車作勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a要使兩車不相撞，求加速度a應(yīng)滿足的條件。 解析：設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩車相遇，則有 即 為使兩車不相撞，則上個(gè)方程應(yīng)無(wú)解，即解得 答案：點(diǎn)評(píng)：本題也可以用臨界條件求解：當(dāng)兩車速度相等時(shí)，它們之間的距離恰好為0。3如圖所示，物體靜止在光滑水平面上，受到

14、一個(gè)水平恒力F1的作用，要使物體在水平面上沿OA方向作直線運(yùn)動(dòng)，OA與水平方向成角，則對(duì)物體施加的這個(gè)力F2的最小值是多大？方向如何？ 解析：根據(jù)力的平行四邊形定則，物體受到的合力沿0A方向，則另一個(gè)力F2有大小、方向不同的若干個(gè)解，在這些解的當(dāng)中有一個(gè)最小值，這個(gè)力的方向與合力方向垂直。如圖所示。由幾何關(guān)系可得F2=F1sin。答案：F2=F1sin，方向與合力方向垂直。HLhAB4（2010年高考浙江卷，22）在一次國(guó)際城市運(yùn)動(dòng)會(huì)中，要求運(yùn)動(dòng)員從高為H的平臺(tái)上A點(diǎn)由靜止出發(fā)，沿著動(dòng)摩擦因數(shù)為滑的軌道向下運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后水平滑出，最后落在水池中。設(shè)滑道的水平距離為L(zhǎng)，B點(diǎn)的高度h可由運(yùn)動(dòng)員自由調(diào)

15、節(jié)（取g=10m/s2）。求：（1）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)B點(diǎn)的速度與高度h的關(guān)系；（2）運(yùn)動(dòng)員要達(dá)到最大水平運(yùn)動(dòng)距離，B點(diǎn)的高度h應(yīng)調(diào)為多大？對(duì)應(yīng)的最大水平距離SBH為多少？（3若圖中H4m，L5m，動(dòng)摩擦因數(shù)0.2，則水平運(yùn)動(dòng)距離要達(dá)到7m，h值應(yīng)為多少？解析：（1）設(shè)斜面長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，斜面傾角為，根據(jù)動(dòng)能定理即 ，（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)公式 X=vot ，h=gt2 ，得 （3）令x=2m ,H=4m,L=5m, =0.2，可得到：h2+3h-1=0求出，答案：（1）；（2）；（3）2.62m，0.38m。附加題1DFN/Nx/m051051015（09年江蘇羅庚中學(xué)月考試題）如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)的

16、兩正對(duì)著的相同半圓光滑軌道，相隔一定的距離，虛線沿豎直方向，一小球能在其間運(yùn)動(dòng)，今在最高點(diǎn)A與最低點(diǎn)B各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試小球?qū)壍赖膲毫?，并通過(guò)計(jì)算機(jī)顯示出來(lái)，當(dāng)軌道距離變化時(shí)，測(cè)得兩點(diǎn)壓力差與距離x的圖像如圖，g取10 m/s2，不計(jì)空氣阻力，求：（1）小球的質(zhì)量為多少？（2）若小球的最低點(diǎn)B的速度為20 m/s，為使小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)，x的最大值為多少？解析（1）設(shè)軌道半徑為R，根據(jù)機(jī)械能守恒定律 在B點(diǎn)： ， 在A點(diǎn)：兩點(diǎn)壓力差： , 由圖象截距得 ，即 （2）因?yàn)閳D線的斜率得在A點(diǎn)不脫離的條件為： ， 解得：答案：0.05Kg;17.5m。附加題2在平直公路上，有甲、乙兩輛汽車，初

17、始時(shí)甲車在前乙車在后，它們相距為x0100m，不計(jì)汽車長(zhǎng)度。若甲車以V120m/s的初速度開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)乙車以V230m/s的初速度開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a20.40m/s2。求加速度a1分別為何值時(shí)，甲、乙兩車不相遇或相遇一次或相遇兩次？ 解法一：設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t時(shí)甲、乙兩車相遇，則有 即 若a10.40m/s2，t10s時(shí)相遇一次；若a10.40m/s2，由二次方程的求根公式可知當(dāng)a10.9m/s2時(shí)，t無(wú)實(shí)數(shù)解，不相遇。解法二：選甲車為參照物，則需要將甲車的速度和加速度都反加給乙，那么乙車相對(duì)甲車的初速為V0V2V110 m/s，加速度aa2a1(0.4 a1) m/s2得x0V0tat2，即(0.4 a1) t210t1000當(dāng)a1 0.4 m/s2時(shí)，乙車相對(duì)甲車先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，后做反方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度為0時(shí)兩車間距最大：當(dāng)0.40m/s2 a1x0 100m，兩車相遇兩次；當(dāng)a10.9m/s2n時(shí)，xx0100m，兩車相遇一次；當(dāng)a10.9m/s2時(shí)，xx0100m，兩車不相遇。 答案：當(dāng)a10.40m/s2或a10.9m/s2時(shí)，兩車相遇